2020届福建省莆田市(第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题(解析版).docx

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1、 莆田市第一联盟体 2019-2020 学年上学期高三联考试卷文科数学第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A = -2，-1，1，2 ，B = x x2 - 2x 0 ，则 AI B =（1.设集合）( )1，2 1，2 1，2x =1，x = 2A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】I B.首先求集合 ，再求 AB【详解】 x - 2x 0 ，2 x 2解得：0B = x 0 x 2， AI B = 1,2.故选：C【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型.p3

2、asin( - ) = ，则 cos2=（2.若）252425724257-D.A.B.C.2525【答案】C【解析】【分析】35=根据题意先求出cosa，然后再用倍角公式求解即可得到结果p35-aa= cos =sin【详解】由条件得 ， 2 37 2cos2a = 2cos a -1= 2-1= -2 5 25故选 C【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题x y+ 222+ 4x y的（3.若，则是）x 0，y 0A. 充分不必要条件C. 充要条件B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】+ y

3、 4成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条首先判断当时，两边平方后能判断 2xx+ y 22件.【详解】当+ y 2时，且 x 0, y 0x( ) x + y 4 x + y + 2xy 4，222 x + y 4 - 2xy 0， 0，x y+ 2 + 4xyx y22= y = 2+ 4反过来，当时，满足2x y2+ 2x y，当此时，x当 0， 0+ 4 + 2，2x y2/x y.xy故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 4.已知等比数列A. 1满足，则 的值为（a）aa+ a = 6，a + a =1211223nB. 2C. 3D.

4、4 【答案】B【解析】【分析】 +a a q=6由题意列方程组11求解.a q + a q =12211q【详解】设等比数列的公比为 ， += 6a a q1q = 2,a = 2，解得：1a q+ a q =121211故选：B【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型.4x5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为 ，则图中 的值为（）312A. 2B.C. 1D.2【答案】C【解析】【分析】x画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出 的值.- ABC【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S，如下图所示 1 1443= 2x2x 2x = x =x=1由棱锥的体积公式得：V

5、，解得：33 23S-ABC故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题.1a = log 5，b = log 3，c = e ，则 a，b，c满足（6.已知ln2）242 b c B. b a c C. c a b D. c b aA. a【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小.1= log 5 = log 5 = log 5【详解】a24221b = log 3 = log 3 ，222Q y = log x是单调递增函数，21 log 5 log 3 log 4 = 2，222c = eln2 = 2 ，a b c.故选：A【点睛】本题

6、考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.7.已知直线l : y = x -1与抛物线 y2，A B 两点，M 是=4x相交于的中点，则点 M 到抛物线准线的距AB离为（）7A.B. 4C. 7D. 82【答案】B【解析】【分析】 1= AB2根据数形结合分析可知点 到抛物线准线的距离 MM ，再根据弦长公式求 AB .M( )= x -1=1,0过抛物线 y2 4x 的焦点 ，如图，【详解】由题意可知直线 yAA,BB ,MM 都和准线垂直，并且垂直分别是 A,B ,M ，()12=AA + BB，由图象可知 MM AA + BB = AB根据抛物线的定义可知，1 MM

7、 = AB，2 = -1y x联立得 x - 6x +1 = 0 ，2= 4xy2x + x = 6，12 AB = x + x + 2 = 8，12 MM = 4.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特( ) 1= x -sin x征，如函数 f x的图像大致是（）2 A.B.D.C.【答案】A【解析】【分析】p( )f x0,由判断函数

8、的奇偶性以及利用导数得出区间 的单调性即可判断. 3 ( ) 1 ( ) ( ) 11f -x = -x -sin -x = - x + sin x = - x -sin x = - f (x)【详解】22 2( )f x则函数 在R 上为奇函数，故排除B、D.()cos x ，当 时，cos x ，即 f x 0 3 22p( )f x0,所以函数 在区间 上单调递减，故排除C 3 故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.( )( )( )f xf x = sin x + cosxf x9.关于函数有下述四个结论： 是周期函数； 的最小值为- 2 ；p p( )f x( )

