山东省烟台市2020-2021学年度高三第一学期期中考试数学试题(PDF版含答案).docx

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1、 山东省烟台市学年度第一学期期中考试题高三数学注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上3使用答题纸时，必须使用0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.=-2,-1,0,1,2 B =x | -1 -”是“ a b a b ”的2.若非零向量 , 的夹角为q ，则“a b2A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件pcos(a +

2、) =43sin2 =3.若，则a411338-D.A.B.C.8881= 2 ,b = ( ) ,c = log 0.3a,b,c的大小关系为4.设 aA. a，则0.2-0.320.2 b cB.b a cC.b c aD.c a bDABC= 3上一点，且 AB AM ，则CB=5.若 M 为的边ABA.3CM - 2CAB.3CA-2CMC.3CM + 2CAD.3CA+ 2CM2 x(x) =6.函数 f在其定义域上的图象大致为ln x高三数学试题第 1 页（共 5 页） 7.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T ，则经01t-T = ( ) (T

3、-T )过一定时间t 后的温度T 将满足T，其中T 是环境温度，h 称为半h2a0aa85 C25 C55 C 10，需要 分衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到45 C ，大约需要多少分钟？(lg2 0.3010,lg3 0.4771)钟，则欲降温到A.12B.14C.16D.18x -1,1 x 3(x) =g(x) = f (x) - ax有两个不同的零点，则实8.已知函数 f，若函数xln ,3 b 09.若a，则112 2A.B.D.ab-1a - b a+b a - bC. a22(x)Rf (4 - x) = f (x)是定义在 上的奇函数，且满足 ，则下列说法正

4、确的是10.已知 f(x +8) = f (x)A. fB. f(x) 在区间(-2,2)上单调递增(2019) + f (2020) + f (2021) = 0C. fp p(x) = cos( x + )D. f是满足条件的一个函数42(x) = Asin(wx +j),( A,w,jA 0)的部分图象如图所示，则11.函数 f是常数，高三数学试题第 2 页（共 5 页） p(x) = 2 cos( - 2x)A. fB. fC. fD. f6p(x) = 2 sin(2x + )3p(x)(x)= p + , Z的对称轴为 x kk125pp p - , p + , Zkk的递减区间为

5、 k1212sin x(x) =, x(0, 12.已知函数 fp ，则下列结论正确的有x(x)在区间(0,p上单调递减A. fB.若C. f0 x x sin x1p ，则12221(x)(0, 0,1)在区间 p 上的值域为D.若函数 g(x) = xg(x) + cos xg( ) = -1，且 p，则g(x) (0,p在上单调递减三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.,b| - | =1| - 2 | =，则 a b13.设a 为单位向量，且 a b.(x) = 1- x + ln x214.函数 f的定义域为.(x)Rf (x)是定义在 上的偶函数，其导函数为

6、，若对任意的正实数，15.已知函数 f( ) + 2 ( ) (- 2)( )2|x-1|.16.如图，C、DC、D 到一条公路的垂直距离分别为CA = 8km是两所学校所在地， ，DDB = 27km .为了缓解上下学的交通压力，决定在 AB 上找一点 P ，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC 和 PD ，pCAq(0 q)，则当 PC PD 最小时，APC = 0).已知函数 f2(x)（1）讨论函数 f的单调性；( ) x -1ln x 在(1,+)（2）若关于 x 的不等式 xf x上恒成立，求实数a 的取值范围.x22.（本小题满分 12 分）(x) = e + ax -1 (a

7、R )已知函数 f.x= f (x)y = x有且只有两个交点，求a 的（1）若对任意的实数 x ，函数 y的图象与直线取值范围；1(x) = f (x)- x +1g(x)x , xx 2.12高三数学试题第 5 页（共 5 页） 山东省烟台市学年度第一学期期中考试题高三数学参考答案及评分标准一、单选题C A B D A B C D二、多选题9.ABD10. ACD11.AB12.ACD三、填空题13x | x 13. 314.(0,115.16. 1222四、解答题 b ，所以ab = 017. 解：（1）因为a，1 分3故1cos x - sin x = 0tan = 3，所以 x .2

8、 分221p 2paa（2）因为 在b 上的投影向量长度为 ，所 以 与b 的夹角为 或.3 分23331p当夹角为 时，cos x - sin xab1222cos =3| a |b |111pp p- x (- , )6 3ppsin( - x) =x(0, )所以所以，又，所以，3223ppp- x =x =，即6 分3663122pcossinx-xab12当夹角为时，cos =2= -3| a |b |1112pp pppsin( - x) = - x (- , )- x所以，又，所以不存在. 9 分.10 分336 33p综上：所以 x 的值为612a100 +10b - ln 2

