2022年分式的知识点及重点题型汇编 .pdf

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1、学习必备欢迎下载分式的知识点及重点题型汇编1、分式的定义：例：下列式子中，yx15、8a2b、-239a、yxba25、4322ba、2-a2、m1、65xyx1、21、212x、xy3、yx3、ma1中分式的个数为（）（A） 2 （B） 3 （ C ） 4 (D) 5 2、分式有，无意义，总有意义：例 1：当 x 时，分式51x有意义；例 2：分式xx212中，当_x时，分式没有意义例 3：x，y满足关系时，分式xyxy无意义；例 4：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A122xx B.12xx C.133xx D.25xx例 5：使分式2xx有意义的x 的取值范围为（）A2xB2

2、xC2xD2x例 6：要是分式)3)(1(2xxx没有意义，则x 的值为（）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3 3、分式的值为零, 大于零，小于零：例 1：当 x 时，分式121aa的值大于0 例 2：当 x 时，分式112xx的值为 0 例 3：如果分式22aa的值为为零 , 则 a 的值为 ( ) A. 2 B.2 C. 2 D.以上全不对例 4：能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（）A 0 x B 1x C0 x或1x D0 x或1x例 5：要使分式65922xxx的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6：若01aa, 则a是( )

3、 A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数4、分式的值为1，为整数：例 1：当 a 时，分式a3的值大于0 例 2 当 a 时，分式23a的值大于 0 例 3 当 a 时， 分式213aa的值大于0 例 2 当 x 时， 分式xx212的值等于 1 5、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式， 分式的值不变。例 1：abyaxy；zyzyzyx2)(3)(6；如果75)13(7)13(5aa成立 , 则a的取值范围是 _；例 2：)(1332baab)(cbacb例 3：如果把分式baba2中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）A、扩

4、大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的20 倍 D、不变例 4：若把分式xyx23的 x、y 同时缩小12 倍，则分式的值（）A扩大 12 倍B缩小 12 倍C不变D缩小 6 倍例 5：若 x、y 的值均扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、yx23 B、223yx C、yx232 D、2323yx例 6：根据分式的基本性质，分式baa可变形为（）A baa B baa C baa D baa例7： 不 改 变 分 式 的 值 ， 使 分 式 的 分 子 、 分 母 中 各 项 系 数 都 为 整 数 ，05.0012.02 .0 xx；例 8：不改变分式的值，使分子、

5、分母最高次项的系数为正数，211xxx= 。6、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类： 分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例 1：下列式子（ 1）yxyxyx122； （2）cabaacab； （3）1baab；（4）yxyxyxyx中正确的是（）A 、1 个

6、 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个例 2：约分：2264xyyx；932xx= ；xyxy132；yxyxyx536.03151。例 3：约分：22444aaa；yxxy2164；)()(babbaa；2)(yxyx22yxayax；1681622xxx；6292xx23314_21a bca bc96922xxx_。例 4：分式3a2a2，22baba，)ba(12a4，2x1中，最简分式有( ) A 1 个 B 2个 C3 个 D4 个7、分式的乘，除，乘方：分式的乘法：乘法法测：badc=bdac. 分式的除法：除法法则：badc=bacd=bcad分式的乘方： 求 n 个相同分

7、式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(ba)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方. 用式子表示为：(ba)n=nnba(n 为正整数 ) 计算： （1）746239251526yxxx（2）13410431005612516axayx（3）aaa1计算： （4）24222aababaababa（5）4255222xxxx（6）2144122aaaaa计算： （7）322346yxyx（8）abab2362（9）2xyxyxxy计算： （10）22221106532xyxyyx（11）22213(1)69xxxxxxx（12）22121441aaaaaa计算： （13）111242122

8、2aaaaaa（14）633446222aaaaaaa求值题：（1）已知：43yx，求xyxyxyyxyxyx2222222的值。（2）已知：xyyx39，求2222yxyx的值。（3）已知：311yx，求yxyxyxyx2232的值。例题：CBCABACBCABA0C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载输入 n 计算n（n+1）n50 Yes No 输出结果 m 计算： （1）232()3yx（2）52ba= （3）32323xy= 计算： （ 4）3222ab= （5）4322ababba（ 6）2