9、f xy， 4 2 的图象关于 轴对称； 在区间 单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】 代入周期公式，判断周期；去绝对值得到分段函数判断最小值；利用定义判断函数的奇偶性；去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性.( ) ( ) ( )ppp+ 2 = sin x + 2 + cos x + 2 = sin x + cos x【详解】 f x( ) ( ) f x + 2 = f xp，( ) f xp是周期为2 的周期函数，故正确； ( )Q f xpx 0,2p时函数的值域，的周期是2 ，所以分析p ( )x 0,p)f x = sin x

10、 + cos x = 2 sin x +当时， ，4 p p p 5 Q + x, ，4 4 4 p 2sin x + -,1，4 2( ) f x(-1, 2的值域是 p ( )p px ,2f x = -sin x + cos x = 2 cos x +当时， ，4 p5 9 p px + ,，4 4 4 p 2cos x + -,1 ，4 2( ) f x-1, 2的值域是，( )f x-1, 2综上可知函数的值域是，最小值是-1，故不正确；( ) ( ) ( )( )f -x = sin -x + cos -x = sin x + cos x = f x( ) f xy是偶函数，关于

11、轴对称，故正确；p pp ( )f x = 2 sin x +x ,由知，当时， ， 4 2 4 p pp p 3 3 px + ,=，而 y sin x 在上单调递减，故不正确.4 2 4 2 4 综上可知，正确编号是.故选：B【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.x2 y ()的左、右焦点分别为2F，FF22- =1 a 0，b 0+ =10.已知双曲线，过 作圆 x y a 的切线，与2121a b22F MF = 30双曲线右支交于点 ，若M，则双曲线

12、的渐近线斜率为（）12( ) 3- 3( ) 3+ 333 1+ 1-A.B.C.）D.33【答案】A【解析】【分析】MF = 4aF M = 6a，再由余弦定理以及1由直角三角形以及中位线的性质得出( )，由双曲线的定义得2b= 3- 3c = a + b化简得出2，即可得出双曲线的渐近线斜率.22aAF MF【详解】取切点为 B，连接 BO，作，垂足于 A21BO P AFF，FAF = 2BO = 2a因为在直角三角形由双曲线的定义得：，且 为的中点，所以O2122AF MF MF = 30MF = 2AF = 4a中，所以21222F M = 2a + MF = 6a12( ) ( )

13、 ( )= 6a + 4a -26a4acos30由余弦定理可知： 2c222( )c = 13-6 3 a化简得：，又 =a b2+22c22( )( )b2b = 12-6 3 a12 6 3 3 3= -= -2所以，即22a2 ( )ba= 3- 3所以( )b = 3- 3故双曲线的渐近线斜率为a故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.11.2019 年 11 月 18 日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔 10 年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明

14、和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，z的 26 个字母（不论大小写） x +1(x N *，x 26，x不能被2整除)2依次对应 1，2，3，26 这 26 个自然数通过变换公式：y = ，()x+13 x N ，x 26，x能被2整除*2625+1 +13 =16p : 25 =13，即 变换成 m将明文转换成密文，如6，即 f 变换成y.若按上述规定，22若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（）fujianpuxianputianfuxianD.

15、A.B.C.【答案】C【解析】【分析】= 21分别得出u 、 w 对应的自然数，将 y、 y= 23代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案. x +1xy= 21，则=21或13 21+ =，解得：=x 41(舍)， x 16 即uu【详解】 对应的自然数为 21，即22对应的明文为 p ，故排除 A，D；x +1x= 23+13 = 23=，解得： = (舍)，x 45w=x 20 w，即 对应的对应的自然数为 23，即 y 23 ，则或22明文为t ，故排除 B；故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.( ) ( )( )( ) ( )f x k x -

