工程力学(单辉祖)-第11章-弯曲应力ppt课件.ppt

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1、12主要内容主要内容 11.1 引言 11.2 对称弯曲正应力 11.3 惯性矩与平行轴定理 11.4 对称弯曲切应力 11.5 梁的强度条件 11.6 梁的合理强度设计 11.7 双对称截面梁的非对称弯曲 11.8 弯拉(压)组合3 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲 本章内容本章内容11.1 11.1 引言引言4弯曲应力l 弯曲正应力弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的s sl 弯曲切应力弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的t t对称弯曲对称截面梁，外力作用在对称截面梁，外力作用在该该对称面内，梁的变形对称于纵对称面内，梁的变形对称于纵向对称面向对称面对称弯曲对称

2、弯曲 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲5 变形形式与本章内容变形形式与本章内容l 基本变形形式轴向拉压，扭转，弯曲轴向拉压，扭转，弯曲l 组合变形形式两种或三种不同基本变形形式的组合两种或三种不同基本变形形式的组合l l 对称弯曲正应力对称弯曲正应力l l 对称弯曲切应力对称弯曲切应力l l 弯曲强度计算与合理强度设计弯曲强度计算与合理强度设计l l 双对称截面梁非对称弯曲双对称截面梁非对称弯曲l l 弯拉（压）组合应力与强度弯拉（压）组合应力与强度弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合本章主要内容变形形式6 弯曲弯曲试验与假设试验与假设 对称

3、弯曲正应力公式对称弯曲正应力公式 例题例题11.2 11.2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力7 弯曲试验与假设弯曲试验与假设弯曲试验8试验现象 横线为直线，仍与纵线正交横线为直线，仍与纵线正交 纵线变为纵线变为弧弧线，靠顶部纵线缩短线，靠顶部纵线缩短, 靠底部纵线伸长靠底部纵线伸长 纵线伸长区，梁宽度纵线伸长区，梁宽度减小；减小；纵线缩纵线缩短区，梁宽度短区，梁宽度增大增大弯曲假设 横截面横截面变形后变形后保持平面，仍与纵线正交保持平面，仍与纵线正交弯曲平面假设弯曲平面假设 各纵向各纵向“纤维纤维”仅承受轴向拉应力或压应力仅承受轴向拉应力或压应力单向受力假设单向受力假设9推 论 梁内梁内存在一长

4、度不变的过渡层存在一长度不变的过渡层中性层中性层 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴中性轴对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面。对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面。因此，因此，中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴垂直于横截面纵向对称轴10 对称对称弯曲正应力公式弯曲正应力公式公式的建立几何方面几何方面: dd)d()(yy物理方面物理方面:)()(yEy s s y 静力学方面静力学方面: (b) 0d , 0 AxAFs s(c) d , 0MAyMAz s s(a) )( s syEy 11MAyEAd2 (a)(b) 0d AAy0dAAyyAC中性轴通过横截面形心中性轴通过

5、横截面形心(a)(c) AzAyI d 2z)(IMyy s szEIM 1(d)(a)zIMymaxmaxs szWMmaxs s抗弯截面系数抗弯截面系数maxyIWzz(a) s syE (b) 0dAAs s(c) dMAyAs s(d)惯性矩惯性矩截面弯曲刚度 EIz12结论结论中性轴过截面形心中性轴过截面形心zEIM 1zIMyy )(s s 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（zEIzWM maxs s 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（zW 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率：)()(yEy s s 0d AAs sMAyAds spmaxs ss

6、s, 对称弯曲对称弯曲 惯性矩）惯性矩）（zI 应用条件：应用条件：总总 结结假设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面综合考虑三方面 yy )(13 例例 题题 例 2-1 梁用梁用18 工字钢工字钢 制成制成，Me=20 kNm, E=200 GPa。试试计算：计算：最大最大弯曲正弯曲正应力应力s smax ，梁轴曲率半径，梁轴曲率半径 解：1. 工字钢（工字钢（GB 706-1988）一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zW18 工字钢：工字钢：142. 应力计算应力计

