大学物理-质点运动学ppt课件.ppt

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1、华中师范大学物理学院华中师范大学物理学院大学物理学大学物理学电子教案电子教案配合张三慧编著配合张三慧编著大学物理学大学物理学B B版版( (第三版第三版) )使用使用微观物质宏观物质低速运动高速运动物理学按研究物体的尺度及运动速度划分力学是研究机械运动及其规律的学科机械运动是一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内部的一部分相对于其他部分的位置随时间的变化过程。经典力学（牛顿力学）：低速，宏观物体运动学描述物体的运动；动力学物体运动与物体相互作用的关系。静力学物体在相互作用下的平衡问题。相对论力学：以高速运动物体为研究对象。本章学习时的困难：内容在中学物理中已有涉及，学习时似懂非懂。解决办

2、法：思考这样一个问题：究竟有什么新东西？矢量描述矢量描述 微积分计算微积分计算一、质点一、质点质点质点没有大小和形状，只具有全部质量的一点。没有大小和形状，只具有全部质量的一点。可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况：u 物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动)。u 物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体的变形及转动显得并不重要)。为了定量地描述质点的位置或运动，须在参考物上建为了定量地描述质点的位置或运动，须在参考物上建立固定的立固定的坐标系坐标系。二、坐标系二、坐标系选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性

3、质；建立恰当的坐标系，以定量描述物体的运动；提出准确的物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。运动的绝对性和相对性运动的绝对性和相对性1、运动的绝对性：任何物体任何时刻都在不停地、运动的绝对性：任何物体任何时刻都在不停地 运动着运动着2、运动的相对性：物体运动的、运动的相对性：物体运动的形式形式随参考物的不随参考物的不 同而不同同而不同任何物体的位置总是相对于任何物体的位置总是相对于其他物体或物体系其他物体或物体系来决定的。来决定的。 参考物参考物补充：补充：坐标的发展历史坐标的发展历史1.笛卡儿直角坐标笛卡儿直角坐标 用三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，

4、用来表示三个坐标轴方向的单位矢量。2.曲线坐标：曲线坐标：极坐标、柱坐标、球坐标和自然坐标极坐标、柱坐标、球坐标和自然坐标用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量 坐标历史上的第一次飞跃。坐标历史上的第一次飞跃。1232sincossinsincossinsinrxxrxyrxzrddrrdrddVrdrd d reee球坐标球坐标柱坐标柱坐标123cossinzxxxyxzdddzddVd d dz reee( , , )r ( , , ) z 3. 广义坐标广义坐标反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在

5、，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标(分析力学第第4章章），使微振动方程的求解过程非常简单坐标概念的第二次飞跃坐标概念的第二次飞跃4. 正则共轭坐标（分析力学第正则共轭坐标（分析力学第6章）章） 坐标概念的第三次飞跃坐标概念的第三次飞跃一个固定在参考物上的坐标系和相应的一套同步的钟组成一个参考系。三、参考系三、参考系同一质点的运动，若选择的参考系不同，对质点运动的描述就会不同。太阳参考系太阳参考系ZXY地心参考系地心参考系o地面参考系地面参考系实验室参考系：实验室参考

6、系： 固定在实验室的参考系固定在实验室的参考系rP点的位置矢量（位矢）： PO tr在直角坐标系中，P点坐标(x,y,z) rxyzXijk OYZPkzjyixr P点矢径点矢径 方向方向rP点矢径点矢径 大小大小 r222zyxrrrx cosry cosrz cos1.2、质点的位矢、位移和速度、质点的位矢、位移和速度 运动方程)(trr轨道：质点运动时所经过的路线路程：质点在一段时间内沿轨道经过的距离质点相对参考系的运动，可用位矢随时间的变化来描述。位矢r随时间t的变化的函数关系称为质点的运动函数的矢量表示式。位置坐标x, y, z 随时间变化的函数关系x=x(t), y=y(t),

7、z=z(t)称为质点运动方程的分量式五、位移位置的改变kzjyixkzzjyyixxr)()()(121212直角坐标系中O( )r tP1P()r tt rs s 与r的区别：1、s 为路程(轨道长度)，是标量0tdsrd 元位移的大小元位移的大小 元路程元路程2、一般情况下，|r|s。质点做单方向直线运动时，才有|r|s，或位移是矢量，有大小和方向()( )rr ttr t 思考题：r 与 r的区别b)r为标量，r 为矢量1212) arrrrrro1r2rrrtrv 平均速度平均速度瞬时瞬时速度速度六、速度（单位：米/秒）速度（质点在某时刻）是该时刻位矢对时间的一阶导数速度的大小：速率速