16、1f x - f x = 2ex f 0，= -112.已知对任意实数 x 都有，若，则k 的取值范围是（）B. 1，4e1，4e( )1，+ 32321232，4eA.C. D. 【答案】D【解析】分析】( )f x( ) ( )= e 2x -1x( ) k x -1 e 2x -1 k x -1不等式x ( )x( )- e 2x 1e 2xx-1当 x1时， k ，即k ， x 1，x( ) ( )x -1x -1-122x 3 ( )( )x 1, g x 0 g x， 单调递增，x,+ 时，当 2 3 33当 x=时，函数取得最小值， g 4e ，=22 2 当 x 1时，3 ，k

17、 4e2( )x( )- e 2x 1e 2xx-1，即当 xx -1x-1max( )2x -3xe 2x -1( )g x eex( )-x 2x 32( )设 g xx= =g x 0 g x， 0当 x时，单调递增，( )( ) 当0， x 1时， g x 0 g x单调递减，( )( )g xg 0取得最大值，=1，x = 0 时，x 时， k 1，( )f 1 e 0=1时，= 恒成立，当 x综上可知：1 k 4e23 .故选：D【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利( )( ) ( ) ( )f x xf x+ ，用导数分析函

18、数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，=xf x( ) ( ) ( )( ) f x xf x - f x( ) ，x f x( )( )= 2xf x + x f x22xx2 ( ) ( ) ( )( )(x) f x f x - f x，( ) ( ) ( )e f x = e f x + f x=.xexex二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）=1+ 3i13.已知复数 z 满足iz（i 为虚数单位），则复数_.z =【答案】3+i【解析】【分析】1+ 3i=先化简 z，再求 .zi1+ 3i i + 3i2 -3+ i= 3-i【详解】 zii2-1

19、z = 3+i.故答案为：3+i【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.2x - y 0x，y 0y= x + 2y的取值范围是_.14.已知满足，则 zx + y -3 0 0，5【答案】【解析】【分析】= 0首先作出不等式表示的可行域，再令 zz = x + 2y 的取值范围.作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图DOAB，= 0+ 2y = 0令 z，画出初始目标函数x，然后平移到点 取得最大值B2x - y = 0x =1,y = 2，解得：x + y -3 = 0 z =1+ 2 2 = 5.max ( )0,0= 0

20、 + 20 = 0，当目标函数过点时，取得最小值，zmin 0,5 z = x + 2y的取值范围是. 0,5故答案为：【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型.P- ABC 中，ABC = 60 PBA = PCA = 90，15.在三棱锥棱锥 P，点 到底面 ABC的距离为P，若三2- ABC6的外接球表面积为 p ，则 AC 的长为_.3【答案】【解析】【分析】PN 平面 ABC 垂足为点 N ，连 接 NB, NC，由条件可知 AN 是四边形 ABNC外接圆的直径，并作出几= 60o，求出 AC 的长.,AN = 2何体外接球的球心，并且求出，根据同

21、弦所对的圆周角相等，可知 ANC【详解】 PN 平面ABC,垂足为点 N ，连接 NB NC ，PN AB, PB AB ， AB 平面 PBN ， BN 平面 PBN ，AB BNAC CN，同理ABNC外接圆的直径，AN是四边形取 AN 的中点 M ，即 M 是四边形 ABNC外接圆的圆心，作OM 平面ABC，则OA = OB = OC = ON= OP过 PN 的中点 作 PN 的垂线，交OM 于点O，则ONH OA= OB = OC = ON = OP，O-是三棱锥 P ABC外接球的球心，62S = 4 Rp2 =6p， =R，OM=,223 1- =1,2 2 AM = R -OM

22、 =22 AN = 2，即底面外接圆的直径是 2，Q ABC = 60o，ANC = 60o，3 AC = AN = 3.2故答案 ： 3【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.p16.在锐角V ABCA，B，C 所对的边分别为a，b，cO V =，点 为 ABC 外接圆的圆心，A中，角，且3uuuruuuruuurlmlmAO = AB + AC ，则的最大值为_.1【答案】9【解析】 【分析】( ) ( )uuur首先变形

