江苏省南通市2021届高三12月月考模拟测试数学试题.docx

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1、 江苏省南通市 2021 届高三月考模拟测试数学试题2020.12一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。= x | x2 - x 0，N= x | x 2，则M N=()1 设集合Mx | x 0x |1 x 2A.B.D.x | 0 x 1x | x 0 1 x 0,且a 1 ，则“a 12已知函数 f x”是“上a是增函数”的A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件3若复数 满足 z(1+ i) = -2i （其中i 为虚数单位），则 的共轭复数是()zzA1-B1+C-1-D-1+i

2、iiix2+ 2x(x) =4函数 f的大致图象是（）exABCDABCD中，E ，F 分别为BC CD，AB = 2DC AD AB = 0， ，5已知四边形的中点，若| AB |= 2 | AD |= 2 ，则AF DE = （）14123ABCD146要得到函数y = sin x - cos x 的图象，只要将函数y = sin x + cos x 的图象（）A向左平移 个单位B向右平移 个单位441 C向左平移 个单位D向右平移 个单位222p7在三棱锥 -中，PA 平面ABC ，BAC=，AP = 3 ，Q 是边= 2 3 BCP ABCAB3p上的一动点，且直线PQ 与平面ABC

3、所成角的最大值为 则三校锥P - ABC 的外接球的表3面积为 (A50p)B55pC57pD108pex + ex8已知函数 ( ) = - 2 - 6 - 3，g(x) =f x，实数 ， 满足 0( )=p9将函数 f x的图象向右平移 个单位长度得到函数y g x 的图象，12( )g x p 0,w上是单调增函数，则实数 可能的取值为（若函数在区间）22A.56B. 1C.D. 2310已知下列命题：1p : $x 0，使1lg x2 + lg x ；41p :若2sin x 0，则sin+ 2恒成立；xsin xxp : x + y = 0 的充要条件是 = -13y下列命题中为假

4、命题的是（）( ) p ApB pp1212( ) p pDpCp1223p11已知定义在0, ) 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且 f (0) = 0 ，f (x)cos x + f (x)sin x 0 ，2则下列判断中正确的是()2 p6 ppA ( ) 0f lnff6243ppppC ( ) 2 ( )D ( ) 2 ( )f fff6343DABC12已知边长为 2 的等边，点 D、E 分别是边 AC、AB 上的点，满足 DEBC 且( )ADl l ( 0,1D =将DADE，沿直线 DE 折到 A DE 的位置，在翻折过程中，下列结论AC成立的是A在边 A E

5、 上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF/平面 A CD12 0, ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 A BC 平面 BCDEB存在l1=-27 =A B2 -D在翻折过程中，四棱锥 A BCDE 积的最大值记为2 3( ) ( )l , l的最大值为ff9三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13 周髀算经记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为6 7 8商高定理我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数现从 ， ， ，9 10 53这 个正整数中随机抽取 个数，则恰好构成勾股数的概率为，1

6、,x 0) 与相切，与交于 、 两点，与 交于 、 两M N P QOFC点，其中 、 在第一象限，记P的面积为 ( ) ，求 (| NQ | - | MP |) S(k) 取最大值时，S kMO直线 的方程l22(本小题满分 12 分)alnx已知函数 ( ) =f xx+ x1（1）当 =1时，判断 f (x) 的单调性，并求 f (x) 在 ， e 上的最值；ae（2）$ (0 ，e ， ( ) + 2 ，求 的取值范围f xx0aa06 江苏省南通市 2021 届高三月考模拟测试数学参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一

7、项是符合题目要求的。1. D 2. B 3.4. A 5. A 6. D 7. C 8.AD二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9.ABC 10. ABD 11.12. CDCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。1a =11314-2,015n n16410四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。= 3csin A - a cos

8、C1717解：（1）选，a，sin A = 3 sin C sin A - sin AcosC12sin A 0，3 sin- cosC =1，即sinCC-=6 5 C - = ，即C =0 C - C - 又，故66 66 63( ) ( )2a -b sin A+ 2b -a sin B = 2csinC选，( ) ( )2a -b a + 2b - a b = 2c2，即 a2+ b - c = ab，22a + b - c 1222cosC =，2ab20 C =，C3=（2）由（1）可知，C，3在ABC中，由余弦定理得a2 cos3，即a + b - ab = 3，+ b - ab

9、 C =22227 ( )3 a + b2( )+ b -3 = 3ab a2，4+ b 2 3=，当且仅当a b时取等号， a+ b + c 3 33 3，即 ABC周长的最大值为 a= 2S + 2(n 2)S = 2S + 2(n 3)，18（1）由 S，可得nn-1n-1n-2- S = 2(S - S )a = 2a (n 3)，- S，所以nn-1n-1n-2nn-1+ a = 2a + 2 a = 2a = 42a = 2a，所以 ，又 a，所以211121故a 是首项为 ，公比为 的等比数列，故a 22= 2nnn- b =1-= 2-=1+ 2，（2）由题意得b，bb2n，所

10、以bb2n-1nn2n2n-12n+12n+1- b=1+ 2n-1 ，b- b=1+ 2n-2b - b =1+ 2b - b =1+ 2， ，则b，212n-12n-32n-32n-553312(1- 2 )n-1-b = n -1+ (2 + 2 + + 2 ) = n -1+= 2 + n -3(n 2)，所以b12-1nn1- 22n-11= 2 + n - 2(n 2)b = 2 + n -1(n 2)所以b所以b，所以，nn2n-12n+ b = 2 + 2n - 3(n 2)+n+1，易得b b 也适合上式，2n2n-112b 10所以的前项和为nb + b + + b + b

11、 = (2+ 2+ + 2 ) + (-1+1+ + 7) =139 2361291019解：（1）证明：取的中点 E ，连接 DE BC因为= 2AD ，所以AD BE=BC又因为AD BC/ / ，所以四边形 ABED 是平行四边形因为ABC = 90 所以四边形 ABED 是矩形所以DE BC 1又BCD = 45 所以DE CE=BC2所以是直角三角形，即BD CDABCD又 PD 底面， BD 底面，所以 BD PD ABCD又 PD，CD 平面ABCD= 所以 BD 平面 PCD，且PCDPD CD D8 又平面 PCD，所以BD PCPC（2）解法一：因为， 平面，平面 PAD，

12、AD / /BC平面 PADADPAD BC /所以BC / /设平面PAD和平面 PBC的交线为 ，则l，BC / /l连接所以，因为，且 BC PDPEBCDE BC，所以 平面 所以 PDE l PD l PE 平面l， PDE所以EPD是平面 PAD和平面 PBC所成二面角的平面角设又= ，则AD 1= ，由（1）知BC 2= ，DE 1 DC=2PC BC=，所以PD=2PDPE66在 DPED中，PDE = 90 ，=，所以 =cos EPD=PE33所以平面PAD和平面 PBC所成的角（锐角）的余弦值为3解法二：如图，以 为坐标原点，分别以D， ，DB DC DP所在直线为 轴，

13、 y 轴， 轴建立x z空间直角坐标系 D - xyz ，设= ，则AD 1= ，由（1）知BC 2= ，DE 1 DC=，2 DB=又PC BC=，所 以=22PD2 2,2 2所以B( 2,0,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2), E(,0)所以 BC = (- 2, 2,0) ， PC = (0, 2, - 2) 设平面的法向量为n = (x ， y ， z)，PBC= 0- 2x + 2y = 0n BC则，即，取 = ，则 y =1， = ，x 1 z 1n PC = 0 2y - 2z = 0所以平面的一个法向量为n = (1，1，1) PBC2 2,2 2又平面的一

14、个法向量为 =m DE (=，0) ，PADm n26所以cos m,n=| m | | n |3 136所以平面PAD和平面 PBC所成的角（锐角）的余弦值为39 20. 解：（1）由频率分布直方图可知 =p 0.01，抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人10n =1000.1（2）n 100=， “读书之星”有= ，100 0.25 25从而 22列联表如下图所示：非读书之星 读书之星总计45男女30457515102555总计100将 22列联表中的数据代入公式计算得：100(3010 -15 45) 1002K = 3.030 b 0) C31由题设知+a2 4b

15、21= 1因为的标准方程为 -(x3)2 y2+= ，F41所以 的坐标为( 3,0) ，半径 = Fr2设左焦点为 ，则 的坐标为(- 3,0) FF111212由椭圆定义，可得=+=- -2a | AF | | AF | 3 ( 3)2+-+-+-0)2(0)2( 33)(21由解得 = ， = a 2 b 1x2所以 的方程为 + y =1C24（2）由题设可知， 在 外， 在 内， 在N C内， 在Q外，在直线 上的四点满F lMCPF足=-，| MP | | MN | | NP | | NQ | | PQ | | NP |=-y = k(x - 3)由消去 y 得(1+ 4k )x

16、- 8 3k x +12k - 4 = 02222x2+ y =12 4因为直线 过椭圆 内的右焦点 ，FlC所以该方程的判别式 恒成立0设， ，y ) Q(x y )P(x112212k - 48 3k22由韦达定理，得 x + x =， x x =1+ 4k1+ 4k12212211 4k + 42| PQ |= (1+ k )(x + x ) - 4x x =224k +1121 22又因为的直径= ，| MN | 1F3所以-=-=-=- =| NQ | | MP | | PQ | | NP | (| MN | | NP |) | PQ | | MN | | PQ | 14k2 +1y

17、 = k(x - 3) 可化为 kx - y - 3k = 0 3k因为 与l相切，所以 的半径 R =O，Ok2 +1p3 k2所以 S(k) = pR =2k +12p9 kp9 k9p9p22所以 (| NQ | - | MP |) S(k) = p (4k +1)(k +1) 4k + 5k +11122424k + + 5+522 4k2k2k212当且仅当=，即 =时等号成立4kk2k222因此，直线 的方程为 =(x - 3) ly2lnx22解：（1）挡 = 时，a 1=+ ，定义域为(0,+) ，f (x)xx1- lnx1+ x - lnx2 f (x) =+1=，x2x2

18、设g(x) 1 x2 lnx= + - ，2x -1 ( 2x +1)( 2x -1)2则 g(x) =，xx2令 g(x) = 0 ，解得 x =，2函数 g(x) 在 (0, 2) 上单调递减，在(2， +) 上单调递增，2223 ln2则 g(x) = g( ) = + 0 ，222min f (x) 在 (0,+) 上为增函数，12 111f ( )e1故在 ， 上的最大值为 （e）= + ，最小值为f (x) ee= - feeee（2）+ 可转化为 - 2x a(x - lnx ) ，f (x ) a 2x200000令h(x) x lnx= -，x -1则 =h (x)， ，x

19、0x当 时，0 x 1 时，x 1 ，函数h(x) 0单调递增，h(x)h(x) = h （1） =1 0 ，minx - 2x2于是 a，00x - lnx00x2- 2x令j(x) =则j(x) =， ， ，x (0 ex - lnx(2x - 2)(x - lnx) - (x - 2)(x -1) (x -1)(x - 2lnx + 2)=，(x - lnx)2(x - lnx)22 - 2lnx = 2(1- lnx) 0 ，j(x)在 (0 ，1上单调递减，在(1,e) 上单调递增，故j(x) = j （1） = - ，1min从而1- ，a故 的取值范围是-1， +) a134k

20、+ 42| PQ |= (1+ k )(x + x ) - 4x x =224k +1121 22又因为的直径= ，| MN | 1F3所以-=-=-=- =| NQ | | MP | | PQ | | NP | (| MN | | NP |) | PQ | | MN | | PQ | 14k2 +1y = k(x - 3) 可化为 kx - y - 3k = 0 3k因为 与l相切，所以 的半径 R =O，Ok2 +1p3 k2所以 S(k) = pR =2k +12p9 kp9 k9p9p22所以 (| NQ | - | MP |) S(k) = p (4k +1)(k +1) 4k +

21、5k +11122424k + + 5+522 4k2k2k212当且仅当=，即 =时等号成立4kk2k222因此，直线 的方程为 =(x - 3) ly2lnx22解：（1）挡 = 时，a 1=+ ，定义域为(0,+) ，f (x)xx1- lnx1+ x - lnx2 f (x) =+1=，x2x2设g(x) 1 x2 lnx= + - ，2x -1 ( 2x +1)( 2x -1)2则 g(x) =，xx2令 g(x) = 0 ，解得 x =，2函数 g(x) 在 (0, 2) 上单调递减，在(2， +) 上单调递增，2223 ln2则 g(x) = g( ) = + 0 ，222min

22、 f (x) 在 (0,+) 上为增函数，12 111f ( )e1故在 ， 上的最大值为 （e）= + ，最小值为f (x) ee= - feeee（2）+ 可转化为 - 2x a(x - lnx ) ，f (x ) a 2x200000令h(x) x lnx= -，x -1则 =h (x)， ，x 0x当 时，0 x 1 时，x 1 ，函数h(x) 0单调递增，h(x)h(x) = h （1） =1 0 ，minx - 2x2于是 a，00x - lnx00x2- 2x令j(x) =则j(x) =， ， ，x (0 ex - lnx(2x - 2)(x - lnx) - (x - 2)(x -1) (x -1)(x - 2lnx + 2)=，(x - lnx)2(x - lnx)22 - 2lnx = 2(1- lnx) 0 ，j(x)在 (0 ，1上单调递减，在(1,e) 上单调递增，故j(x) = j （1） = - ，1min从而1- ，a故 的取值范围是-1， +) a13