8、度方向：t0时，r的极限方向在P 点的切线并指向质点前进的运动方向 P1 Orrr r )(tvv tdrdtrttrttrvttlimlim00P动画01位矢与速度kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdvzyx速度大小速度大小222zyxvvvvv kvjvivktzjtyitxtrvzyx直角坐标系中直角坐标系中瞬时速度瞬时速度平均速度平均速度平均速率平均速率tsv瞬时速率瞬时速率 dtdstsvt0lim速度是矢量，速度是矢量，速率是标量。速率是标量。kzjyixr例1已知质点的运动学方程分量式为： x=2ty =6-2t2式中x、y 的单位是m，t的单位是s，试求：(1)轨

9、道方程，并画出轨迹图；(2)t=1s到t=2s之内的位移r和平均速度(3)t=1s到t=2s两时刻的瞬时速度v1和v2。1r2rr1v2vv例例2一质点沿x 轴作直线运动，其位置坐标与时间的关系为x =10+8t -4t2 ,求：（1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。（2）质点在t =0、1、2秒时的速度。解：解：01010mtx（）21110814114mtx12ttxvt1 24(m s)vx 方向与 轴正向相反0 14(m s)vx方向与 轴正向相同22210824210mtx轴正向相反与 xvm/s82tdtdxvt88 2 ）（轴正向相同与 xvm/s80此此时时转转向向 0 1

10、v代入代入 t = 0 , 1 , 2 得：得：例例2一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的关系为x =10+8t -4t2,求：（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。（2）质点在t =0、1、2秒时的速度。解：解：例例3用矢量表示二维运动，设求t =0秒及t =2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。jti tr)2(22方向：方向：轴的夹角与为xv2626324arctansmv/47. 442222大小：大小：jtitdrdv22 ivt200jivt4222加速度是速度对时间的一阶导数加速度是速度对时间的一阶导数 或位矢对时间的二阶导数或位矢对时间的二阶导数 1.3 加速度（单位：

11、米加速度（单位：米/秒秒2）（）（描述速度改变的快慢和方向描述速度改变的快慢和方向）平均加速度平均加速度瞬时加速度瞬时加速度220lim)(dtrddtvdtvtatvV(t)V(t+ t)P1 P oV(t)V(t+ t)( )r t()r tt vr、描述质点运动状态的物理量描述质点运动状态的物理量描述质点运动状态变化的物理量描述质点运动状态变化的物理量a v ttv tvatt kajaiakdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxzyx 加速度大小加速度大小222zyxaaaaa 直角坐标系中直角坐标系中加速度加速度例例1.1例例1.2 已知质点的运动学方程为r=Rcoswt i

12、+Rsinwtj ,式中R、w为常量。试求：(1)轨道方程；(2)任一时刻质点的速度和加速度。XYOyaxaatwXYOyvxvtwR注注意意矢量性：矢量性：四个量都是矢量，有大小和方向四个量都是矢量，有大小和方向加减运算遵循平行四边形法则加减运算遵循平行四边形法则r arv某一时刻的瞬时量某一时刻的瞬时量不同时刻不同不同时刻不同过程量过程量瞬时性：瞬时性：相对性：相对性： 不同参考系中，同一质点运动描述不同不同参考系中，同一质点运动描述不同不同坐标系中，具体表达形式不同不同坐标系中，具体表达形式不同加速度加速度a位矢位矢r位移位移r 速度速度v一、运动学中的两类问题：一、运动学中的两类问题：

13、1、已知运动学方程，求速度、加速度、已知运动学方程，求速度、加速度求导数求导数例例1.1、1.22、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程运用积分方法运用积分方法结合一维运动来讨论（二维三维略复杂些）结合一维运动来讨论（二维三维略复杂些）dtrdv22dtrda0000vttv vvdvadvadtdvadtdt 时0vvat000000()()rttr rrdrvdrvdtdrvat dtdtdrvat dt 时20012rrv tat匀加速运动（匀加速运动（ 为常数）为常数）初始条件初始条件:求速度和位矢公式求速度和位矢公式000,tvv rr 时匀

14、加速运动的速度公式匀加速运动的速度公式匀加速运动的位矢公式匀加速运动的位矢公式a00 xxt时，atvv0adtvdtdxdtdxv020021attvxx特殊情况：匀变速直线运动（特殊情况：匀变速直线运动（a 为常数）为常数）设质点沿X轴做匀变速直线运动，t=0时，v =v0，x =x0）求v和x 。adtdvdtdvavvtadtdv00 xxtdtatvdx000)(00vvt时，adxvdvdxdvvdtdxdxdvdtdva)(20202xxavv00 xxt时，vvxxadxvdv00上面求出了v和x与a的关系。现在求v和x 之间的关系：更特殊情况：自由落体运动更特殊情况：自由落体

