高中数学函数求最值的常用方法.docx

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1、高中数学函数求最值的常用方法姜洪月 郭丽【摘要】最值问题是高考考查的重要知识点，也是高中数学题的常见题型，经常与二次函数、三角函数及不等式紧密联系.本文按六个方面分类探讨求函数最值的方法，分别是：配方法、函数的单调性法、基本不等式法、换元法、几何法.【关键词】函数;最大值;最小值求函数最值的常用方法有：配方法、函数的单调性法、基本不等式法、换元法、几何法、判别式法、分离变量法和导数法.一、配方法适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.形如F（x）=af2（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法.例1 求函数y=-x2+4x+2（x-1，1）的最大值与最小值.解 y=-

2、x2+4x+2=-（x-2）2+6.-1x1，-3x-2-1，1（x-2）29，-3-（x-2）2+65，-3y5.函数y=-x2+4x+2（x-1，1）的最小值为-3，最大值为5.二、函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值，若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取到最大值或最小值.若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，在求出各个小區间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值.例2 求函数y=x-1-2x的最值.解 当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-1-2x 随x的增大而增大，函数y=x-1-2x在

3、定义域JB（-，1 2JB）上是增函数，y1 2-1-21 2=1 2，函数y=x-1-2x的最大值为1 2，无最小值.三、基本不等式法基本不等式：设a1，a2，an是n个正数，则有a1+a2+an 2KF（Sn a1a2an，其中等号成立的条件是a1=a2=an.运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件;“定”是指各项的和或积为定值;“等”是等号成立的条件.故原函数的最小值为5，无最大值.四、换元法对解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数.其题型特征是函数解析式

4、中含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元;当根式里是二次式时，用三角换元.例4 求函数y=2x+1-2x的最值.解 令t=1-2x（t0），则x=1-t2 2，y=-t2+t+1=-t-1 22+5 4.则当t=1 2，即x=3 8时，ymax=5 4，无最小值.五、几何法某些二元函数最值问题具有图形背景，这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式，再利用几何图形，对函数最值做出直观的说明和解释.例5 求函数y=|x+3|+|x-5|的最值.解 y=|x+3|+|x-5|=JB（-2x+2（x-3），8（-3x5），2x-2（x5），y=|x+3|+|x-

5、5|的图像如图所示，由图像知：函数y=|x+3|+|x-5| 的最小值为8，无最大值.六、判别式法把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）=0;通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如y=a1x2+b1x+c1 a2x2+b2x+c2（a1，a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解.例6 求函数y=x2-x+3 x2-x+1的值域.解 由y=x2-x+3 x2-x+1变形得（y-1）x2-（y-1）x+y-3=0，当y=1时，此方程无解;当y1时，xR ，=（y-1）2-4（y-1）（y-3）0，解得1y11 3，又y1，1函数y=x2-x+3 x2-x+1的最大值为11 3

6、，无最小值.总而言之，在具体题中求某个函数的最值时，首先要仔细认真观察这个题型的特征，然后再选择一个恰当的方法，一般做题时应优先考虑函数的单调性法，最后才考虑用其他各种特殊求最值的方法.以下资料为赠送资料：滴水之中见精神主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听

7、大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说

8、：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，

9、请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可

10、惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水

11、伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵。