数学分析--反常积分习题解答ppt课件.ppt

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1、2反常积分的收敛判别法反常积分的收敛判别法 一一.无穷限积分无穷限积分收敛的收敛的Cauchy准则准则: 定理定理8.2.1(Cauchy收敛原则收敛原则)adxxf)(反常积分反常积分 收敛收敛 , ( ) AAA AAf x dx有 0 , , A绝对收敛绝对收敛 收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛条件收敛. 绝对收敛收敛，反之不成立 反例 . 32232,212,232212,2122,2122,22322232nxnnxnxnnxnxnnxxfnnnnnnO2132n21n yx212122n 00dxxf ndxxfn1211lim20二二非负函数无穷积分判敛法非负函数无穷积分判敛

2、法:比较判别法比较判别法 比较判敛法的极限形式比较判敛法的极限形式: : 推论推论(比较判敛法的极限形式比较判敛法的极限形式)设在区间设在区间上函数上函数则则同敛散同敛散: , )a( )0 , ( )0,xf x( )lim,( )xf xcx0( )( )aacf x dxx dx 和0( )( )aacx dxf x dx 时， ( )( )aacx dxf x dx 时，Cauchy判敛法判敛法:在比较判敛法中在比较判敛法中,以以 为比较对象为比较对象, , 即取即取则得到以下的则得到以下的Cauchy判敛法判敛法.以下取以下取 a 0 .a 0 .1pxdx1( ),pxx定理定理8

3、.2.3(Cauchy判敛法判敛法)设设在在上恒有上恒有为正常数为正常数.(1)若若(2)若若 ,)(0,)a ( ),1pKf xpx ( );af x dx ()0 ,fxK( ),1pKf xpx ( ).af x dx 例例 讨论121xxxdx的敛散性.22111xxxx xx1xxx推论推论( (Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式) ) 设是在设是在 上恒有上恒有且且 则则(1) (2)lim( ),pxx f xc ,)(0,)a ()0 ,fx0,1( ),acpf x dx 0,1( ).acpf x dx Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式: : lim

4、( )pxx f xc( )pcf xx0,c 如果则例例讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性. . 0521dxxx1dxexx 比较判别法是对所给的被积函数做适当的放大(如果预判为收敛)或缩小(如果预判为发散) 将不易判别的函数转化成易于判定敛散性的函数甚至是已知敛散性的函数 所谓适当，即是放大后的无穷积分应为收敛的，而缩小后的无穷积分应为发散的 对于简单的函数进行适当的放大或缩小是可能的，但若被积函数比较复杂,则要适当放缩就不易了，可用极限形式的判别法三三.一般函数反常积分的收敛判敛法一般函数反常积分的收敛判敛法:定理定理8.2.4(积分第二中值定理积分第二中值定理)设函数设函数f(x)在

5、区间在区间a,b上可积上可积,g(x)在在a,b上单调上单调.则则使使 , ,a b ( ) ( )( )( )( )( ).bbaaf x g x dxg af x dxg bf x dx证证只就函数只就函数f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,g(x)在在a,b上可导上可导的特殊情况施证的特殊情况施证.(1)若若g(x)在在a,b上单调增加上单调增加,且且则则使使(2)若若g(x)在在a,b单调减少单调减少,且且则则使使 ( ) ( )( )( );bbaf x g x dx g bf x dx( ) ( )( )( ).baaf x g x dx g af x dx( )0,g a ,

6、 ,a b ( )0,g b , ,a b 积分第二中值定理的特例积分第二中值定理的特例: Abel 判别法判别法: : 设积分设积分 收敛收敛 , , g(x)在在a,b上上单调有界单调有界, , 则积分则积分收敛收敛.( )af x dx( ) ( )af x g x dx Dirichlet 判别法判别法:设设 在区间在区间 上有界上有界, ,g(x)在在a,b上上单调有界且单调有界且 , , 则积分则积分收敛收敛.( )( )AaF Af x dx) , a0)(limxgx( ) ( )af x g x dxAbel 判别法判别法和Dirichlet 判敛法判敛法统称为 AD 判别法

7、。判别法。 定理8.2.5 例例 讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性. . 1sindxxx例例讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性. . 1sin arctanxxdxx四四. . 无界函数无界函数反常积分收敛判敛法反常积分收敛判敛法: 无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反常积分常积分.以只有一个奇点以只有一个奇点为例为例,列出相应的结果如下列出相应的结果如下:xb定理定理8.2.1(Cauchy收敛原则收敛原则)反常积分反常积分 收敛收敛( )baf x dx 0 , 0 , , (0, ), ( ) .bbf x dx 定理定

8、理8.2.3 (8.2.3 (Cauchy判敛法判敛法) 设在设在a,b)a,b)上有上有 若当若当x x 属于属于b b 的某个左邻的某个左邻域域 时时, , 存在正常数存在正常数K, K, 使使 (1)若若(2)若若 ( )0,f x 0, )bb( ),1()pKf xpbx ( );baf x dx ( ),1()pKf xpbx ( ).baf x dx 推论推论( (Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式) ) 设在设在 上恒有上恒有且且 则则(1) (2)lim()( ),pxbbxf xl , )a b()0 ,fx0,1( ),balpf x dx 0,1( ).bal

9、pf x dx 定理定理 8.2.58.2.5 (1) Abel 判别法判别法: : 设积分设积分 收敛收敛, , g(x)在在a,b上上单调有界单调有界, , 则积分则积分收敛收敛.( )baf x dx( ) ( )baf x g x dx(2) Dirichlet 判别法判别法:设设 在区间在区间 上有界上有界, ,g(x)在在a,b)上上单调有界且单调有界且 , , 则积分则积分收敛收敛.( )baFf( 0 , ba lim( )0 xbg x ( ) ( )baf x g x dx例例 讨论积分 的敛散性. exxdxp10ln例例 证明积分 当 时收敛. 1011sinpdxxx2p ln()10 xxdxp例：讨论反常积分 的敛散性：