第2讲：概率论基础知识及应用ppt课件.ppt

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1、 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例） 彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的决窍报童的决窍 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 n 序言序言 人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以及其他社会问题中，通常总是通过及其他社会问题中，通常总是通过调查调查或对社会现象的或对社会现象的观

2、察观察来来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过过科学实验科学实验或对自然现象的或对自然现象的观察观察来获取所需要的资料。来获取所需要的资料。 对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统计学中都统称为计学中都统称为试验试验。现象现象确定现象确定现象随机现象随机现象相同条件下，结果总是相同相同条件下，结果总是相同相同条件下，结果不总是相同相同条件下，结果不总是相同一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述（1 1）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个

3、；）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；（2 2）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知. .n 随机试验随机试验（1 1）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；（2 2）在一批产品中任意抽取一件进行检验；）在一批产品中任意抽取一件进行检验；（3 3）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；（4 4）对某产品进行的寿命）对某产品进行的寿命. .【举例举例】1.11.1随机事件及其概

4、率随机事件及其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述n 随机事件及相关概念随机事件及相关概念u 随机事件随机事件随机试验的结果称为随机事件随机试验的结果称为随机事件. .u 基本事件基本事件试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点. .u 复合事件复合事件由多个基本事件构成的集合由多个基本事件构成的集合. .基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母 A A，B B，C C， 表示表示. .u 样本空间样本空间由试验由试验 E E 所有样本点组成的集合，常用字母所有样本点组成的集合，常用字母

5、 S S 表示表示. .u 必然事件必然事件每次试验中必然发生的事件；样本空间每次试验中必然发生的事件；样本空间 S S 是必然事件是必然事件. .u 不可能事件不可能事件试验中不可能发生的事件，记为试验中不可能发生的事件，记为 . .样本空间的任何子集样本空间的任何子集. .1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述SA1=出现偶数点A2=小于4的点A4=大于 6 的点A3=不超过 6 的点【例1】投一个均匀的骰子，观察出现的点数，则有下列事件：【例2】在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进行检验，分别记为T、F 为抽到正品和次品，则： S =

6、 A1 = 第一次抽到的是正品 A2 = 抽到一个正品 A3 = 两次抽到的质量相同一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率n 事件的关系和运算事件的关系和运算一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率例如： 新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销； 购买彩票中奖的可能性； 项目投资后赢利或亏损的可能性等等； 事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常事件的概率与

7、在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常密切的关系。密切的关系。n 事件的概率事件的概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率 对于随机事件对于随机事件 A A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件 A A 发生的次数发生的次数 nA 与试验次数与试验次数 n n 之比将之比将在某个确定的值附近波动在某个确定的值附近波动。n 频率及其稳定性频率及其稳定性 事件 A 发生的次数 nA 与试验次数 n

8、 之比就称为事件 A 发生的频率，记为 fn(A)，即一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率 人们发现，随着重复试验次数的增多，事件人们发现，随着重复试验次数的增多，事件 A 发生的频率发生的频率 fn(A) 就逐渐稳定地趋近于某个常数就逐渐稳定地趋近于某个常数 P(A) 附近，这一客观存在附近，这一客观存在的常数的常数 P(A) 就称为事件就称为事件 A 的概率。的概率。【著名的掷币试验】一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其

9、概率随机事件及其概率 称满足以下条件的试验为古典概型： 试验的样本空间仅有有限个基本事件； 试验中每一基本事件发生的概率相等。 若试验的样本空间S 包含了n 个样本点，事件A包含了其中的k个，则事件A发生的概率为：一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率【例4】在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率： A = 全为正品 B = 恰有1件次品 C = 至少有3件次品 D = 至少有1件次品P(B) = C15C995C10100= 0.3394 P(A) =1095C= 0.583810100/C解：)(CP79535(CC

10、= 0.0066CC69545)59555CCC/10100)(DP)(AP)(-1AP0.5838-10.4162一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率 设设 A、B 是两个事件，且是两个事件，且 P(A) 0，称在，称在 A A已发生的条件下已发生的条件下B 发发生的概率，为生的概率，为 B 对对 A 的的条件概率条件概率，记为，记为P(B|A).【计算式计算式】【例例5 5】产品抽样检验问题产品抽样检验问题 已知已知 10 10 件产品中有件产品中有 3 3 件是次品，从中先后抽取件是次品，从中先后抽取 2 2 件，作不放回抽样。件，作不

11、放回抽样。 求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。（乘法公式）（乘法公式）【定义定义】一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率B应用：应用：知因求果知因求果一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率n 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！应用：知果寻因应用：知果寻因一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率【例例6 6】某考生回答一道四

12、选一的考题，假设他知道正确答案的概率为某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/21/2， 而他不知道正确答案时猜对的概率应该为而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/41/4。考试结束后发现他答对了，。考试结束后发现他答对了， 那么他知道正确答案的概率是多大呢？那么他知道正确答案的概率是多大呢？ 解：解：设设 A A = = 该考生答对了该考生答对了 ，B B = = 该考生知道正确答案该考生知道正确答案 依题意有依题意有 P P( (B B)=1/2)=1/2， P P( ( B B)=1/2 )=1/2 ，P P( (A A| | B B)=1/4)=1/4，P P( (

13、A A| |B B)=1)=18 . 04121121121)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP再由贝叶斯公式，得：再由贝叶斯公式，得：于是由全概率公式，有：于是由全概率公式，有：P P( (B B)=)=一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率【例7】伊索寓言故事”狼来了“。一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他大喊：狼来了，结果山下的村民都上山打狼，结果狼没来；第二天，仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没人来救他。为什么？分析：村民的对小孩的可信度是如何下降的？ A记记“小小孩孩说说谎谎”，B“小小

