2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期入学考试数学试题.docx

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1、 长郡中学 20202021 学年度高二第一学期入学考试数 学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 100 分。第 I 卷一、单项选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)11.已知集合 A = x x ，集合 = 1-则 A B=x22B y y41 11A. - , B.-1,1C. 0,1D. 0, 2 22 2.若等差数列 a 各项都是正数， a = 3,a + a + a = 21,则 a + a + a =n1123345A.21B.45C.63D.84

2、113.如图是幂函数 y = x 的部分图象,已知 n 取 ，2，- 2，- 这四个n22值,则与曲线 C ，C ，C ，C 相对应的 n 依次为123411221111C. - ,-2, 2,D. 2， ,-2,-22221 4.已知一-组数据 x ，x ，x ，x ，x 的平均数是 2，方差是 ，那么另一组数据1234533x -2，3x - 2，3x - 2，3x -2，3x - 2 的平均数和方差分别为1234512A.2，B.2，1C.4，D.4，3335.阿波罗尼斯(约公元前 262 年至公元前 190 年)是古埃及希腊化时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:“

3、若动点 P 与两定点 M,N 的距离之比为l（l 0,且l 1) ,则点 P 的轨迹就是圆”,事实上，互换该定理中的部分题设和结论,得到的命题依然成立.已知点 M(2,0)，点P 为圆 O:x +y =16 上的点,若存在 x22轴上的定点 N(t,0)(t4)和常数 ,对满足已知条件的点 P 均有 PM = PN ,则 = .l121314A.1B.C.D.pp 6.若仅存在一个实数t (0, ) .使得曲线 C: y = sin( x -wx t)(w 0)关于直线 =26对称,则 的取值范围是w1 7A. , )3 34 10B. , )3 31 7C. ( , 3 34 10D. (

4、, 3 37.已知一个正三棱锥的高为 3,如下图是其底面用斜二测画法 所 画 出 的 水 平 放 置 的 直 观 图 , 其 中 O 为 BC 的 中 3点,OA=,则此正三棱锥的体2积为33 34A.3B. 3 3C.D.4a b8.已知向量 p = + ,其中 a,b 均为非零向量,则 b 的取值范围是a bA. 0, 2 B. 0,1C. (0,2D. 0,29.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心 O 的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球 O 的体积为256p64p16p4pA.B.C.D.812793设OA = xOB + yOC(x, y R) ,记 M =

5、 OAOC, N = x + y ,分别考察 M、N 的所有运算结果,则A.M 有最小值,N 有最大值值B.M 有最大值,N 有最小C.M 有最大值,N 有最大值D.M 有最小值,N 有最小值二、多项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 3 分,有选错的得 0 分,部分选对得 1 分)1- x11.下列关于函数 f (x) =的说法中正确的是1+ xA. f(x)为奇函数B. f(x)在(0,+上).单调递减C. 不 等 式 f(x)0 的 解 集 为 (-,-1) (1,+) D. 不 等 式 f(x)0 的 解 集

6、为(-1,0) (0,1)12.如图,在正四棱柱 ABCD- A B C D 中,AB= 2 AA ，E、F 分别为1 1 1 11113=B.直线 A E 与直线 C F 共面m1132C. m=D.直线 A E 与直线 C F 异面1132 13.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 ( ) + (- ) = 0, ( + 6) = - ( ) ,且对任意的f x f x f x f xx ，x -3,0 ，当 x x 时，都有x f (x ) + x f (x ) 0) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=g(x)的f xx12p图象.若函数 g(x)在区间0, 上是单调增函数,则

7、实数 可能的取值为w22365A.B.1C.D.2 15.定义在(-,0) (0,+) 上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列 a ,数列n f (a ) 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数.现有定义在(-,0) (0,+)n上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为A. f(x)=x2B. f(x)=2xC. f (x) = xD. f (x) = ln x第 II 卷三/填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.)16.某中学高二年级甲班的学生共有 25 名女生和 35 名男生,现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选 5 名学生代表甲班参加全校演讲比赛,

8、则甲班中某女生被抽到的概率是_。17. 已 知 函 数 y = 3a -1(a 0 , 且 a1) 的 图 象 恒 过 定 点 A(m ， n), 则x-8logmn = _18.若过原点 O 的动直线 l 将圆 E:(x-1) +(y-2) = 10 分成的两部分面积之差最大时,22直线 l 与圆 E 的交点记为 A、B；l 将圆 E 分成的两部分面积相等时,直线 l 与圆 E的交点记为 C、D;则四边形 ABCD 的面积为_。19. 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a、b、c,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“

