多元函数微分学ppt课件.ppt

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1、1 可微性与偏导数可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性本节首先讨论二元函数的可微性, ,这是多这是多元函数微分学最基本的概念元函数微分学最基本的概念. .然后给出对单然后给出对单个自变量的变化率个自变量的变化率, ,即偏导数即偏导数. .偏导数无论偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用在理论上或在应用上都起着关键性的作用. . 四、可微性的几何意义及应用四、可微性的几何意义及应用 一、可微性与全微分一、可微性与全微分二、偏导数二、偏导数三、可微性条件三、可微性条件应用应用 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算近似计算估计误差估

2、计误差回忆：回忆：一元函数一元函数 y = f(x)可微的定义可微的定义一、可微性与全微分一、可微性与全微分 定义定义 1 设函数设函数0( , )()zf x yU P 在某邻域在某邻域内有定内有定 000( , )(,)(),P x yxx yyU P 义义. .对于对于若若 f 在在 0P:z 可可表表示示为为的全增量的全增量0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)0P22,xy 其中其中A, ,B是仅与点是仅与点有关的常数有关的常数, ( )o 是是0P的高阶无穷小量的高阶无穷小量, 则称则称 f 在点在点可微可微. 并称并称 (1) 式中关于式中关于

3、,xyA xB y 的的线线性性表表达达式式|,|xy dz由由 (1), (2) 可见可见, ,当当 充分小时充分小时, 全微分全微分 (,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy 这里这里,zA xByxy (4)000d |d (,).Pzf xyA xBy(2)0fP在在为为的的全微分全微分, 记作记作 z 可作为全增量可作为全增量 的近似值的近似值, 于是有近似公式于是有近似公式: 在使用上在使用上, 有时也把有时也把 (1) 式写成如下形式：式写成如下形式：0000( , )(,)()().f x yf xyA xxB yy(3)评注：评注：的线性函数；与是yxdz)

4、1 (；即高阶无穷小量之差是比与0lim:,)2(0dzzdzz)()3(yBxAz0limlim:)0, 0(),()0, 0(),(yxyx其中yxyBxAz)()(),(),(0000yyBxxAyxfyxfdzzyx,)4(充分小时当事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数 ),(yxfz 在在点点 ),(yx 处处连连续续. . (5)函数若在某区域函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数内各点处处可微分，则称这函数 在在 D 内内可微分可微分. . 的全增量为处函数在点解fyx)

5、,(00000000)(),(yxyyxxyxfyxyxxy0022yxyxyx由于yxyx22yx0),(0yx且可微在从而因此,),().(00yxfyxyxxydf00例例1 考察考察 00( , )(,).f x yxyxy 在在任任一一点点的的可可微微性性二、偏导数二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道: 若若 0( ),f xx在在可可微微则则 00()()(),f xxf xA xox 其其中中0().Afx( , )f x y00(,)xy现在来讨论现在来讨论: 当二元函数当二元函数 在点在点 可微可微 时时, (1) 式中的常数式中的常数 A, B 应取怎样的值

6、？应取怎样的值？ 为此在为此在 (4) 式中先令式中先令 0(0),yxf 这这时时得得到到关关x于于的的偏偏增增量量为为.xxzzA xxAx 或或0,xA 现现让让由由上上式式便便得得的的一一个个极极限限表表示示式式000000(,)(,)limlim.xxxzf xx yf xyAxx (5) 容易看出容易看出, (5) 式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数00( ,).f x yxx 在在处处的的导导数数类似地类似地, (4)0(0),xy 在在式式中中令令又可得到又可得到000000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyByy (6)它是关

7、于它是关于 y 的一元函数的一元函数00(, ).f xyyy 在在处处的的导导数数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自它对另一个自 变量的导数称为该函数的变量的导数称为该函数的偏导数偏导数, 一般定义如下一般定义如下: 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. . 函数对函数对 x 的偏增量的偏增量二、偏导数二、偏导数.),(),(lim0000000 xxyxfyxfxfxxyyxx注注1 1 ,xy这里是专用于偏导数的符号,与一元这里是专用于偏导数的符号,与一元ddx函函数数的的导导数数符符号号相相仿仿,