14、孩孩可可信信”， ( )0.8P B 假假设设， ()0.1,P A B ()0.5 .P A B 那那么么在在小小孩孩说说谎谎一一次次之之后后，村村民民相相信信他他的的概概率率为为()()( )P ABP B AP A () ()() ()() ()P B P A BP B P A BP B P A B 0.80.10.80.10.20.5 0.444 建模解释：()0.444P B A ( )0.8P B ()P B A 0.138.0.138.【应用】 （1）银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.（2）医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.一、概率论基础知识概述一、概

15、率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率 层次分析的一般方法层次分析的一般方法 -层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例） 彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的决窍报童的决窍 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布设设 X 是一随机变量，是一随机变量，x 是任意实数，称函数是

16、任意实数，称函数 F(x) = PXx 为为 X 的分布函数。的分布函数。对任意实数对任意实数 x1 x2，有，有 P x0，则称 X 服从参数为 , 的正态分布，记为X N( ， 2)。xf (x)0 = 0.5 = 1 = 20f (x)x12一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布 称 =0， =1的正态分布为标准正态分布，记为XN(0, 1)，其密度函数和分布函数分别记为 (x) 和和 ( x ) 。0a-a (-a)1- (a) (x)x (a) 正态分布表给出的是标准正态分布的分布函数的值 (x) 。 查正态分布表时常要用到以下关系：

17、 P Xa = (a) P X a = 1- (a) Pa X b = (b) - (a) (-a) = 1- (a) 一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布设 X N( , 2)，则XZ) 1, 0(N一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布 层次分析的一般方法层次分析的一般方法 -层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例） 彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的诀窍报童

18、的诀窍 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 【引例】“赌博问题” 法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。 巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并 约定谁先赢满5局，谁取得全部 200 元，由于出现意外情况，A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？ 按1:1分？或者其他分法？按4:3分？最多两局便可分出胜负,其情况有以下四种:因此, A 能“期望”得到的数目应为: 32004),(150 元

19、元 而B 能“期望”得到的数目为：12004).(50 元元 一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差设 X 为离散型随机变量，其分布列为：, 2 , 1,)(kpxXPkk1)(kkkpxXE则称为X的数学期望（或期望）设 X 为连续型随机变量，其密度函数为f(x)dxxfxXE)()(则称为X的数学期望（或期望）级数或广义积分绝对收敛【数学期望的含义】 表示了随机变量在随机 试验中取值的平均值， 所以又常称为随机变量 的平均数、均值.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差【再解 “赌博问题 】

20、 法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。 巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并 约定谁先赢满5局，谁取得全部 200 元，由于出现意外情况，A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？ 解：假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。 若是 A赢满了5局，钱应该全归他； 若是A输了，即 A、 B各赢4局，这个钱应该对半分。设X为A所能赢得的金额，则X=1或1/2因为A输赢的可能性都是1/2，于是有X的数学期望如下：E（X）=112121234一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识

21、概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差【案例1】“保险收益问题” 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0. 98, 因事故死亡概率 0.02. 保险公司开办老事故死亡保险, 投保者需交纳保险费100元.若10年 内因事故死亡公司赔偿a 元。 （1）应如何定 a , 才能使公司可期望获益; （2）若1000人投保, 公司期望总获益多少?解：设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得的收益，i =11000，则 Xi 0.98 0.02100a100由题设 02. 0)100(98. 0100)(aXEi002.0100a5000100a于是得公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司

22、获益.公司期望总收益为.20100000)()(1000110001aXEXEiiii若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望总获益40000元.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差【案例2】“验血方案的选择” 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方案有如下两种： （1）逐一化验每个人的血， 共需化验 n 次； （2）分组化验，k 个人的血混在一起化验, 若结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验， 找出有病者, 此时k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p， 且每人化验结果是相

23、互独立的.试说明选择哪一方案较经济.分析：只须计算方案(2)所需化验次数的期望E(X)。为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差解： 设第 i 组需化验的次数为X i, 则其分布列为Xi P 1 k + 1kp1kp 11kpkk1) 1(11)1(1)(kkipkpXE则其期望为：kpnk1)1 (1kniiXEXE1)()(kpkkkn1) 1(于是X的期望为：01)1 (kpk显然，当E (X ) bc.这就是说，报童售出一份赚a-b，退回一份赔b-c.报童每天如果购进的报纸太

24、少，不够卖，会少赚；如果购进太多，卖不完，要赔钱.请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.n 问题提出问题提出问题 报童售报： a (零售价) b(购进价) c(退回价) 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？二、概率论知识应用二、概率论知识应用购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的数学期望售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用 调

25、查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用()()()rab rnrbc nrrn 售出赚退回赔()nnab nr售出赚01( )()()()( )()( )nrrnG nab rbcnrf rab nf r求求 n 使使 G(n) 最大最大(其中其中a,b,c,f(r)已知已知)2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用n 模型求解模型求解nndrrnpbadrrprncbrb

26、anG0)()()()()()(dndG将r 视为连续变量概率密度）()()(rprf0dGdn0()()nnp r d rabbcp r d rnndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用cbbadrrpdrrpnn)()(0121200( ),( )( )1nnp r drPp r drPp r drPPnP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp需求量需求量不超过不超过n的概率的概率需求量超需求量超过过n的概的概率率2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用