15、运动atvv020021attvxx22vgxvgt212xgt000,0,vxa g 例例1.3)(20202xxavv例例一质点沿X 轴做直线运动，加速度 a =2t(ms-2)，t =0时，质点的位置坐标x0=0，速度v0=0，试求t=2s时质点的速度和位置。dtdvta 2解：已知vttvtdtdvtadtdv00222xttxdttdxtvdtdx0032231)(38(m/s)42mxvt 时有任意运动都可以视为几个各自独立进行的直线运动的叠加任意运动都可以视为几个各自独立进行的直线运动的叠加（矢量加法）。（矢量加法）。(物理学中的重要原理之一，是研究运动的合物理学中的重要原理之一

16、，是研究运动的合成与分解的理论依据成与分解的理论依据) 运动的独立性原理运动的独立性原理或或运动叠加运动叠加原理原理一、运动叠加原理一、运动叠加原理二、抛体运动二、抛体运动在地面附近，忽略空气阻力，物体以某初速度抛出后，在地面附近，忽略空气阻力，物体以某初速度抛出后，在竖直平面内的运动叫做在竖直平面内的运动叫做 抛体运动抛体运动 斜抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其轨道为抛物线。当抛射角为90o时，称为竖直上抛运动。问题：设物体以初速度问题：设物体以初速度 v0 与水平方向成与水平方向成 角度抛出，忽角度抛出，忽略空气阻力。分析其运动。略空气阻力。分析其运

17、动。0vXYO分析一：分析一：将物体抛出后，选择一参考点，分析相应的矢量来确定物体的运动。0000vttv vvdvagdvgdtdvgdtdt 时0vvgtrtrtdtt gvrddtt gvrddtvrddtrdv000000)()(时2012rv tgt物体在空中仅有重力加速度g，故分析二：分析二：采用直角坐标系，将相应的矢量分解，由运采用直角坐标系，将相应的矢量分解，由运动叠加原理来确定物体的运动。动叠加原理来确定物体的运动。设物体以初速度设物体以初速度 v0 与水平方向与水平方向 角度抛出，则角度抛出，则gaayx 00vXYOX X轴方向的匀速直线运动轴方向的匀速直线运动 Y Y轴

18、方向的匀变速直线运动轴方向的匀变速直线运动初始状态初始状态t=0 t=0 时：时：0000cossinxyvvvv00200(cos )(sin)1(cos )(sin)2vvivgt jrv tiv tgtj匀变速直线运动，叠加。00000cossin00 xytvvvvxy 时时初初始始条条件件：，0)xyag jaag 加加速速度度： ( (，（斜抛运动可视为匀速直线运动与竖直上抛运动的合运动）（斜抛运动可视为匀速直线运动与竖直上抛运动的合运动）速度公式速度公式：00cos ,sinxyvvvvgt 运动方程：运动方程： 2001cossin2xvtyvtgt ( (1 1) )( (2

19、 2) )轨迹：由（轨迹：由（1）、（）、（2）消去）消去t，得，得抛物线抛物线 22202cosgyxtgxv sinsinsinsin()2220000122vvvYvgggg 最最大大高高度度：sinsincos(020002245vvXvgg 射射程程：射射程程最最大大）从抛出到回落到抛出点高度所用的时间为从抛出到回落到抛出点高度所用的时间为sin02vTg 炮弹：路径偏离抛物线，射程R减小洲际弹道导弹：路径为椭圆的一段。例例1.4一、自然坐标系一、自然坐标系 （当质点做曲线运动，且运动的轨道已知当质点做曲线运动，且运动的轨道已知）方向描述：作相互垂直的单位矢量n n：与切向正交，指向

20、轨道的凹侧，称为法向单位矢量：沿轨道切向，指向物体运动方向，称为切向单位矢量)(tss 顺着已知轨道而建立的坐标系平面自然坐标系设质点沿平面曲线轨道运动。选定轨道上任意一点O为坐标原点，以原点与质点间的轨道长度s来确定质点的位置，s称为自然坐标大小恒等于大小恒等于1，其方向随质点在轨道上的位置不同而改变，其方向随质点在轨道上的位置不同而改变n 分析加速度之前，先介绍曲率和曲率半径轨道的曲率dsdsKs0lim表示曲线在某点弯曲的程度11)(RddsdsdK若某一圆的曲率与轨道在该点的曲率相等，则此圆与轨道在该点相切，称之为该点的曲率圆，其圆心C和半径称为轨道在该点的曲率中心和曲率半径半径为R的

