第四节有理函数不定积分ppt文档资料课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分三三、简单无理函数的不定积分、简单无理函数的不定积分二二、三角函数有理式的不定积分、三角函数有理式的不定积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR 11101110)()()(其中其中 m、n 都是非负整数都是非负整数 ; a0 , a1 , , an 及及 b0, b1 , b

2、n 都是实数，并且都是实数，并且a0 0, b0 0 .n m , R(x)称为称为真分式真分式；n m , R(x)称为称为假分式假分式. 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例如例如1123 xxx.112 xx一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和. .其中部分分式的形式为：其中部分分式的形式为：)04,N(2 qpkkkqxpxNxMaxA)(;)(2 难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电

3、力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qp

4、qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常数数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1变

5、电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 3.1515221542xxx )1)(21(1

6、2xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: : .lnCaxA ), 1( Nnn.)(11CaxnAn xaxAd. 1 xaxAnd)(. 2 xqxpxNxMd. 32 xqxpxNxMnd)(. 42), 1,04(2 Nnnqp变分子为变分子为 2)

7、2(2MpNpxM 再分项积分再分项积分. . 说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：出现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,)()()(为真分式为真分式设设xQxPxR 求求 的步骤：的步骤：xxRd)(

8、1. 将将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和二在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积次质因式的乘积 .2. 将将 拆成若干个部分分式之和拆成若干个部分分式之和. )()()(xQxPxR (分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式).3. 求出各部分分式的原函数求出各部分分式的原函数 , 即可求得即可求得.d)(xxR 例例4 4 求积分求积分 .d)1(12xxx xxxd)1(12xxxxd11)1(112 xxxxxxd11d)1(1d12.1ln11lnCxxx 解解例例5 5 求积分求积分 解解.d221132 xxxxxxxxxd15152d21542

9、xxxd)1)(21(12xxxxxxd1151d125121ln5222 .arctan511ln5121ln522Cxxx xxxxd221132例例6 6 求积分求积分 解解.d3222xxxx 原式原式xxxd322 3)22(21 x 32)32d(2122xxxx32ln212 xx 22)2()1()1d(3xx.21arctan23Cx 例例7 7 求积分求积分 解解原式原式.d)22(222 xxxx xxxd)22(22)22(2 xx)22( x 1)1(d2xx 222)22()22d(xxxx)1arctan( x.2212Cxx 注意注意 将有理函数分解为部分分式求

10、积分虽可行将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, ,但不一定简便但不一定简便 , ,因此要注意根据被积函数的结构因此要注意根据被积函数的结构特点，灵活处理，寻求简便的方法求解特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. . 例例8 8 求积分求积分 .d)1(132xxx 解解,1 xt令令原式原式tttd1)1(32 ttttd)221(32 |ln t t2 Ct 21.)1(112|1|ln2Cxxx 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为的函数称为三角函数有理式三角函数有理式. .二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分一般记为一

11、般记为 R(sin x , cos x) .,2tanxu 令令,12sin2uux ,11cos22uux ,arctan2ux 则则uuxd12d2 dxxxR)cos,(sin.d12)11,12(2222uuuuuuR (万能代换公式万能代换公式)化为了化为了 u 的有理函数的积分的有理函数的积分. .例例1 1 求积分求积分1 1dx.dx.5-3cosx5-3cosx例例2 2 求积分求积分1 1dx.dx.3sinx+4cosx3sinx+4cosx例例3 3 求积分求积分.dsin14 xx比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能代换不一定是最佳便知万能代换不一定是最佳方法

12、方法, 故故三角有理式的计算中先考虑其它手段三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不不得已才用万能代换得已才用万能代换.例例3 3 求积分求积分.dsin14 xx解解,2tanxu 令令,12sin2uux ,d12d2uux xxdsin14 uuuuud83314642Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解法二解法二,tanxu 令令,1sin2uux 则则,d11d2uux xxdsin14 uuuud1111242 uuud142Cuu 1313.cotcot313Cxx 解法三解法三 xxdsin14xxxdcsccsc

13、22 .cot31cot3Cxx 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能代换不一定是最佳便知万能代换不一定是最佳方法方法, 故故三角有理式的计算中先考虑其它手段三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不不得已才用万能代换得已才用万能代换. xxdcsc42(1cot)d(cot)xx 例例4 4 求积分求积分).0, 0(dsincos12222 baxxbxa说明说明: : 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及及的积分时的积分时, ,xutan 往往更方便往往更方便 . .的有理式的有理式用代换用代换例例5 5 求积分求积分. )0, 0(d)cossin(12 bax

14、xbxa例例5 5 求积分求积分解解. )0, 0(d)cossin(12 baxxbxa xbxaxd)tan(sec22原式原式 xutan 2)(dbauuCbuaa 11.)cossin(cosCxbxaax 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三、简单无理函数的不定积分三、简单无理函数的不定积分 被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过可通过根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分. . 讨论类型讨论类型 (主要三种主要三种),d),(. 1 xba