8、,但但又又有有区区别别. .注注2 在上述定义中在上述定义中,00(,)fxy在在点点存在对存在对 x (或或 y) ,f的的偏偏导导数数 此此时时至至少少在在00( , ),|x yyyxx 00( , ),|.x yxxyy 或上必须有定义或上必须有定义显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数界点处则往往无法考虑偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 v偏导数的定义 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏导数的符号 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxx

9、xz ),(00yxfx xz xf xz 或),(yxfx v偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 v偏导函数的符号 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 1.由偏导数定义知由偏导数定义知, 所谓所谓 f (x, y) 对对x 的偏的偏导数导数, 就是将就是将 y 看作常数看作常数, 将将 f (

10、x, y) 看作一元看作一元函数来定义的函数来定义的. 注注因此因此,在实际计算时在实际计算时, 求求 f x (x, y)时时, 只须将只须将 y 看作常数看作常数,用一元函数求导公式求即可用一元函数求导公式求即可.求求 f y (x, y)时时, 只须将只须将 x 看作常数看作常数,用一元用一元函数求导公式求即可函数求导公式求即可.2. f x (x0, y0) 就是就是 f x (x, y), 在点在点(x0, y0)的值的值. 算算 f x (x0, y0) 可用可用3种方法种方法:f y (x0, y0)f y (x, y)f y (x0, y0)(1) 用定义算用定义算.(2) 先

11、算先算 f x (x, y), 再算再算 f x (x0, y0) f y (x, y),f y (x0, y0).(3)先算先算 f (x, y0), 再算再算 f x (x, y0) f x (x0, y0) f (x0, y), f y (x0, y),f y (x0, y0).xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 偏导数的几何意义偏导数的几何意义: ( , )zf x y 的几何图象通常是的几何图象通常是 三维空间中的曲面三维空间中的曲面, 设设 0000(,)P xyz为此曲面上一为此曲面上一 000(,) .zf xy 00,Pyy 过过点点作作平平面面

12、它它与与点点, 其中其中 曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：0:,( , ).Cyyzf x y xyzO0P 图图 17-1 0y( , )zf x y C 如图如图17-1 所示，偏导数所示，偏导数 00(,)xfxy的几何意义为的几何意义为:在平面在平面 0yy 上上, 曲线曲线 C 在点在点 P0 处的切线与处的切线与 x 轴轴 00(,)tan.xfxy 正向所成倾角正向所成倾角 的正切，即的正切，即 xyzO0P 图图 17-1 0y( , )zf x y C v偏导数的几何意义 zf(x y0) zf(x0 y) 由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道, 多元函数多元函数 f

13、 对某一个自变对某一个自变 量求偏导数量求偏导数, 是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数, 变成一变成一 元函数的求导元函数的求导. 因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基 本法则本法则, 对多元函数求偏导数仍然适用对多元函数求偏导数仍然适用.例例2 323( , )2(1,3)f x yxx yy求求函函数数在在点点处处关关于于 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数. 解解 先求先求 f 在点在点 (1, 3) 处关于处关于 x 的偏导数的偏导数. 为此为此, 令令y = 3, 得到得到 32( ,3)627,f xxx 求它在求它在 x = 1 的的导导

14、y = 3, 得到得到 32( ,3)627,f xxx 求它在求它在 x = 1 的的导导数数, 则得则得 211d ( ,3)(1,3)(312 )15.dxxxf xfxxx再求再求 f 在在 (1, 3) 处关于处关于 y 的偏导数的偏导数. 为此令为此令 x = 1, 得得 3(1, )12,fyyy 求它在求它在 y =3 处的导数处的导数, 又得又得 233d (1, )(1,3)2325.dyyyfyfyy 通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数: 222( , )34,( , )23.xyfx yxxyfx yxy然后以然后以 (x,

15、 y) = (1, 3) 代入代入, 也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数 (0)yzxx 的偏导数的偏导数.解解 把把 yzx 依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指数函数, 分别求得分别求得 1,ln .yyzzy xxxxy 例例4 求三元函数求三元函数 2sin(e )zuxy的偏导数的偏导数. 解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数, 得到得到 2cos(e );zuxyx 22 cos(e );zuyxyy 2e cos(e ).zzuxyz 把把 z , x 看作常数看作常数, 得到得到 把把 x, y 看作常数看作常数, 得到得到 解解 xz;32yx

16、 yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解 xz;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 例例 6 6 设设 0 , 0 , 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf。 求求 )

17、.,( ),(yxfyxfyx 解解时，时，当当 0 22 yx时，时，且且即即 0 0 yx22222)(2)(yxxyxyxy ,)()(22222yxxyy ).,( )1(yxfx先求先求xxyxxyyxf22),(xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0. 000lim0 xx于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxxyyyxfx考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，时，时，当当 0 22 yx时，时，且且即即 0 0 yx22222)(2)(yxxyyyxx ).,( )2(yxfy求求yyyxxyyxf22),

18、(,)()(22222yxyxx yfyfy )0 , 0()0 , 0(lim0. 000lim0 yy于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxyxxyxfy考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例如，函数例如，函数 . 0 , 0 , 0,),(222222yxyxyxxyyxf, , 依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff. . 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元

19、函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。从几何上看从几何上看, f x (x0, y0)存在存在. 只保证了一元函数只保证了一元函数 f (x, y0)在在 x0 连续连续.即即 y = y0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 1 在在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的是连续的.同理同理, f y (x0, y0)存在存在. 只保证了只保证了x = x0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 2 在在 M0连续连续.但都不能保证曲面但都不能保证曲面 z = f (x, y)在在 M0连续连续.也就是连续这是因为所谓曲

20、面在,0M0000( , )(,)lim( , )( ,).x yx yf x yf x y换句话说换句话说, 当当 (x,y) 从任何方向从任何方向, 沿任何曲线趋于沿任何曲线趋于(x0， y0 )时时, f (x,y)的极限都是的极限都是 f (x0， y0 ).显然显然, 上边两个条件都不能保证它成立上边两个条件都不能保证它成立.三、可微性条件三、可微性条件 000(,),fP xyf在在点点可可微微 则则在在由可微定义易知由可微定义易知: : 若若 0P 必连续必连续. .这表明这表明: : “ “ 连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外, 由由 (5), (6)

21、两式又可得到可微的另一必要条两式又可得到可微的另一必要条 件件: 定理定理17.1 若二元函数若二元函数 f 在其定义域内一点在其定义域内一点 ( x0, y0 ) 处可微处可微, 则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在该点关于每个自变量的偏导数都存 在此时在此时, (1) 式中的式中的 0000(,),(,).xyAfxyBfxy于是于是, 函数函数 00(,)fxy在在点点的全微分的全微分 (2) 可惟一地表可惟一地表示为示为000000d (,)(,)(,).xyf xyfxyxfxyy 与一元函数一样与一元函数一样, 若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微

22、分，即的微分，即 d,d ,xxyy则全微分又可写为则全微分又可写为 000000d (,)(,)d(,)d .xyf xyfxyxfxyy若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点 (x, y) 都可微都可微, 则称函则称函 数数 f 在区域在区域 D 上可微，且上可微，且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 d ( , )( , )d( , )d .xyf x yfx yxfx yy(8)定理定理17. 1 的应用的应用: 对于函数对于函数 22( , ),f x yxy 由于由于 ( ,0)|,(0, )|,f xxfyy 0 x 它们分别在它们分别在0y 与与(0,0)x

23、f与与都不可导，即都不可导，即(0,0),yf都不存在都不存在( , )(0,0).f x y 在在点点不不可可微微故故一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在微分存在微分存在全微分存在全微分存在222222,0,( , )0,0 xyxyxyf x yxy例例5 考察函数考察函数在原点的可微性在原点的可微性解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim0;xxxfxffxx 同理可得同理可得(0,0,)0.yf 若若 f 在原点可微在原点可微, 则则 22(0,0)(0,0)(0,0)(0,

24、0)xyfxyffxfyx yxy 22xy 应是的高阶无穷小量. 然而,极限应是的高阶无穷小量. 然而,极限220limx yxy 却不存在却不存在 (第十六章第十六章2 例例3), 故此故此 f (x, y) 在原点不可微在原点不可微. 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。注意注意: 定理定理17.1 的逆定理不成立的逆定理不成立 .即即:以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而 这个例子说明这个例子说明: 对于多元函数对于多元函数, 偏导数即使都存在偏导数即使都存在, 该函数也不一