21、圆弧，任一点的曲率dtdsvv速度只有切向分量，没有法向分量求导vvdtdvdtdvvdtddtvda)(?)()(ttt)(tt)(ttn1P2P)(t)(tn)(t)(tt大小？ddt, 0ddd方向？ndd趋向于P1点的 方向nnvndtdsdsdndtddtd1dtdvdtdvvdtddtvda)(nddddsv在自然坐标系中，质点的加速度为：nvdtdvvdtddtvda2)(nvdtdvvdtddtvda2)(aanvan2切向加速度反映速度大小变化法向加速度反映速度方向变化 anaa 22222vdtdvaaaannaatg 加速度总是指向曲线的凹侧加速度总是指向曲线的凹侧大小方

22、向一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）nvdtdva222dtsddtdva 2van 例例 以速度以速度v0 平抛一小球，不计空气阻力，求平抛一小球，不计空气阻力，求 t 时刻小时刻小球的切向加速度量值球的切向加速度量值a 、法向加速度量值、法向加速度量值an和轨道的曲和轨道的曲率半径率半径.解：由图可知解：由图可知 sinag xg gtgg t 22 20yg cosnag gg t 022 20g tg t 222 20/()xynnvvg tvaagv 2222 23 2200二、圆周运动匀速圆周运动质点以恒速率v 做半径为R 的圆周运动0anRva2

23、向心加速度向心加速度变速圆周运动质点做半径为R的圆周运动时，速率v 随时间而变化nRvdtdva2nRvdtdvaaan2反映速度大小的变化反应速度方向的变化在讨论圆周运动的加速度时，使用自然坐标系比用直角坐标系更方便。例，已知轨道方程为x2+y2=R2已知圆周运动的半径为R，任一时候的速率为v=Rw，则有222220wwRaaaRRvadtdvann加速度大小为加速度方向为法线方向v圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述沿逆时针转动，角坐标取正值沿顺时针转动，角坐标取负值t时刻，质点的位置可用r 描述，也可用 描述。角坐标(角位置)瞬时角速度，瞬时角速度，简称简称角速度角速度dtdtt w w

24、 0lim单位：单位：rad/s角速度角速度等于质点的角坐标对时间的一阶导数等于质点的角坐标对时间的一阶导数OXR1v2vs t质点的运动学方程质点的运动学方程平均角速度平均角速度tw, ttt角位移角位移角加速度角加速度 220limtddtdtdtww 单位：单位：rad/s2角加速度等于质点的角速度对时间的一阶导数质点的角坐标对时间的二阶导数ddtw加速转动加速转动 w 方向一致方向一致减速转动减速转动 w 方向相反方向相反考虑矢量性角速度是矢量，其方向通常用右手螺旋法则来确定规定，质点逆时针转动时，w取正值质点顺时针转动时，w取负值匀速圆周运动匀速圆周运动w w是恒量是恒量dtdw w

25、 tdtd00w w tw w 0匀角变速圆周运动匀角变速圆周运动是恒量是恒量0tww20012ttw22002()ww v 角量之间的关系：角量之间的关系：类比匀变速直线运动类比匀变速直线运动atvv020021attvxx)(20202xxavv运动情况的讨论:(1)质点作质点作匀速直线运动匀速直线运动质点作质点作匀速率平面曲线运动匀速率平面曲线运动质点作质点作变速直线运动变速直线运动质点作质点作变速率平面曲线运动变速率平面曲线运动(2)(3)(4)00naa00naa00naa00naav 角量角量(, ,)与线量与线量(r, v, a)的关系：的关系：00limlimttsvRRtt

26、sR 速率(线速度)和角速度之间的关系vRw 矢量矢积：矢量矢积：dsRd方向OXR1v2vs 线量(速度、加速度)角量(角速度、角加速度)vRw22ndsdvRRdtdtdvdaRRdtdtvaRRwww解:重物按运动学方程运动对重物建立一个一维直角坐标系相应的M点做圆周运动对M点建立自然坐标系bddtvanRtnRvan222b例一半径为R 的滑轮，可以绕水平轴O1转动，轮边缘有绳，绳的一端系一重物，如图所示，已知重物的运动学方程为y =bt 2/2，b为常数，求轮边缘上任一点M在时刻t的速度和加速度。MOY1OvRa相同的相同的 t 内，内，ysbttvdtdydds方向如图所示nRtb