7、算3. 变形计算变形计算mkN 0 .20e MMMe=20 kNm，E=200 GPa，求求 s smax 与与 45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zWzWMmaxs szEIM 1MEIz MPa 1 .108m 16615 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 平行轴定理平行轴定理 例题例题11.3 11.3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理16 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 AzAySd静矩惯性矩 niizzSS1 niizzII1 AzAyId24L3LCAy 截面对截面对z轴的轴的静矩静矩截面对截面对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩 niCiiyA1

8、AyAzSdCAz CiniiyzAS 1 AyAzId2 niiyyII1 17 简单截面惯性矩简单截面惯性矩矩形截面惯性矩maxyIWzz AzAyId2圆形截面惯性矩AIAd2p zII2p 6424pdIIz 3226434dddWz ybyhhd2/2-2 123bh 62bh AzyAd)(22 yzIII p2123hbh 18 平行轴定理平行轴定理平行轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz 任意直角坐标系任意直角坐标系 AzAyId22020d2dAaAyaAyIAAz 20AaIIzz AyIAzd200 同理得：同理得：20AbIIyy 0d 0 AAy AzA

9、ayId20二者平行二者平行的关系的关系与与建立建立 0zzII19 例例 题题 例 3-1 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm试计算试计算：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力s st,max与压应力与压应力s sc,max解：1. 弯矩计算弯矩计算mN 6000 FlMB2. 形心位置计算形心位置计算由矩形由矩形 1 与矩形与矩形 2 组成的组合截面组成的组合截面CAy CiniizyAS 1AyAyCiniiC 1203. 惯性矩计算惯性矩计算m 045. 022 bbbbbd dd dd dd dd dd d46-231m 103

10、.02212 d dd dd dCzybbI46-232m 105.82212 CzybbbId dd dd d4621m 1084. 8 zzzIII4. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力MPa 5 .30maxt, zCBIyMs sMPa 5 .64)(maxc, zCBIybMd ds s212211AAyAyAyCCC 21zzzIII 21例 3-2 已知已知：宽宽 b = 6mm，厚厚 d d = 2mm的的钢钢带带环绕环绕在直径在直径D=1400mm的带的带轮轮上，钢带的上，钢带的弹弹性性模模量量E=200GPa。试求。试求：钢钢带内的最大弯曲正应力带内的最大弯曲正应力 s sma

11、x 与钢带承受的弯矩与钢带承受的弯矩 M解：1. 问题分析问题分析 s syE s smaxmax yE zEIM 1 应力变形关系：应力变形关系： 内力变形关系：内力变形关系：已知钢带的变形（轴线曲率已知钢带的变形（轴线曲率半径），求钢带应力与内力半径），求钢带应力与内力 zEIM 22带厚带厚 d d=2 mm, 宽宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求，求 s smax 与与 M22d d D s smaxmaxyE 2. 应力计算应力计算MPa 285maxmax s syE2maxd d y3. . 弯矩计算弯矩计算zEIM 1 zEIM 12 3d d

12、 bE mN 141. 1 m 701. 0 m 100 . 13 23 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题例题11.4 11.4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力24 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力假设 t t (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁 (hb)xFbydd1)( t tSz(w w)面积面积 w w 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩Fdbdxyxdb Fx)(, 0tt w ws sAFd

13、 w wAyIMzd*zzIMS)(w w 弯曲切应力公式25bISFyzz)()(Sw wt t xMbISyzzdd)()(w wt t xFbydd1)( t tzzIMSF)(w w yhyhbSz2212)(w w 22S4123)(hybhFyt tAFSmax23 t t123bhIz 2242yhb26截面翘曲与非纯弯推广 切应变切应变非均布非均布 截面翘曲截面翘曲（abab（=，弯曲，弯曲 s s 仍保持线性分布仍保持线性分布切应力非均布切应力非均布l当梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l 5h，纯弯纯弯s s 公式仍足够精确公式仍足够精确当当FS=

