2022年辽宁沈阳十中学高中数学设计方案图形计算器应用能力测试活动学生复数运算拓展 .pdf

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1、个人资料整理仅限学习使用辽宁省沈阳市第十五中学2018 年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生复数运算的拓展通过使用CASIO ClassPad 330 图形计算器，笔者初步认识了虚数单位，并在学长徐珑迪的帮助下了解了复数的相关知识，掌握了复数的四则运算和纯虚数的正整数乘方运算。在和徐珑迪的合作过程中，笔者进一步发现，图形计算器的运用使复数集中任意代数运算成为了可能，且复数集对于所有的代数运算是封闭的。下面是我们合作讨论的成果。目录一、负实数的乘方运算二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方

2、运算三、负实数的对数运算3.1 真数为正实数、底数为负实数的对数运算3.2 真数为负实数、底数为正实数的对数运算3.3 真数和底数均为负实数的对数运算四、纯虚数的对数运算4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算五、纯虚数的三角函数运算5.1 纯虚数的正弦函数运算5.2 纯虚数的余弦函数运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用5.3 纯虚数的正切函数运算六、复数的乘方运算七、复数的对数运算八、复数的三角函数运算8.

3、1 复数的正弦函数运算 8.2 复数的余弦函数运算 8.3 复数的正切函数运算为了逐一证明这些运算，笔者将用到以下两条定理：【定理 1】复数的三角式和指数式【定理 2】德莫弗 (De Moivre 公式在将所有运算推广到复数之前，笔者将先论述负实数和纯虚数的乘方、对数、三角函数运算。一、负实数的乘方运算【例 1】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 1】对于任意实数，有【证明 1】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的

4、乘方运算【例 2-1】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 2-1 】对于任意纯虚数和实数，有【证明 2-1 】2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算【例 2-2-1 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 2-2-1 】对于任意纯虚数和正实数，有【证明 2-2-1 】【例 2-2-2 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【结论 2-2-2 】对于任意纯虚数和正实数，有【证明 2-2-2

5、 】2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算【例 2-3-1 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 2-3-1 】对于任意虚数，有【证明 2-3-1 】【例 2-3-2 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【结论 2-3-2 】对于任意虚数，有【证明 2-3-2 】三、负实数的对数运算3.1 真数为正实数、底数为负实数的对数运算【例 3-1】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 3-1 】对

6、于任意正实数，有【证明 3-1 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用3.2 真数为负实数、底数为正实数的对数运算【例 3-2】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 3-2 】对于任意正实数，有【证明 3-2 】3.3 真数和底数均为负实数的对数运算【例 3-3】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 3-3 】对于任意正实数，有【证明 3-3 】四、纯虚数的对数运算4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算【例 4-1-1 】由 CASIO Cl

7、assPad 330图形计算器得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【结论 4-1-1 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-1-1 】【例 4-1-2 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-1-2 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-1-2 】【例 4-1-3 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【结论

8、 4-1-3 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-1-3 】【例 4-1-4 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-1-4 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-1-4 】4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算【例 4-2-1 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-2-1 】对于任意虚数和正实数，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【证明 4-2-1 】【例 4-2-2 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，

9、【结论 4-2-2 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-2-2 】【例 4-2-3 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-2-3 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-2-3 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【例 4-2-4 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-2-4 】对于任意虚数和正实数，有【证明 4-2-4 】4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算【例 4-3-1 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得

10、，【结论 4-3-1 】对于任意虚数，有【证明 4-3-1 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【例 4-3-2 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-3-2 】对于任意虚数，有【证明 4-3-2 】【例 4-3-3 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-3-3 】对于任意虚数，有【证明 4-3-3 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页个人资料整理仅

11、限学习使用【例 4-3-4 】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 4-3-4 】对于任意虚数，有【证明 4-3-4 】五、纯虚数的三角函数运算注：对于纯虚数的三角函数运算的讨论中，复数幅角的定义扩宽到任意纯虚数。5.1 纯虚数的正弦函数运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【例 5-1】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 5-1 】对于任意纯虚数，有【证明 5-1 】5.2 纯虚数的余弦函数运算【例 5-2】由 CASIO ClassPa

12、d 330图形计算器得，【结论 5-2 】对于任意纯虚数，有【证明 5-2 】5.3 纯虚数的正切函数运算【例 5-3】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 5-3 】对于任意纯虚数，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【证明 5-3 】基于以上的铺垫，现在我们来正式讨论复数的乘方、对数和三角函数运算。六、复数的乘方运算【例 6】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 6】对于任意复数，有【证明 6】七、复数的对数运算【例 7】由 CASIO

13、ClassPad 330图形计算器得，【结论 7】对于任意复数，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用【证明 7】八、复数的三角函数运算注：对于复数的三角函数运算的讨论中，复数幅角的定义扩宽到任意纯虚数。8.1 复数的正弦函数运算【例 8-1】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 8-1 】对于任意复数，有【证明 8-1 】8.2 复数的余弦函数运算【例 8-2】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 8-2 】对于任意复数，有【证明 8-2 】

14、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用8.3 复数的正切函数运算【例 8-3】由 CASIO ClassPad 330图形计算器得，【结论 8-3 】对于任意复数，有【证明 8-3 】到此为止，复数的所有代数运算都已经被证明。而复数的反三角函数运算，由于计算过程十分复杂，在此不作讨论，实际上也可以通过解方程得出。经过不断的尝试，笔者最终得出了复数集对于所有代数运算是封闭的的结论。关于复数运算的拓展，笔者之后又查阅了高等数学中复变函数的相关内容，总体结论与本文吻合。但复变函数中并未对此展开详细的讨论，相信笔者对于复数运算的拓展的研究，会是一次有益的探索。通过此次对于复数运算的研究学习，我浅涉了复变函数这个领域，类比实数运算加深了我对于复数运算的理解，了解了规定的合理性。在这个过程中，我的建构能力以及探究问题的能力得到了进一步的提升，相信这将会使我在数学学习的过程中受益匪浅。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页