25、定可微现在不禁要问该函数也不一定可微现在不禁要问: 当所有偏导当所有偏导 数都存在时数都存在时, 还需要添加哪些条件还需要添加哪些条件, 才能保证函数可才能保证函数可 微呢微呢? 请看如下定理请看如下定理: 定理定理 17.2 ( 可微的充分条件可微的充分条件 ) 若函数若函数( , )zf x y在在 000(,)P xy,xyff与与点点的某邻域内存在偏导数的某邻域内存在偏导数 且它且它 0Pf0P在在点点们在点们在点连续连续, 则则可微可微.000000000000(,)(,) (,)(,) (,)(,).zf xx yyf xyf xx yyf xyyf xyyf xy 在第一个方括号

26、里的是函数在第一个方括号里的是函数0( ,)f x yy 关于关于 x 的增量的增量; 在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 0(, )f xy关于关于 y 的增量的增量. 第二步第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理, 则则12,(0,1), 使得使得证证 第一步第一步 把全增量把全增量 写作写作z 010002(,)(,).xyzfxxyyxfxyyy (9)00,(,),xyffxy在点连续在点连续第三步第三步 由于由于 因此有因此有 (,)(0,0),0,0.xy 其其中中当当时时0000(,)(,).xyzfxyxfxyyx

27、y 第四步第四步 将将 (10), (11) 代入代入 (9) 式式, 得到得到 由可微定义的等价式由可微定义的等价式 (4), 便知便知 00(,).fxy在在点点可可微微00200(,)(,),yyfxyyfxy (11)01000(,)(,),xxfxx yyfxy (10)定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 323( , )2f x yxx yy满足定理满足定理 17.2 的条件的条件, 故在点故在点 (1, 3) 可微可微 (且在且在2R上处处可微上处处可微); 3( , )|0,yzxx yxy例例 中中的的函函数数在在 上满足定理上满足定理 17

28、.2 的条件的条件, 亦在其定义域上可微；亦在其定义域上可微；例例4 中的函数中的函数23sin(e )Rzuxy在在上上同同样样可可微微. .注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 222222221()sin,0,( , )0,0.xyxyxyf x yxy 它在原点它在原点 (0,0) 处可微处可微, 但但xyff与与却在该点不连续却在该点不连续 (见本节习题见本节习题 7，请自行验证，请自行验证). 所以定理所以定理 17.2 是可是可 微的充分性定理微的充分性定理( , )f x y00(,)xy在点在点xyff与与若若的偏导数的偏导数都连

29、续都连续, 则则 00(,)fxy称在点称在点连续可微连续可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的 (9) 式式, 实际上是二实际上是二 ( , ),x y导数,若属于该邻域 则存在导数,若属于该邻域 则存在元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式, 将它重新写成定理如下将它重新写成定理如下: 00000( , )(,)( , )()(, )().xyf x yf xyfyxxfxyy (12)00(,)fxy在在点点的某邻域内存在偏的某邻域内存在偏定理定理 17.3 设函数设函数120,1, 和和 010()xxx020(),yyy使得使得证证 （1）令令,cos x,

30、sin y ),(lim)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 ),0 , 0(f 故故函函数数),(yxf在在点点)0 , 0(连连续续。 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy即即，函函数数),(yxf在在点点)0 , 0(偏偏导导数数存存在在。 ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220coss

31、inlim 0 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx 如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿着直线沿着直线 xy 趋近于趋近于)0 , 0(， )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 (2) (2) ),(yxf在点在点)0 , 0(不可微不可微. . ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即所以，函数所以，函数),(yxf在点在点 )0 , 0( 处不可微处不可微. . 例 计算函数zx2yy2的全微分 解解 所以所以 解解 所以

32、所以 dz2xydx(x22y)dydze2dx2e2dy 设 zf(x y) 则dyyzdxxzdz xyxz2 yxyz22 因为 因为因为 xyyexz xyxeyz 212exzyx 212exzyx 2122eyzyx 例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分 解 设 uf (x y z) 则dzzudyyudxxudu 例3 例 3 计算函数yzeyxu2sin的全微分 1xu 因为 1xu yzzeyyu2cos21 yzyezu dzyedyzeydxduyzyz)2cos21( 所以多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续

33、函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在)(xfy 0 xPQTdyy)( xo ）xyo x xx0RQ微分的几何意义微分的几何意义切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量当当x从从x0变到变到x0 x时时 y是曲线上点的纵坐标的增量是曲线上点的纵坐标的增量; ;xxfy)(d0 xtandy是过点是过点(x0 f(x0)的切线上的切线上点的点的 纵坐标的增量纵坐标的增量 当当| x|很小时很小时 | y dy|比比| x|小得多小得多 因此因此 在点在点P的邻近的邻近 我们可以用我们可以用切线段切线段 来近似代替来近似代替曲线段曲线段PQ QP 四、可微性的几何意义及应用四、可微性的几何

34、意义及应用 一元函数一元函数( ) yf x可微，在几何上反映为曲线存在可微，在几何上反映为曲线存在 不平行于不平行于 y 轴的切线轴的切线. 对于二元函数而言对于二元函数而言, 可微性可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系. 为此需为此需 要先给出切平面的定义要先给出切平面的定义, 这可以从切线定义中这可以从切线定义中获得获得 启发启发. 在第五章在第五章1中中, 我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 00(,)P xy点点的切线的切线 PT 定义为过点定义为过点 P 的割线的割线 PQ 当当 Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极

35、限位置时的极限位置 (如果存在的话如果存在的话). 这时这时,PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见图图17-2). 用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离, 由于由于 PTSdh图图 17 - 2 Qsin, hdQSP因因此此当当沿沿趋趋于于时时, ,0.hd0 等同于等同于的切线在点是曲线PSPT. 0limsinlim00dhdd定义定义 3 设曲面设曲面 S 上一上一一个一个平面平面, S 上的动点上的动点 仿照这个想法仿照这个想法, 我们引我们引进曲面进曲面 S

36、 在点在点 P 的切平的切平 面的定义面的定义(参见图参见图17-3). PQhdxyzOS 图图 17 - 3 点点 P, 为通过点为通过点 P 的的Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面 的距离分别记为的距离分别记为 d 和和 h. 若若当当 Q 在在 S 上以任上以任意方式趋近于意方式趋近于 P 时时, 恒有恒有 0,hd 则称则称 为曲为曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面, 称称 P 为为切点切点. 定理定理 17.4 曲面曲面0000( , )(,(,)zf x yP xyf xy 在点在点存在不平行于存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是轴的切平面的充要条件是: : 函数

37、函数 f在点在点000(,)P xy可微可微. 证证 (充分性充分性) 若函数若函数f在在 P0 可微可微, 由定义知道由定义知道 0000000(,)()(,)()( ),xyzzfxyxxfxyyyo 讨论过点讨论过点0000(,(,)P xyf xy的平面的平面: 0000000(,)()(,)(),xyZzfxyXxfxyYy 其中其中 X, Y, Z 是平面上点的流动坐标是平面上点的流动坐标. 下面证明它就下面证明它就 是曲面是曲面( , )zf x yP 在在点点的切平面的切平面. ( , , )Q x y z 由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 0000000220

38、000|(,)()(,)()|1(,)(,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy2200000(,),.()()zf xyxxyy 其中其中现在现在220000| ( )|,1(,)(,)xyofxyfxy 000222()()(),dxxyyzz 00hd 因此,由，并当时有因此,由，并当时有220000| ( )|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy P 到到 Q 的距离为的距离为 ( , )zf x y 在在点点根据定义根据定义 3 便知便知平面平面 即为曲面即为曲面P 的切平面的切平面 ( , )zf x yP 在在点点(必要性必要性) 若曲面若曲面存在不平行于存在不

39、平行于z 轴的切平面轴的切平面 000()().ZzA XxB Yy第一步第一步 设设 Q(x, y, z) 是曲面上任意一点是曲面上任意一点, 由由 Q 到这到这 个平面的距离为个平面的距离为 00022|()()|.1zzA xxB yyhABQP 0.hd由切平面的定义知道由切平面的定义知道, 当当时时, 有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 P 与与 Q, 有有 2222|1,12 1hzA xB yddABAB由此则得由此则得 221|.22dzAxByz 00022222,.xxxyyyzzzxydxyz ，令令 ()( ).zAxByo |()|ratio zAxBy 由于