15、xxRnnbxat 令令,d),(. 2 xxRndxcbxandxcbxat 令令,d),(. 3 xbaxbaxxRmn,pbxat 令令., 的最小公倍数的最小公倍数为为其中其中nmp变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 1 求积分求积分解解.21d3 xx,23 xt令令,23 tx则则,d3d2ttx 原式原式 tttd132tttd11)1(32 tttd)111(3 3 221tt t 1ln C 32)2(23 x323 x321ln3 x.C 变电站电气主接线是指变电站的

16、变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例2 2 求积分求积分.d1113 xxx解解,16 xt令令,dd65xtt ttttd61523 tttd163 Ctttt |1|ln663223.)11ln(6161312663Cxxxx 原式原式ttttd)111(62 ,16 xt则则变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 3 求积分求积分解解,1xxt 令令,112 tx则则,d)1(2d22tttx 原式原式 ttt

17、ttd)1(2)1(222.d11 xxxxtttd1222 ttd)111(22 t2 11ln ttC xx 12Cxxx 2)11(lnxx 12.1212lnCxxx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例4 4 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 1. 有理函数分解成部分分

18、式之和的积分有理函数分解成部分分式之和的积分.( 注意：必须化成真分式注意：必须化成真分式 )四、小结四、小结2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分.( (用用根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分) )3. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分. (万能代换公式万能代换公式)(注意：万能公式并不万能注意：万能公式并不万能)思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？解答解答分解后的部分分式必须是分解后的部分分式必须是最简最简分式分式.一、一、 填空题：填空题：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其，其 A_, ,

19、B_ _ , , C_；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其中其中 A_, , B_, , C_；3 3、 计算、 计算 ,sin2xdx可用万能代换可用万能代换 xsin_ _, , dx_ _；4 4、计算、计算 ,mbaxdx令令 t_, , x_,_, dx_ . .练习题练习题5 5、有理函数的原函数都是、有理函数的原函数都是_ . .二、求下列不定积分：二、求下列不定积分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111

20、 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .三、求下列不定积分三、求下列不定积分（用以前学过的方法） ：（用以前学过的方法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9 9、 dxxx22)1ln(； 10 10、 xdxx arcsin12； 11 11、dxxxxx cossincossin； 1212、 )(xbaxdx.

21、.二、二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21； 2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224； 3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat 2； 5 5、初初等等函函数数 . .练习题答案练习题答案 4 4、Cx 3tan2arctan321； 5 5、Cx 512tan3arctan51； 6 6、Cxxx )11ln(414； 7 7、xxxx 1111l

22、nCxx 11arctan2, ,或或 Cxxx arcsin11ln2； 8 8、Cxx 31123. .三、三、1 1、 Cxx 11)1(212； 2 2、Cxx )sinln(； 3 3、Cxxxx 233213)1(； 4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2； 5 5、Cxxx 484arctan81)1(8； 6 6、Cxx 2tan12, ,或或Cxxx tansec；7 7、Cxx 66)1(ln；8 8、Ceexexxx )1ln(1；9 9、 Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln2222；1 10 0、xxxxarcsin124)(arcsin2

23、2 Cx 42；1 11 1、Cxxxx sin21cos21ln221)cos(sin21；1 12 2、Cxbax arctan2. .有理函数化为部分分式之和的一般方法有理函数化为部分分式之和的一般方法:例例 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 : :;)1(1)1(2 xx;653)2(2 xxx.)1)(21(1)3(2xx 解解(1) 拼凑法拼凑法22)1()1(1 xxxx2)1(1 x)1(1 xx2)1(1 x)1( xx2)1(1 x11 x.1x )1( xx)1( xx653)(2 xxxxR)3)(2(3 xxx2 xA,3 xB2)()2( xxR

24、xA233 xxx,5 3)()3( xxRxB323 xxx,6 256532 xxxx.36 x(2) 赋值法赋值法(3) 待定系数法待定系数法.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA即有即有,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: : .lnCaxA ), 1( Nnn.)(11CaxnAn xaxAd. 1 xaxAnd)(. 2 xqxpxNxMd. 32 xqxpxNxMn

25、d)(. 42), 1,04(2 Nnnqp变分子为变分子为 2)2(2MpNpxM 再分项积分再分项积分. . )1(d)(. 42 nxqpxxNMxn122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn xqpxxNMxd. 32)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 则则有有记记,2,422MpNbpqa 例例求积分求积分 解解原式原式.d4555222423 xxxxxx xxxd)4)(1(22)4()1(22 xx xxxxxd4552243 xxxxd4552242 45)55d(212424xxxx45ln2124 xx xxxd)4111(22xarctan .2arctan21Cx 45ln2124 xx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分