14、 =常数时，常数时，l27 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力工字形薄壁梁d dw wt tzzISFy)()(S 假设假设 : : t t / 腹板侧边腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布)4()(8)(22220SyhhhbIFyzd dd dt t(0)maxt tt t )2(minh t tt t当腹板厚度 远小于翼缘宽度b时，最大与最小切应力的差值很小。因此，腹板上的切应力可近似看成是均匀分布的d28盒形薄壁梁d dw wt t2)()(S zzISFyw w )4(2)(61)(22220SyhhhbIFyz d dd dt t假设假设 : : t t /

15、腹板侧边腹板侧边, 并沿腹板厚度均布并沿腹板厚度均布29 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较zWMmaxmaxs sAFSmax23t tFbhbhFl3262maxmaxt ts s当当 l h 时，时，s smax t tmax26bhFl62bhFlbhF23hl430 例例 题题例 4-1 FS = 15 kN, Iz = 8.84 10-6 m4, b = 120 mm, d d 20 20 mm, yC = 45 mm。试试求求: t tmax ；腹板与翼缘交接处切应力腹板与翼缘交接处切应力 t ta2)()(max,CCzybybS d dd dd dMPa 6

16、67maxSmax.ISFz, z d dt t35-,m 108.402CazybbSd dd dMPa 13. 7,S d dt tzazaISF解：352maxm 100392)( .ybSC, zd dd d31 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条件梁的强度条件 例题例题11.5 11.5 梁的强度条件梁的强度条件32 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与与c 点点处单向应力处单向应力b 点点处纯剪切处纯剪切33薄壁截面梁c 与与d 点点处单向应力处单向应力a 点点处纯剪切处纯剪切b 点点处处s s 与与t t 联合作用联合作用d34 梁的强

17、度条件梁的强度条件l l 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件：l l 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：maxs ss smaxt tt t t t 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力 s s 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力强度条件的应用l 细长非薄壁梁细长非薄壁梁l 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁或梁段或梁段) (maxmaxt ts s maxs ss s maxs ss s maxt tt t 梁的强度条件l 对一般薄壁梁，对一般薄壁梁，还应还应考虑考虑 s s 、t t 联合作用下的联合作用下的强度强度问题问题（参见第（参见第 1

18、4 章中的强度理论）章中的强度理论）35 例例 题题例 5-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m，s s = 100 MPa ，t t = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号解：1. 危险工作状态分析危险工作状态分析lFlF)()(S FF maxS lFM 1)(4maxFlM 移动载荷问题移动载荷问题362. 按弯曲按弯曲 s s 条件选截面条件选截面 4maxs ss sFlMWz 选选 22a, Wz=3.0910-4 m43. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度d dd dt tzzzzIFSISFmax,max,maxSmax MPa 11.14max

19、t tt t 44m 1003 .d dmax, zzSIF 4maxFlM FF maxS37例 5-2 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，s st = 35 MPa ，s sc = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的强度校核梁的强度解：MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面 截面截面 D, B38daBDyyMM , 因das ss s 故危险点危险点zDaIyM2 s sMPa 859-. zDbIyM1 s sMPa 328. zBcIyM2 s sMPa 633. MPa 859maxc,.a s ss sMP

20、a 633maxt,.c s ss s cs s ts s a, b, c截面截面D截面截面Ba受压，受压，b受拉，受拉，c受拉，受拉，d受压受压39 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 例题例题11.6 11.6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计40 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的差异与脆性材料的差异tcts ss syyc上下上下对称对称塑性塑性材料材料脆性脆性材料材料 注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性注重弯曲

21、强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性避免剪切破坏避免剪切破坏与局部失稳与局部失稳41 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()(s sxWxM弯曲等强条件弯曲等强条件FxxM)(6)()(2xbhxW6)(s sbFxxh)(2)(3St txbhxF23)(tbFxhFxF)(S等强度梁各横截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件4243 梁的合理受力梁的合理受力合理安排约束 a = ? F 最大最大44合理安排加载方式8/6/4/FlFlFl45 例例 题题例 6-1 梯形截面梁，梯形截面梁，s st = 45 MPa， s sc = 80 MPa，试求，试求 a 与与 b 的最佳比值。

