数理统计中几种常用的分布ppt课件.ppt

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1、16.2 数理统计中几数理统计中几种常用的分布种常用的分布 2分布分布一、一、二二、t 分布分布三、三、F分布分布22分布分布一、一、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态都服从正态分布分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .)(22n记为记为32分布的密度函数为分布的密度函数为000)2(21)(2122yyeynyfynn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)(01xdt

2、texxt)(x42由由 分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则)()(121222nXnii)(21221nnXX),(),(222121nXnX2. 设设 且且X1,X2相互相互独立，则独立，则5nDnE2,22则) 1 , 0(, 1, 0NXDXEXiii证：niEXEXDXiii, 2 , 1, 213)(2242.)(12122nEXXEEniinii所以.2)(12122nDXXDDniinii, 12iEX如果. 3)(22n64.应用

3、中心极限定理可得，若应用中心极限定理可得，若nnX2的分布近似正态分布的分布近似正态分布N(0,1). ，则当，则当n充分大时，充分大时，)(2nX若若7分布的密度函分布的密度函数的图形如右数的图形如右图图. .)(2n82(n)分布的上分布的上 分位点可以查分位点可以查附表附表5.5. 2 2(n)(n)分布分布的上的上 分位点分位点图形如右图图形如右图. .2 2分布的分位点分布的分位点 对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足称满足条件条件: :)(222)()(ndxxfnP的点的点 2 2(n)(n)为为 2(n)分布的上分布的上 分位点分位点. .9例1:求。，)20()1

4、0(21.0205.0，查得解：从附表412.28)20(307.18)10(521 . 0205. 010T的密度函数为：的密度函数为：tntnnntfn,)1 ()2(2) 1()(212二二、t 分布分布 定义定义: 设设XN(0,1) , Y , 且且X与与Y相互相互独立，则称变量独立，则称变量nYXT )(2n所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.记为记为T .)(nt11 T Tt(nt(n),),对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足条件称满足条件: : t t分布的分位点分布的分位点 的点t t ( (n n) )为为t t分布的上分布的

5、上 分位点分位点. .)()()(ntdttfntTP t t分布的上分布的上 分位点图形如分位点图形如右图右图. .t t分布的上分布的上 分位分位点可以查附表点可以查附表4.4.12具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数的数学期望和方差为学期望和方差为: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对对n 2 当当n充分大时，其图形类似于标准正态分充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形布密度函数的图形. 0);(nxfLimxt分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且13 不难看到，当不难看到，当n充分大时，充分大时，t 分布近

6、分布近似似N (0,1)分布分布. 但对于较小的但对于较小的n，t分布分布与与N (0,1)分布相差很大分布相差很大. -2 -1 o 2 -3 n=1 n=4 n=10 x f (x) 3 1 0.5 图图6414例2:设 Tt(8),且P|T|x0=0.95,试求x0的值. 解解:P|T|x0=1- P|T|x0=1-0.95=0.05, P|T|x0= PTx0+ PTx0=PTx0= 2 PTx0=0.05即即 PTx0=0.025, x0 =t0.025(8).查表得t0.025(8)=2.3060.即即 x0 =2.3060.15即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不

7、依赖于第一自由度n1. 0001)()()()()(2222212112121212121xxxxxfnnnnnnnnnnnnnX的数学期望为的数学期望为:2)(22nnXE若若n22若若X ， X的概率密度为的概率密度为),(21nnF称随机变量则 分布三、 F独立，若YXnYnX,),(),(2212).,(,2121nnFFFnn分布，记作的是21/ FnYnX所服从的分布为自由度16 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 2.0 3.0 4.0 o (n1， n2) x f (x) (10，100) (10， 10) (10，4) fx的图形如下图所示的图形如下图所示17 F F(m

8、,n ), ,对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足条件称满足条件: :F F分布的分位点分布的分位点 的点的点F F ( (m,nm,n ) )为为F F分布的上分布的上 分位点分位点. .),()(),(nmFdxxfnmFFPF F分布的上分布的上 分分位点图形如右位点图形如右图图. .F F分布的上分布的上 分分位点可以查附位点可以查附表表6.6.),(21nnF18 设设F FF(m,nF(m,n),),记记Z=1/F,Z=1/F,则则:Z:ZF(n,mF(n,m) .) . 由由F F分布定义分布定义证明证明:l F F分布的分布的性质性质 性质1.nYmXF/其中其中

9、X X 2 2( (m) ),Y,Y2(n), ,且且X X与与Y Y相互独立相互独立. .),(/mnFZmXnYZ19),(11211nnFFP所以),(1),(),(/ 12111212nnFnnFnnFF所以，又因为),(1),(12211nnFnnF即357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(05. 095. 0FF例：),(21nnFF证明：若),(11),(1211211nnFFPnnFFP),(111211nnFFP),(/1),(. 212211nnFnnF性质20 由由F F分布定义分布定义, F = T, F = T2 2F(1,n) . . 设设T Tt(nt(n),),则则:T:T2 2F(1,n) .F(1,n) .由由t t分布定义分布定义证明证明: 性质性质3.)()1(/)(1/)1(/1/222222相互独立与且nnnnYXTF 其中其中X X N(0,1),YN(0,1),Y2 2(n)(n), ,且且X X与与Y Y相互独立相互独立. .nYXT/