垂径定理优秀PPT课件.ppt

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1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径EDCOABOBAE 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）米，拱高（弧的中点到弦的距离）为为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线经过圆心的直线, , 它有它有无

2、数条对称轴无数条对称轴. .OAM=BM,AM=BM, ABAB是是O的一条弦的一条弦. .你能发现图中有哪些相等的线段和弧？你能发现图中有哪些相等的线段和弧？n作直径作直径CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足为垂足为M.M.n下图还是轴对称图形吗下图还是轴对称图形吗? ?n发现图中有发现图中有: :n由由 CDCD是直径是直径 CDABCDAB可推得可推得OMCDAB AC=BC,AD=BD. 如图理由是如图理由是: :连接连接OA,OB, ,则则OA=OB.OA=OB，OMAB，AM=BM.点点A A和点和点B B关于关于直径直径CDCD对称对称. .O关于直径关于直径CDCD对称对称

3、,当圆沿着直径当圆沿着直径CDCD对折时对折时, 点点A A与点与点B B重合重合, ,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. . AC =BC,AD =BD.AM=BM,AM=BM,n由由 CDCD是直径是直径 CDABCDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OACDMB 垂直于弦的直径，垂直于弦的直径，OABCDMCDABCDAB,如图如图CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM, AC =BC, AD=BD.平分平分弦弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧. .垂径定理垂径定理OABCDM(3)平分弦(1)过圆心(4)平分弦所对的一条弧 (2)垂直于弦(5)

4、平分弦所对的另一条弧 EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB直径垂直弦直径垂直弦, ,才能才能平分弦平分弦, ,平分弦所对的弧平分弦所对的弧. .EDCOAB适用垂径定理的几个基本图形适用垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BDEOBDAOBDAEOBAE(3)(2)垂直于弦(1)过圆心(4)平分弦所对的一条弧 平分弦(5)平分弦所对的另一条弧 不是直径 推论：推论：平分弦（不是直径）的直径垂平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的

5、两条弧。直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 BAOCDEACBDO(CDAEBEAB是直径CDAB不是直径)例题例题1.1.如图如图, ,弦弦ABAB的长为的长为 8 cm, 8 cm,圆心圆心O到到 AB AB 的距离为的距离为 3 cm, 3 cm,求求O的半径的半径. .注意书写格式注意书写格式O ABE222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答：O O 的半径为的半径为5 5cm.cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 解：解：作OEAB于E点，连接OA.变变1 1. .在在O中中, ,直径为直径为 10 cm,10 cm,弦弦 ABAB的长的长为为

6、8 cm, 8 cm, 则圆心则圆心O到到ABAB的距离的距离 . .变变2 2. .在在O中中, ,直径为直径为 10 cm,10 cm,圆心圆心O到到ABAB的距离为的距离为 3 cm,3 cm,则弦则弦ABAB的长为的长为 . .圆的半径为圆的半径为R R, ,弦长为弦长为 a a, ,弦心距为弦心距为d d, ,则则 R R 、a a、d d满满足关系式足关系式求圆中有关线段的长度时求圆中有关线段的长度时, ,常借助垂径定理转化常借助垂径定理转化为直角三角形为直角三角形, ,从而利用勾股定理来解决问题从而利用勾股定理来解决问题. . 2221()2adR3cm8cmABOE 37.4m

7、7.2mABOCD137.4,7.2,18.7,27.2ABCDADABODOCCDr222222,18.7(7.2) ,Rt OADOAADODrr在中由勾股定理 得即27.9( )rm解得答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m. 如图用如图用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为r r. .经过经过圆心圆心O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OC C，D D为垂足，为垂足，OC C与与 相交于点相交于点C,C,根据前面的结根据前面的结论，论，D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是 的中点，的中点，CDCD就是拱高就

8、是拱高. . 在图中在图中, , 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为对的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦米，拱高（弧的中点到弦的距离）为的距离）为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？径吗？解决问题解决问题 1 1已知：如图，弦已知：如图，弦ABAB是是O中一条非直径弦，中一条非直径弦，D为弦为弦AB的的中点，连接中点，连接OD，AB=6cm =6cm ，OD= =cm. cm. 求求O 的半径的半径.DOBA解：连接解：连接OAD为为 弦弦AB 的中点的中点ODAB, AD= AB=3

9、cm 在在Rt Rt AOD 中中, , AO2=OD2+AD2设设O 的半径为的半径为r,r,则则r2=2+32得得r = 5r = 5答：答： O 的半径的半径OA为为5cm.5cm.212如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且为互相垂直且相等的两条弦相等的两条弦, ODAB于于D, OEAC于于E.求证求证: 四边形四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC四边形四边形ADOE为矩形为矩形 又又AC=AB AE=AD 矩形矩形ADOE为正方形为正方形. 90ODAEADOEAABOD,ACOE ABAD,ACAE2121 3已知已知 O的直径是的直径是 cm， O的两条平行弦的两条平行弦AB= cm ，CD=cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 .AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、在点、在点O两侧两侧AB、在点、在点O同侧同侧过点作直线过点作直线，交于。，交于。