22、的最佳比值。解：1. 形心的最佳位置形心的最佳位置tcmax , tmax c,s ss ss ss s tcs ss s yyh)( 259 ahy 2. a与与b的最佳比值的最佳比值)( 2 3bbabahy 232 ba得：得：IMy s s)()(ba 由附录由附录B，梯形截面形心至底边的距离为，梯形截面形心至底边的距离为:46 弯曲正应力分析弯曲正应力分析 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯曲正应力 例题例题11.7 11.7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲47 弯曲正应力分析弯曲正应力分析非对称弯曲双对称截面梁双对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲非对称截面梁非对称截

23、面梁非对称弯曲非对称弯曲48弯曲正应力分析zzyyIyMIzMs s矢量沿坐标轴正矢量沿坐标轴正向的弯矩向的弯矩M为正为正利用叠加法分析利用叠加法分析内力与应力内力与应力弯曲正应力沿横截面线性分布xFMzyxFMyz49 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯曲正应力0yzzyIyMIzMyz tanyzzyMMII0)0 , 0(s szzyyIyMIzMs s中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线中性轴位置与方位0zzyyIyMIzM中性轴的方位角为：中性轴的方位角为：yzzyMMII1tan 50s smax 发生在发生在离中性轴最离中性轴最远的各点处远的各点处zzyy,

24、WMWMmaxcmaxts ss szazyay,IyMIzMmaxcmaxts ss s矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：最大弯曲正应力51 例例 题题例 7-1 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高截面高 h = 80 mm，宽宽 b = 40 mm，s s = 160 MPa ，校核梁强度校核梁强度解：1. 内力分析内力分析FaMFaMzAyA ,2危险截面截面危险截面截面 A522. 应力分析应力分析危险点危险点d, fzzAyyAWMWMmaxs s66222bhFahbFaMPa 5 .1463. 强度校核强度校核

25、 maxs ss s MPa 16053 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 偏心压缩应力偏心压缩应力 例题例题11.8 11.8 弯拉弯拉( (压压) )组合组合54 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力实例弯拉组合弯拉组合偏心拉伸偏心拉伸（外力平行与（外力平行与 偏离轴线）偏离轴线）（横向载荷轴向载荷）（横向载荷轴向载荷）55弯拉(压）组合分析AF Ns szIyMmaxM s szWMAFmaxmax s sMNs ss ss s zIyMAFmax maxs ss s 内力内力FN，Mmax56 偏心压缩应力偏心压缩应力外力向形心简化外力向形心简化弯压组合弯压组合zz

26、IFeyIMy Ms sFeM FF NAFNs szIFeyAF s s0 zyIyFeAFAeIyz 中性轴与载荷作用点位于形心轴中性轴与载荷作用点位于形心轴 z 两侧两侧异异号号与与 ey成成反比比与与 ey偏心距偏心距越越大，中性轴离形心轴大，中性轴离形心轴越近越近；反之越反之越远远57 例例 题题例 8-1 F = 10 kN，l = 2 m，e = l / 10，a a 3030 ， s s 160160 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号解：1. 计算简图计算简图eFMx exCFF sin30FFy cos30eF cos30F 外力分解，向梁轴简化外力分解，向梁轴简化582

27、. 内力分析内力分析3. 截面型号初选截面型号初选Ns s zAAWMAFs sAzMW 选选 12.6, Wz=7.7510-4 m4 , A=1.8110-3 m24. 校核与修改设计校核与修改设计12.6 满足强度要求，否则修改设计满足强度要求，否则修改设计按弯曲强度初步设计按弯曲强度初步设计s s zAWMzAAWMAF Nmaxs sMPa 5 .111s s 45m 10175 .59例 8-2 图示圆截面铸铁杆，直径为图示圆截面铸铁杆，直径为d。试证明当偏心距试证明当偏心距 e d / 8 时，横截面上无拉应力。时，横截面上无拉应力。横截面上无拉应力的条件中性轴与周边相切横截面上无拉应力的条件中性轴与周边相切AeIyz eddy146424 解：2 dy 令令8 de 于是得于是得ed162 ed162 60本章作业本章作业11-6，11-8，11-11，11-15，11-19，11-22