40、 由于 defdef2222|11zA xB ydABdAB 221,hdABd f000(,)P xy第二步第二步 分析分析: 要证明要证明 在点在点可微可微, 事实事实 上就是需证上就是需证 因此因此, 若能证得当若能证得当 d 充充分分小小时时，为为一一有有界界量量，则有则有0lim ratio = 0. |:z 是有界量是有界量|abab 由由第三步第三步 先证先证 可推得可推得 2211|(|),22zAxByzz 故有故有 11|,22zAxBy |2 |12(|)1.zxyABAB 第四步第四步 :d 再证是有界量再证是有界量由上式进一步可得由上式进一步可得 222112( |

41、1 ).zdzzAB 000(,)P xy根据第二步的分析，这就证得根据第二步的分析，这就证得在点在点 可微可微. . 000(,)P xy定理定理 17.4 说明说明: : 函数函数在点在点可微可微, , 则曲面则曲面 000( , )(,)zf x yP xy z 在在点点处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy (13)过切点过切点 P 与切平面垂直的直线称为曲面在点与切平面垂直的直线称为曲面在点 P 的的 法线法线. 由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 0000(,),(,),1),xynfxyfxy 于是过切点

42、于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy (14),1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中：则法向量的方向余弦为夹角轴正向的、与分别是法向量、设,zyxn1),(),(0000yxfyxfnyx二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义: 如图如图17 4 所示所示, 当自当自 0000d(,)(,),xyzfxyxfxyy 的的全微分全微分而在点而在点 00(,)xy00(,)xy00(,)xx yy变为变为时时, 函函变量变量 由由 (

43、, )x y是是 z 轴方向上的一段轴方向上的一段 NQ; ( ,)zf x y 的的增量增量 z 数数 则是切平面则是切平面 上相应上相应的那的那一段一段增量增量 NM. 于于 12PM MM而趋于零而趋于零, 而且是较而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量. 0 是是, 与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，它的长度将那一段，它的长度将随着随着 z 图图 17 4 xyzOS PQ1Q2QM1M2MN1N2N00(,)xy00(,)xx yy)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 曲面上曲面上点的竖点的竖坐标的坐标的增量增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz

44、 因为曲面在因为曲面在P处的切平面方程为处的切平面方程为),(yxfz 在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz 在点),(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量. 例例6 试求抛物面试求抛物面22000(,)zaxbyP xyz在点在点处处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中22000.zaxby解解 000000(,)2,(,)2,xyfxyaxfxyby由公式由公式 (13), 在点在点 P 处的切平面方程为处的切平面方程为 000002()2().zzaxxxbyyy 22000,zaxby又又因因所所以以它它可可化化简简为为000220.ax xby

45、 yzz 由公式由公式 (14), 在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 00000.221xxyyzzaxby可知当*全微分在数值计算中的应用全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 例例7 求求 3. 961. 08的近似值的近似值. ( ,),yf x yx 001,4,0.08,xyx 并并令令解解 设设0.04.y 由公式由公式 (3)，有，有3

46、. 96001. 08(,)f xx yy(1,4)(1,4)(1,4)xyffxfy414 0.081ln1 ( 0.04)1. 32. 例例8 1sin2SabC应用公式计算某三角形的面积,应用公式计算某三角形的面积,12.50,8.30,30 .,abCa b现现测测得得若若测测量量的的误误0.01,0.1 ,C差差为为测测量量的的误误差差为为试试求求用用此此公公式式计计算算三三角角形形面面积积时时的绝对误差限和相对误差限的绝对误差限和相对误差限. 解解 依题意，测量依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为 | 0.01,| 0.01,| 0.1.1800abC

47、 由于由于|d|SSSSSabCabCSSSabCabC因此将各数据代入上式因此将各数据代入上式, 即得即得 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 |0.13.S 11| sin| | sin| |221|cos| |,2bCaaCbabCC 111sin12.50 8.3025.94,222SabC0.130.5%.25.94SS 又因又因 所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 复习思考题 1. 已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在试举出能分别满足如下要求的函数试举出能分别满足如下要求的函数 ( , ):f x y(i) (0,0),;在在点点处处连连续续 但但不不存存在在偏偏导导数数(ii) (0,0),;在在点点处处不不连连续续 但但存存在在偏偏导导数数(iii) (0,0),;在在点点处处连连续续 存存在在偏偏导导数数, ,但但不不可可微微(iv) (0,0).在在点点处处可可微微, ,但但偏偏导导数数不不连连续续2. 可微性定义中可微性定义中, (1) 式与式与 (4) 式为何是等价的式为何是等价的?