9、2221111aaaaaaa求值题：（1）已知：432zyx求222zyxxzyzxy的值。（2）已知：0325102yxx求yxyxx222的值。例题：计算yxxxyxyx222)(的结果是（）A yxx22 Byx2 C y1 D y11例题：化简xyxx1的结果是（）A. 1 B. xy C. xy D . yx计算： （ 1）422448223xxxxxx； （2）12211222xxxxx（3）(a21) 22221aaa122aa8、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型： “二、三”型； “二、四”

10、型； “四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：222xxx最简公分母就是22 xx。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：4222xxx最简公分母就是2242xxx“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：2222xxxx最简公分母是：22xx例 1：分式 a 与1b的最简公分母为_；例 2：分式xyxyx2221,1的最简公分母为。9、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。

11、2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法： 先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。计算： （1）4133mmm（2）abbbaa（3）2222)()(abbbaa（4）2253a bab2235a bab228a bab. 练习题：（1）22ababbab（2）xxxx2144212（3）2129a+23a. （4）bab-ab2（5）2xyxyyx（6）已知：0342xx求442122xxxx

12、x的值。10、分式的混合运算：例 1：4421642xxxx例 2：34121311222xxxxxxx例 3：222)2222(xxxxxxx例 4：1342xxx例 5：1111xxx例 6：22224421yxyxyxyxyx例 722112()2yxyxyxxyy例 8：xxxxxxx112122例 9：xxxxxxxx4)44122(2211、分式求值问题：例 1：已知x为整数，且23x+23x+22189xx为整数，求所有符合条件的x值的和 . 例 2：已知x2，y12，求222424()()xyxy11xyxy的值 . 例 3：已知实数x 满足 4x2-4x+l=O ，则代数式2

13、x+x21的值为 _例 4：已知实数a满足a22a8=0，求34121311222aaaaaaa的值 . 例 5：若13xx求1242xxx的值是（） A81 B101 C21 D41例 6：已知113xy，求代数式21422xxyyxxyy的值例 7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值221369324aaaaaaa练习题：（1）168422xxxx，其中 x=5. （2）1616822aaa, 其中 a=5 （3）2222babaaba, 其中 a=-3，b=2 （4）2144122aaaaa；其中 a=85；（5）xxxxxxxx4)44122(22，其中 x= -1 （6）先化简，

14、再求值：324xx (x+252x). 其中x 2. （7）3,32, 1)()2(222222babaabaababaabaa其中12、分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，根据其规律可知第个数应是（n为正整数）例 2： 观察下面一列分式：2345124816,.,x xxxx根据你的发现，它的第8 项是，第 n 项是。例 3：按图示的程序计算，若开始输入的n 值为 4，则最后输出的结果m是（）A 10 B 20 C 55 D 50 例 4：当 x=_时 , 分式x51与x3210互为相反数 . 例 5： 在正数范围内定义一种运算，其规

15、则为abba11， 根据这个规则x23)1(x的解为（） A32xB 1xC32x或 1 D32x或1例 6：已知4)4(422xCBxxAxx，则_ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ ,CBA；例7： 已知37(1)(2)12yAByyyy，则（）10,13ABB10,13AB C10,13AB D 10,13AB例 8：已知yx32，求22222yxyyxxy的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载例 9：设mnnm, 则nm11的值是 ( ) A.mn1 B.0 C.1 D.1例 10：

16、先填空后计算：111nn= 。2111nn= 。3121nn= 。 （3 分）（本小题4分）计算：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1) 1(1nnnnnnnn解：)200)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1) 1(1nnnnnnnn= 13、化为一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤： （1）能化简的先化

17、简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根例 1：如果分式121xx的值为 1，则 x 的值是；例 2：要使2415xx与的值相等，则x=_。例 3：当 m=_ 时，方程21mxmx=2 的根为12. 例 4：如果方程3)1(2xa的解是 x5，则 a。例 5：(1)132xx (2) 13132xxx例 6: 解方程：22416222xxxxx例 7：已知：关于x 的方程xxxa3431无解，求a 的值。例 8：已知关于x 的方程12xax的根是正数，求a 的取值范围。例 9：若分式21x与32xx的 2 倍互为相反数，则所列方程为_；例 10： 当

18、 m为何值时间？关于x的方程21122xxxxxxm的解为负数？例 11：解关于x的方程)0(2aabxaxb例 12：解关于x 的方程 :)0(21122abaabaxbax例 13：当 a 为何值时 , )1)(2(21221xxaxxxxx的解是负数 ? 例 14：先化简 , 再求值 :222)(222yxxyxyxyxx, 其中x,y满足方程组232yxyx例 15 知关于 x 的方程)1)(2(121xxmxxxx的解为负值， 求 m的取值范围。练 习题 ：(1) 164412xx(2)0)1(213xxxx(3)XXX1513112(4625xxxx(5)2163524245xxx

19、x (6)11112xx (7) xxx21321(8 ）21212339xxx（9）311223xx14、分式方程的增根与无解的问题：例 1：分式方程3xx+1=3xm有增根，则m= 例 2：当 k 的值等于时，关于x 的方程3423xxxk不会产生增根；例 3：若解关于x 的分式方程234222xxmxx会产生增根，求m的值。例 4：m取时，方程323xmxx会产生增根；例 5：若关于 x 的分式方程3232xmxx无解，则m的值为 _。例 6：当 k 取什么值时？分式方程0111xkxxxx有增根 . 例 7：若方程441xmxx有增根，则m的值是（）A4 B3 C -3 D1 例 8：

20、若方程342(2)axxx x有增根，则增根可能为（）A 、0 B、 2 C、0 或 2 D、1 15、分式的求值问题：例 1：已知31ba，分式baba52的值为；例 2：若 ab=1，则1111ba的值为。例 3：已知13aa，那么221aa_ ；例 4：已知311yx，则yxyxyxyx55的值为（）A 27 B 27 C 72 D 72例 5：已知yx32，求22222yxyyxxy的值；例 6：如果ba=2，则2222bababa= 例 7：已知2xa与2xb的和等于442xx，则 a= , b = 。例 8：若0yxxy，则分式xy11（）A 、xy1 B、xy C 、1 D 、

21、1 例 9：有一道题 “先化简， 再求值：22241244xxxxx（），其中3x。 ”小玲做题时把“3x”错抄成了“3x” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？例 10：有这样一道数学题:“己知 :a=2005, 求代数式a(1+a1) 112aa的值” ,王东在计算时错把“a=2005”抄成了“ a=2050” ，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。例 11：有这样一道题： “计算：2222111xxxxxxx的值，其中2007x” ，某同学把2007x错抄成2008x，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？例题：已知31xx，求1242xxx的值。16、分式

22、的应用题：工程问题：例 1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要 _ 小时。例 2： 小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6 个字，小明打 120个字所用的时间和小张打180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个/ 分钟，则列方程正确的是（）A xx1806120B xx1806120C 6180120 xxD 6180120 xx例 3：某工程需要在规定日期内完成, 如果甲工程队独做, 恰好如期完成 ; 如果乙工作队独做 , 则超过规定日期 3 天, 现在甲、乙两队合作2 天, 剩下的由乙队独做, 恰好在规定日期完成, 求规定日期 . 如果设

23、规定日期为 x 天, 下面所列方程中错误的是( ) A.213xxx; B.233xx; C.1122133xxxx; D.113xxx例 4：一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载成此项工作需要的小时数是（） （A）ba（B）ba11（C）ba1（D）baab例 5：赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21 页才能在借期内读完. 他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时, 平均

24、每天读x 页, 则下列方程中 , 正确的是（）A、1421140140 xx B 、1421280280 xx B 、1211010 xx D、1421140140 xx例 6： 某煤厂原计划x天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3 吨，因此提前 2 天完成任务，列出方程为（）A 31202120 xxB 32120120 xx C 31202120 xxD 32120120 xx例 7：某工地调来72 人参加挖土和运土工作，已知3 人挖出的土1 人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x人挖土列方程7213xx；723xx；37

