2022年初二数学平行线分线段成比例定理 .pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载初二数学【教学进度】几何第二册第五章5.2 教学内容 平行线分线段成比例定理重点难点剖析 一、主要知识点1平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。2三角形一边平行线的性质定理(即平行线分线段成比例定理的推论):平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。3三角形一边的平行线的判定定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。4三角形一边的平行线的性质定理2(即课本例6) :平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与
2、原三角形三边对应成比例。二、重点剖析1平行线分线段成比例定理,是研究相似的最重和最基本的理论,同时, 它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的基本图形l1l2l3DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。为了强调对应和记忆,可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式:EFDEBCAB,可以说成“上比下等于上比下”DFDEACAB,可以说成“上比全等于上比全”DFEFACBC,可以说成“下比全等于下比全”等2三角形一边平行线的性质定理1(即平行线分线段比例定理的推论)基本图形LLL图1-(
3、1)CFABEDFC图1-(2)3ED12BAF3LC图1-(3)2LL1BEA图1-(4)FL3CL2L1BDA3L2LL1(D)(E)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页优秀学习资料欢迎下载ABCDEFl123ll图3图4ADBCE图5CBEFGADDEBC ACCEABDBACAEABADECAEDBAD图 2( 1) ,图 2( 3)称为“ A”型,图2( 2)称为“ X”型推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。(1)这个定理
4、可以用来判定两条直线平行。(2)使用时,一定要注意这个定理的前提:截三角形的两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。4平行线分线段成比例定理的逆命题:三条直线截两条直线,截得的对应线段成比例,那么这三条直线平行。它是一个假命题,如图3,其中 AB=BC ,DE=EF,则1EFDEBCAB,但 L1、L2、L3不平行。5、三角形一边的平行线的性质定理2 (即课本例6) ,这个定理也叫做相似三角形预备定理 DEBC ACAEBCDEABAD这时,成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时,这个定理也成立。图 4 是最基本的“A”型,课本例6 中有“ A”型时
5、常作平行线, 把所要研究的线段中,与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。典型例题 例 1、如图 5,在 ABC 中, D 是 BC 上的点,E 是 AC 上的点, AD 与 BE 交于点 F,若 AE:EC=3:4 ,BD:DC=2:3 ,求 BF:EF 的值。分析:求两条线段的比值,可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系,而图形本身并没有平行线,故需添加辅助线平行线去构造比例线段,进而求出比值。解:过 E 作 EGBC 交 AD 于 G,则在 ADC 中,ACAEDCGE又43ECAE73ACAE73DCEG极 EG=3X , DC=7X (X0) ,则32DCBD
6、 DB=xxDC314732329143314xxEGBDADEBCEDABCABCDE图2-(1)图2-(2)图2-(3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页优秀学习资料欢迎下载ABCDEF图6又 EGBC, 914EGBDFEBF例 2、如图 6,DEAB ,EFBC,AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm, 求 BD 。分析根据条件可知BDEF 为平行四边形, 由 EFBC,应用相似三角形的预备定理,得BCEFABAF再应用比例性质,即可求出EF 即 BD。解:DE AB, EFBC 四边形 BDEF 为平
7、行四边形, BD=EF 又EF BC, BCEFABAFDCBDBDBFAFAF2355BDBD解之,得BD=310(cm)例 3、如图 7,A、C、E 和 B、F、D 分别是 O 的两边上的点,且AB ED、BCFE。求证: AF/CD 分析要证明 AF/CD ,应推导出能使AF/CD 的比例线段,由题中图形可知,应证明ODOFOCOA,而由 AB/ED ,BC/FE,容易得到此关系。证明: AB/ED ODOBOEOABC/FE OEOCOFOB由得OEOBODOA由得OEOBOFOCOFOCODOA则ODOFOCOAAF/CD 点评:本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的,“公比”
8、是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比,有时公比是采用乘积式的形式。例 4 如图 8 梯形 ABCD 中, AB/CD ,M 为 AB 的中点,分别连结 AB 、BD 、MD 、MC,且 AC 与 MD 交于E,DB 与 MC 交于 F,求证 EF/CD 分析:要证EF/CD,可根据三角形一边平行线的判定定理证明,首先观察 EF、CD 截哪个三角形,然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。证明: AB/CD EMDEAMCD,FMCFMBCD又 AM=BM FMCFEMDEEF/CD 点评利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为:(1)首先观察欲证平行线截哪个三角形(2)
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