空间解析几何与向量代数-ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21

2、MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向

3、相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页

4、 返回 结束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab)( ab有时特别当,ab aa)( aababaabababa

5、0baba我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物aa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个

6、活的生物定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“ ”则,0 时当例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a

7、,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动

8、 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 M我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是

9、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzj

10、yix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixOA, jyOBkzOC我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多

11、么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(1

12、11zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:机动

13、目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回

14、结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也

15、感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5. 在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物提示提示:(1)

16、 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),

17、(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么

18、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例7. 已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知作业作业 P300 3 ,

19、5, 13, 14, 15, 18, 19角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO第二节 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物备用题备用题解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k机动 目录 上页 下页 返回 结束 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束 mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1( nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, jim