27、a22b例一质点从静止出发，沿半径R3的圆周运动，切向加速度a 3/s2，求：（1）t1s时质点的速度和加速度大小；（2）第2秒内质点所通过的路程；（3）当总加速度与切向加速度成45角时，所经历的时间为多少？其间质点所经过的路程S是多少？解：建立自然坐标系，取t=0时，位置o为坐标原点，则任意时刻质点速率为v，自然坐标为sOORstavdtadvdtadvdtdvatv00) 1 (RtaRvan22224.418)(222222Rtaaaaan)/(3smtavsttdtadsvdtdsdtdsv00)2(由速率大小221tas)(5 . 4)12(32122ms22220(3)3 (m/s

28、 )1(rad/s )453 (m/s )1(rad/s)1(s)aRatgaRattwwww， 例一质点从静止出发，沿半径R3的圆周运动，切向加速度a 3/s2，求：（1）t1s时质点的速度和加速度大小；（2）第2秒内质点所通过的路程；（3）当总加速度与切向加速度成45角时，所经历的时间为多少？其间质点所经过的路程S是多少？220011tt01 10.5()221.5( )radsRmw 一、相对运动一、相对运动车上的人观察车上的人观察地面上的人观察地面上的人观察运动的描述是相对的，选择不同的参考系对同一质点运动的描述就不同位矢位矢变换关系变换关系ZSXYY X SZ PrrROOavrSa

29、vrS系中：系中：rRr速度速度变换关系变换关系dtrddtRddtrdvuv加速度加速度变换关系变换关系dtvddtuddtvdduaadt有相对运动的两个参考系中，同一运动质点的位矢、速度、加速度之间的关系SO SOR（表 示系 原 点对系 原 点的 位 矢 ）质点相对于S系的速度等于质点相对于S系的速度和S 系相对于S系的速度的矢量和1、空间任意两点之间的距离对于任何的坐标系而言都是相同的；与坐标系的选择无关。即：长度是“绝对的”，或称之为“绝对空间”。2、时间间隔也与坐标系的选择无关，在不同的坐标系中时间的量度或间隔都是相同的。即：“绝对时间”“绝对空间”、“绝对时间”构成了经典力学的

30、所谓“绝对时空观”，这种观点同大量的日常经验相符合。3、空间与时间不相联系rRrvuvduaadt二、二、 伽利略变换伽利略变换ttzzyyutxx或或ZXYOutu伽利略速度变换式zzyyxxvvvvuvvzzyyxxvvvvuvv或或S和S 两坐标系的X 轴和X 轴方向相同且重合。S系相对S 系的速度u为常数且沿着X轴正方向，O 与O 相重合的时刻t = t =0ttzzyyutxx伽利略坐标变换式uPXSOZYS在相对论中，伽利略变换将被洛伦兹变换所代替在相对论中，伽利略变换将被洛伦兹变换所代替 解：取风为研究对象，地面为参考系S，骑车人为参考系S。在S系中风速为v(待求)。在S系中：在

31、速率为u1=10m/s时，觉得有南风v1（速度矢量为北）；在速率为u2=15m/s时，觉得有东南风v2（速度矢量为西北）；根据速度变换公式得到：根据速度变换公式得到：1122vuvuv例例一人骑自行车向东而行。在速率为10m/s时，觉得有南风；速率增至15m/s时，觉得有东南风。求风的速度。v10m/s15m/s45oX东Y北由图中的几何关系，知：由图中的几何关系，知：110(m/s)xxvu21()tan4515105 m/syxxvuu风速的大小：风速的大小：风速的方向：风速的方向：为东偏北为东偏北26 34。为西南风。为西南风。2210511.2m/sv 5arctan26 3410v1

32、0m/s15m/s45oX东Y北2215uiSvbib j 时，风在系中速度为。1122vuvvuv105vij解：以地面为解：以地面为S系，运动的自行车为系，运动的自行车为S系。建立坐标系。系。建立坐标系。在在S系中，风的速度始终为系中，风的速度始终为 （待求）（待求）v1110 ,uiSva j在风在系中速度为10155ia jibib jab由相对运动的速度变换公式，得：2210511.2v 速度矢量指向东偏北（是西偏南风）Y(北)X(东)SY(北)X(东)S系arctan(5/10)26 34角度：例例一人骑自行车向东而行。在速率为10m/s时，觉得有南风；速率增至15m/s时，觉得有东南风。求风的速度。