9、以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之,自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若14c + a -b222abc ， 则ca- () , 现 有 周 长 为 10+2 7 的 ABC 满 足2222sin A: sin B : sin C = 2 :3: 7 , 则 用 以 上 给 出 的 公 式 求 得 ABC 的 面 积 为_。20.已知 a，b 为正实数,且 a+b+ab=3,则 2a+b 的最小值为_四、解答题(本题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或3 演算步骤. )21. (8 分)在AB

10、C 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 b=3,c=4,C=2B,且 .a b(1)求 cos B 及 a 的值;p(2)求cos(2B + )的值.322. (8 分)某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取 50 人进.行统计(已知这 50 人身高介于 155cm 到 195cm 之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组155,160),第二组160,165),.,第八组190,195,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组180,185)和第七组185,190)还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为 5 :

11、 2.(1)补全频率分布直方图;(2)根据频率分布直方图估计这 50 个男生身高的中位数;(3)用分层抽样的方法在身高为170,180)内抽取一个容量为 5 的样.本,从样本中任意抽取 2 个男生,求这两个男生身高都在175,180内的概率.23.(8 分)1 已知数列 a 的前 n 项和为 Sn，且a = (S + 2n) 对任意n N 都成立.*3nnn(1)求 a ，a 的值;12 (2)证明数列 a + 2 是等比数列.并求出数列 a 的通项公式;nn (3)设b = na ，求数列 b 的前 n 项和 Tn.nnn24. (8 分)已知两个定点 A(0,4),B(0,1),动点 P

12、满足 PA = 2 PB ,设动点 P 的轨迹为曲线 E,直线 l:y=kx-4.(1)求曲线 E 的轨迹方程;(2)若 l 与曲线 E 交于不同的 C、D 两点,且COD= 120(O 为坐标原点),求直线 l4 的斜率;(3)若 k=1,Q 是直线 l 上的动点,过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM、QN,切点为 M、N,探究:直线 MN 是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.25.(8 分).设二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ,集合 =A x f x x( ) = (1)若 A= 1,2 ，f (x) 0 ，且方程 f(x)=0 的两根都小于

13、 -1,求实数 a 的取值范围; (2)若 A = 2 ,求函数 f(x)在区间-2,2上的最大值 M(结果用 a 表示).5演算步骤. )21. (8 分)在ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 b=3,c=4,C=2B,且 .a b(1)求 cos B 及 a 的值;p(2)求cos(2B + )的值.322. (8 分)某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取 50 人进.行统计(已知这 50 人身高介于 155cm 到 195cm 之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组155,160),第二组160,165),.,第八组190,195,并

14、按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组180,185)和第七组185,190)还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为 5 : 2.(1)补全频率分布直方图;(2)根据频率分布直方图估计这 50 个男生身高的中位数;(3)用分层抽样的方法在身高为170,180)内抽取一个容量为 5 的样.本,从样本中任意抽取 2 个男生,求这两个男生身高都在175,180内的概率.23.(8 分)1 已知数列 a 的前 n 项和为 Sn，且a = (S + 2n) 对任意n N 都成立.*3nnn(1)求 a ，a 的值;12 (2)证明数列 a + 2 是等比数列.并求

15、出数列 a 的通项公式;nn (3)设b = na ，求数列 b 的前 n 项和 Tn.nnn24. (8 分)已知两个定点 A(0,4),B(0,1),动点 P 满足 PA = 2 PB ,设动点 P 的轨迹为曲线 E,直线 l:y=kx-4.(1)求曲线 E 的轨迹方程;(2)若 l 与曲线 E 交于不同的 C、D 两点,且COD= 120(O 为坐标原点),求直线 l4 的斜率;(3)若 k=1,Q 是直线 l 上的动点,过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM、QN,切点为 M、N,探究:直线 MN 是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.25.(8 分).设二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ,集合 =A x f x x( ) = (1)若 A= 1,2 ，f (x) 0 ，且方程 f(x)=0 的两根都小于 -1,求实数 a 的取值范围; (2)若 A = 2 ,求函数 f(x)在区间-2,2上的最大值 M(结果用 a 表示).5