23、 AOuuur uuuruuur uuuruuuruuur uuurOB OC ，两边平方后，得到()AOlml m- -lm+= OB -OA + OC -OA=，得到 1()= + -l ml m lm ，最后利用基本不等式求lm 1- -2的最大值22【详解】Q DABC是锐角三角形，DABC在的内部，Ol m0 , 1( ) ( )uuuruuur uuuruuur uuurlmAO = OB -OA + OC -OAuuuruuur uuur()l mlm1- - AO = OB + OC ，()uuuruuur uuuruuurOB2uuuruuur uuur()AOl mlmlm

24、OC 2 OB OC2lm1- -= OB + OC2=+222两边平方后2pQ A =,3uuur uuur uuur= BO = COBOC =120 ，且 AO，o()l ml m lm 1- -= + -222( )lml m1+3 = 2 +l mQ 0 , 1，lmlm，1+3 4= t设 lm，11（舍）或t，3t - 4t +1 ，解得：t23119lmlm 3即，1lm的最大值是 .91故答案为：9【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的( ) ( )uuuruuur uuuruuur uuuruuuruuur uuur(1

25、)l m l m- - AO = OB + OC，然后lmAO = OB -OA + OC -OA关键的关键转化是，整理后得到lm再两边平方求的最大值.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分sin Acos B 2c -b17.在V ABCA B C 所对的边分别为a b c，已知， ， ， ，=中，内角.sin Bcos Ab（1）求 A；= 5 S=10 3= 3DB，求CD（2）设b，D.若 在边上，且ABAD的长.V

26、ABCp【答案】（1） ；（2） 31 .3【解析】【分析】sin Acos B 2sin C -sin B12=，再化简求得cos A =（1）根据正弦定理变换互化为sin Bcos A，求角 A；sin B= 8 D（2）根据面积求 AB， ADC 中，根据余弦定理求CD 的长.sin Acos B 2c -b=【详解】（1）因为，sin Bcos Asin Acos B 2sin C -sin Bb=由正弦定理可得，sin Bcos Asin B化简得：sin AcosB = 2sin Ccos A-cos Asin B所以sin AcosB + cos Asin B = 2sin C

27、cos A，( )，sin A+ B = 2sin C cos A.即( ) ( )sin A+ B = sin -C = sinCp又因为 A+ B + C = p ，所以.则sinC = 2sin C cos A.1因为0 C cos =p ，所以sin 0 ，所以A.C2p因为0 A 0bb因为为正项等比数列，设的公比为.nn bq = =16= 4，23q，即所以b1= b q = 24 = 2所以bn-1n-12n-1.n1( )a = 2 n +1 -3 = 2n -1，b = 2（2）因为2 +1 .nn+1n+1111c =n=所以( )( )( )a log b2n -1 l

28、og 22n -1 2n +12n+1n+12n+12111=-2 2n -1 2n +1T = c + c + c + cn所以123n11 1 1 1 111= 1- + - + - +-23 3 5 5 72n -1 2n +111n=1-=.2n +1 2n +12n=所以T.2n +1n【点睛】本题考查已知数列的前n 项和 S ，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法和计算计算能nS=1na = 力，属于基础题型，1，一般求和的方法包括：1.公式法求和，2.分组转化法求和，3.S - Sn 2nnn-1裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.ABC

29、D的边长为2 2 ，以 AC 为折痕把VACD19.如图，正方形折起，使点 到达点 的位置，且D PPA = PB .（1）证明：平面 PAC 平面ABC；uuuruuur8()= PA 0 i 1，且三棱锥 A BMN 的体积为 ，求l 的值.-l（2）若是的中点，设 PNPCM9 1【答案】（1）证明见解析；（2） .3【解析】【分析】PO，BO 由条件证明 PO， AC, PO OB；（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取 AC 中点O，连结1= S3894=V BO =S=（2）利用等体积转化V，解得，由面积公式解得l 的值.3A-BMNB-AMNVAMNVAMN【详解】，BO解：（1）取 AC 中点O，连结 PO.因为 PC= PA，所以 PO AC.1在VPOB=中， PO OB= 2，ACPB PA= 2 22= PO +OB则 PB2，22 OB所以 PO，I OB = OAC、OB 面 ABC，又 AC，且 ABC所以 PO 面， PAC又 PO 面PA