25、2xx；372xx例 8：八（ 1） 、八（ 2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（ 2）班多种 2 棵树，八（ 1）班种 66 棵树所用时间与八（2）班种 60 棵树所用时间相同，求：八（1） 、八（ 2）两班每小时各种几棵树？例 9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3 天，现在甲、乙两人合做2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？例 10：服装厂接到加工720 件衣服的订单，预计每天做48 件，正好可以按时完成，后因客户要求提前5 天交货，则每天应比原计划多做多少件？例 11：为加快西部大开

26、发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。 如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4 个月， 剩下的由乙队单独施工， 则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？例 12：某工程由甲、 乙两队合做6 天完成， 厂家需付甲、 乙两队共4350 元； 乙、丙两队合做10 天完成，厂家需付乙、丙两队共4750 元；甲、丙两队合做5 天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共2750 元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过20 天完成全部工程，问可由哪队单独

27、完成此项工程花钱最少？请说明理由。价格价钱问题：例 1： “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3 元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为（）A32180180 xx B31802180 xx C 32180180 xxD31802180 xx例 2：用价值 100 元的甲种涂料与价值240 元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3 元，比乙种涂料每千克的售价多1 元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x 元，?则根据题意可列方程为

28、_例 3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600 元和 1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2 倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？例 4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800 元，第二次捐款总额为5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？例 5：随着IT 技术的普及，越来越多的学校开设了微机课. 某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500

29、 元，因此实际支出了64 万元 . 学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？( 该校上微机课时规定为单人单机) 例 6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1 名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙公司则是：所有人全部按8 折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜132，那么参加活动的学生人数是多少人？例 7：北京奥运“祥云”火炬2008 年 5 月 7 日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅” ，广州市民万众喜迎奥运。

30、某商厦用8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2 倍，但单价贵了4 元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58 元，最后剩下的150 件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？顺水逆水问题：例 1：A、 B两地相距48 千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9 小时，已知水流速度为4 千米 / 时，若设该轮船在静水中的速度为x千米 / 时，则可列方程（）A、9448448xx B、9448448xx C、9448x D、9496496xx例 2：一只船顺流航行90

31、km 与逆流航行60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（）A、290 x=260 x B、290 x=260 x C、x90+3=x60 D、x60+3=x90例 3：轮船顺流航行66 千米所需时间和逆流航行48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3 千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例 1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A、221vv千米 B、2121vvvv千米 C、21212vvvv千米 D、无法确定例 2：甲、乙两

32、人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的（）abb倍bab倍baba倍baba倍例 3：八年级 A、B两班学生去距学校4.5 千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后， B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3 倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？例 4：A、B两地的距离是80 公里， 一辆公共汽车从A地驶出 3 小时后， 一辆小汽车也从 A地出发， 它的速度是公共汽车的3 倍，已知小汽车比公共汽车迟20 分钟到达 B地，求两车的速度。例 5：甲、乙两火车站相距1280 千

33、米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短了11 小时，求列车提速后的速度。数字问题：例 1：一个分数的分子比分母小6, 如果分子分母都加1, 则这个分数等于41, 求这个分数 . 例 2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7： 4，求原来的两位数。例 3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。例 4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8 以后去除这个两位数时，所得到的商是2，求这个两位数。17、公式变形问题：例 1：一根蜡烛在凸透

34、镜下成实像，物距为U 像距为 V，凸透镜的焦距为F，且满足FVU111，则用 U、V表示 F应是（）（A）UVVU（B）VUUV（C）VU（D）UV例 2：已知公式12111RRR（12RR） ，则表示1R的公式是（）A212RRRRR B 212RRRRR C 1212()R RRRR D 212RRRRR例 3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距 v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：1u1v1f . 若 f 6 厘米， v8 厘米，则物距u厘米 . 例 4：已知梯形面积,)(21hbaSS、a、b、h 都大于零， 下列变形错误是 （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载AbaSh2 B. bhSa2 C.ahSb2 D.)(2baSh例 5：已知bbaaNbaMab11,1111, 1, 则M与N的关系为 ( ) A.MN B.M=N C.MN D.不能确定 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页