9、 =17.718. 解：（1）由已知得：1a225+15b - ln3 = 25 2151= - ,b =化简得：a.4 分25251 151 y = - x2 + x - ln (x 10)50 25x5分5则该景点改造升级后旅游增加利润为：15125x126xL(x) = -x +2x - ln - x = - x +x - ln (x 10)6分250550255126x(x) = - x +x - ln (x 10)（2）由（1）得：L250255126 1+ - = -x - 26x + 25(x -1)(x - 25)25x2( ) = -则 L x= -x8分2525 x25x(

10、 ) = 0令 L x= 25得， x(10,25)L(x) 0L(x)， 单调递增；当 x时，当 x(25,+) 时，L(x) 0，L x 单调递减；( )10分x = 25 时，L(x) 取得最大值，且L(x) = L(25) =11.9 11分max 当投入25 万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9 万元.12分19. 解：若选：因为acosB + bsin A = c，所以sin AcosB + sinBsin A = sinC= sin(A+ B) = sin Acos B + cos Asin B ，所以sinBsin A = cos AsinB3分6分p，所以 A = .

11、4因为sinB 0，所以sin A = cos AaDABC= 2 2，所以a = 4sin A = 2 28分因为的外接圆半径为2 ，所以sin A+ c = 2a = 4所以b，= b + c - 2bccos A = (b + c) - 2bc - 2bccos A又因为a222210分8所以8 =16 - 2bc - 2bc，所以bc= 4(2 - 2) = 8- 4 2. 12分2 + 2+ bcos A = 3asin B，所以sin B + sin Bcos A = 3sin Asin B若选：因为b1分1p因为sinB 0，所以3sin - cos =1，所以sin(A-)=

12、，3分AA62pp 5p因为0 A (, )，pA- -，所以66 62 p pp所以 A- = ，所 以 A = .6 分6 63aDABC的外接圆半径为2 ，所以= 2 2，所以 =4sin A = 2 3 8 分因为asin A+ c = 2a = 2 6a = b + c - 2bccos A = (b + c) - 2bc - 2bccos A所以b，又因为 222210 分12 分所以12 = 24 - 2bc - bc ，所以bc = 4.+ c - a = 4 3S若选：因为b222，DABC2bccos A = 2 3bcsin A由余弦定理得3 分6 分3ptan A =D

13、ABCA =所以因为，所以.36a= 2 2，所以a = 4sin A = 22的外接圆半径为 ，所以8 分sin A+ c = 2a = 2 2所以b，= b + c - 2bccos A = (b + c) - 2bc - 2bccos A又因为a222210 分= 4(2 - 3) = 8 - 4 3. 12 分44 = 8- 2bc - 3bc ，所以bc =所以2 + 38 + 4x 4x -8 8 + 2x 8 - 2x20. 解：（1）设 AC= x，则AB = 3AC = 3xs =，所以2222= 2 (2 + x)(x - 2)(4 + x)(4 - x) (2 4)x4

14、分= 2 (2 + x)(x - 2)(4 + x)(4 - x) = 2 (x - 4)(16 - x )（2）由（1）得， s22(x - 4) + (16- x )22 2= 12- 4 = 16 -x = 10时等号成，当且仅当 x2x ，即22立，所以 得最大值为12 .8 分s= 10, AB = 3 10, BC = 8此时 AC，由余弦定理得10 + (3 10) -8 3222cos A =，2 10 3 1054所以sin A = 1- cos2 A = .12 分5法二：3 = 2 (2 + x)(x - 2)(4 + x)(4 - x) = 2 (x - 4)(16 -

15、 x )由（1）得， s22= 2 -x + 20x - 64 = 2 -(x -10) + 36，4222当 2 = ，即 x10= 10时， 取得最大值12 . 8 分xs= 10, AB = 3 10, BC = 8此时 AC，由余弦定理得102+ (3 10) -8 322cos A =，2 10 3 1054所以sin A = 1- cos2 A = .12 分5(0,+)21. 解：（1） x( ) = 2( -1)+ ( -1) = 2( -1)+ (1- x)1f xxaxaxxa(x -1) (2x - a)(x -1)= 2(x -1)-=xxa( ) = 0x= 或 =1

16、令当，则 x3 分f x2aa0 a 2f x( ) (0,+)在当 a时，函数时，函数上单调递增；5 分aaf x( )(0,1),( ,+)(1, )当 a在区间上单调递增，在区间上单调递减226 分ln x（2）原不等式化为：a 2x -ln x， x在(1,+)上恒成立. 7 分x设 h(x) = 2x -(1,+)x1- ln x 2x -1+ ln x2( ) = 2 -h x=x2x21(x) = 2x -1+ ln xg(x) = 4x + 02令 g，则x(x) (1,+)在g(x) g(1)=1 0 所以h(x) 010 分所以上单调递增，g(x) (1,+)上单调递增，且

17、h(1)= 2在则函数 h0 a 212 分4 = e + a22 解：（1） 由已知 得： 函数 y的图 象与直 线 y = x 有 两个交 点，即 方程xe - x + a = 0x有两个不相等的实数解.设 h(x) = e - x + a ，则h(x) = e -1，令( ) 0= 0得： x 1 分h x=xxx(-,0) 时， h(x) 0( )，h x 单调递增h(x) = h(0) = a +1mina +1 0 a -1，3 分x -时，h(x) +x + 时，h(x) +且； -1时，函数 = ( )y f x的图象与直线 = 有且只有两交点. 4 分y x a1(x) =

18、e - x + axg(x) = e - x + a（2） g，x2x2Qg(x),g(x) = 0,函数有两个极值点 x x ， 方程有两个不同旳实数解 x x .1212(x) = e - x + a h(x ) = h(x ) = 0x 0 0）- x- xx- xx22222222222(x) = e -e + 2x(x 0)设 k-xx11( ) = -e - e + 2 = - - e + 2 = -( + e ) + 2 0则 k x-xxxxeexxk(x) 在(0,+)上单调递减Q k(0) = 0 k(x) 0 (- ) 0恒成立，即h x又，2x -x (- )单调递减，

19、 g x g x又112(x ) + g(x ) 2g(-x ) + g(x ) 2，只须证要证 g12225 e + e - x - 2 0即证9 分- xx2222(x) = e +e - x -2(x 0)(x) = -e +e -2x设j，则j-xx2-xx(x) = -e +e -2x(x 0)令-xxp( ) = e +e -2 0则，-xxp x所以单调递增，p(x) (0,+)在p(x) p(0) = 0 (x) 0，即j(x) (0,+) 单调递增，j(x) j(0) = 0在所以j11 分- 2 0 0e + e - - 2 0e + e -x，即2 2故当时，-xx2-2

20、xxxx2所以12 分g(-x ) + g(x ) 2g(x ) + g(x ) 2，亦即22126= e + a22 解：（1） 由已知 得： 函数 y的图 象与直 线 y = x 有 两个交 点，即 方程xe - x + a = 0x有两个不相等的实数解.设 h(x) = e - x + a ，则h(x) = e -1，令( ) 0= 0得： x 1 分h x=xxx(-,0) 时， h(x) 0( )，h x 单调递增h(x) = h(0) = a +1mina +1 0 a -1，3 分x -时，h(x) +x + 时，h(x) +且； -1时，函数 = ( )y f x的图象与直线

21、= 有且只有两交点. 4 分y x a1(x) = e - x + axg(x) = e - x + a（2） g，x2x2Qg(x),g(x) = 0,函数有两个极值点 x x ， 方程有两个不同旳实数解 x x .1212(x) = e - x + a h(x ) = h(x ) = 0x 0 0）- x- xx- xx22222222222(x) = e -e + 2x(x 0)设 k-xx11( ) = -e - e + 2 = - - e + 2 = -( + e ) + 2 0则 k x-xxxxeexxk(x) 在(0,+)上单调递减Q k(0) = 0 k(x) 0 (- )

22、0恒成立，即h x又，2x -x (- )单调递减， g x g x又112(x ) + g(x ) 2g(-x ) + g(x ) 2，只须证要证 g12225 e + e - x - 2 0即证9 分- xx2222(x) = e +e - x -2(x 0)(x) = -e +e -2x设j，则j-xx2-xx(x) = -e +e -2x(x 0)令-xxp( ) = e +e -2 0则，-xxp x所以单调递增，p(x) (0,+)在p(x) p(0) = 0 (x) 0，即j(x) (0,+) 单调递增，j(x) j(0) = 0在所以j11 分- 2 0 0e + e - - 2 0e + e -x，即2 2故当时，-xx2-2xxxx2所以12 分g(-x ) + g(x ) 2g(x ) + g(x ) 2，亦即22126