理论力学14—虚位移原理ppt课件.ppt

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1、第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理 系统的约束及其分类系统的约束及其分类 虚位移及其计算虚位移及其计算引引 言言 虚位移原理，是用数学分析（微积分虚位移原理，是用数学分析（微积分和变分法）的方法来研究任意质点系的平衡问和变分法）的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原理相结合，可以导出

2、动力学普遍方程和拉格朗理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。一个普遍的方法。 限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及表示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及其性质，约束可分以下类型：其性质，约束可分以下类型： 一、几何约束与运动约束一、几何约束与运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：约束。如：Oxy),(yx

3、Ml222lyx约束类型及分类约束类型及分类O),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx 几何约束方程的一般形式为几何约束方程的一般形式为0),(111 nnnrzyxzyxf 不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。点的速度的约束称为运动约束。),(BByxBBvOxyCr为几何约束方程。为几何约束方程。ryB0rxB为运动约束方程。为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为运动约束方程的一般形式为0),(111111 nnnnnnrzyxzyxzyxzyxf 二

4、、定常约束与非定常约束二、定常约束与非定常约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。 Oxy),(yxMu0l其约束方程为其约束方程为2022)(utlyx 非定常约束方程的一般形式为非定常约束方程的一般形式为0),(111 tzyxzyxfnnnr 三、双面约束与单面约束三、双面约束与单面约束 同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。束。 只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动只能限制质点某方向的运动，

5、而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为0),(111 nnnrzyxzyxf四、完整约束与非完整约束四、完整约束与非完整约束 几何约束或其约束方程能够积分的运动约束几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。称为完整约束。 如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。 本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。一、虚位移的概念一、虚位移的概念 在某瞬时，质点系在在某瞬

6、时，质点系在约束允许约束允许的条件下，可能实的条件下，可能实现的任何现的任何微小的微小的位移，称为该质点系的虚位移。如位移，称为该质点系的虚位移。如Oxy),(yxMr 虚位移原理虚位移原理OABxyArBr 必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所允许的位移，但二者是有区别的。约束所允许的位移，但二者是有区别的。实位移实位移是在是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，时间内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而也可能是

7、有限值。而虚位移虚位移纯粹是一个几何概念，它纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小值微小值，在约束允许的条件下具有在约束允许的条件下具有任意性任意性。一个静止的质点或。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以有虚位移。在定常约质点系不会发生实位移，但可以有虚位移。在定常约束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位移与虚位移没有关系。非定常约束的情况下，实位移与

8、虚位移没有关系。11虚位移虚位移实位移实位移 只与约束有关；只与约束有关； 不仅与约束有关，还与不仅与约束有关，还与作用力、时间、初始速度、作用力、时间、初始速度、初始位移有关；初始位移有关； 不是唯一的，只要约束不是唯一的，只要约束允许可能有几种不同方向；允许可能有几种不同方向； 是唯一的，具有确定的是唯一的，具有确定的方向；方向； 必须是微小位移，否则必须是微小位移，否则会破坏系统的平衡位置。会破坏系统的平衡位置。 可以是微小位移，也可可以是微小位移，也可以是有限位移。以是有限位移。虚位移与实位移比较虚位移与实位移比较实际上并没发生的虚拟位移实际上并没发生的虚拟位移实际上已将发生的位移实际

9、上已将发生的位移二、虚位移的计算二、虚位移的计算1 1、几何法、几何法 这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度法。例如：法。例如：ABABABvvtvtvrrOABxyArBrC由于由于ABAB作平面运动作平面运动，由速度投影定理速度投影定理)sin()(90coscosAABvvvcos)sin(ABABvvrr或者，由于或者，由于 为为AB的瞬心的瞬心，故故COA

10、BxyArBrCACBCvvBCvACvABBA即由正弦定理由正弦定理cos)90sin()sin(ACACBC同样可得同样可得cos)sin(ACBCvvrrABAB 2 2、解析法、解析法 解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如分以求出虚位移之间的关系。例如),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl 椭圆规机构如图，坐标椭圆规机构如图，坐标AByx ,有约束方程有约束方程222lyxAB对上式进行变分运算得对上式进行变分运算得022AABByyxxtgxyyxBAAB),(AAyxA),(BByxBxyOAyBx

11、l或者把或者把 表示成表示成 的函数，也的函数，也可求出虚位移间的关系。可求出虚位移间的关系。AByx ,因为coslxBsinlyA作变分运算作变分运算sinlxBcoslyA所以所以tgyxAB 比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。且较为简便，而解析法比较规范。MFr 如图所示，设某质点受力如图所示，设某质点受力 作用，作用，并给该质点一个虚位移并给该质点一个虚位移 ，则力，则力 在虚在虚位移位移 上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功，即，即FFrrrFW或或rFWcos 显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无显然

12、，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量穷小量。 如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为其条件为0NiNiWFr 三三、 虚位移原理虚位移原理 常见的理想约束有：常见的理想约束有： 支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。 具有双面、定常、理想约束的质点系，具有双面、定

13、常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数其数学表达式为学表达式为0iirF或或0cosiiirF或用解析式表示为或用解析式表示为()0 xiiyiiziiFxFyFz以上三式称为以上三式称为虚功方程虚功方程。虚位移原理也称。虚位移原理也称虚虚功原理功原理。 一、求主动力之间的关系一、求主动力之间的关系BrArOABPQPQ例例1 、 图示机构中，已知图示机构中，已知OA=AB=l， 如不计

14、各构件的重量和摩擦，求在图示位置平如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力衡时主动力 与与 的大小之间的关系。的大小之间的关系。 AOB 解解1：以系统为研究对象，受的主动力：以系统为研究对象，受的主动力有有 、 。给系统一组虚位移如图。给系统一组虚位移如图。PQ由虚位移原理由虚位移原理0iirF，得得四、例题讲解sin2sin2llACBCvvrrABAB将以上关系代入前式得将以上关系代入前式得0)sin2cos(ArQP由于由于 ，于是得，于是得0ArQtgP2 AB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在 点，则点，则C0cosBArQrPOABPQBrArC 亦可由速度投影定理求

15、虚位移之间的关系：亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：由速度投影定理由速度投影定理2sincosABvvsin2ABABvvrrOABPQBrArOABPQBrAr 解解2：解析法。建立如图坐标。：解析法。建立如图坐标。xy由于由于xAFP yBFQ 且且sinlxAcos2lyB对上两式作变分，得对上两式作变分，得coslxAsin2lyB由由()0 xiiyiiziiFxFyFz，得，得0 xAAyBBFxFy即即0)sin2)(cos)(lQlP由于由于 ，于是得，于是得0QtgP2 例例2 图示机构中，当曲柄图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自沿曲柄自由滑

16、动，从而带动杆由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽在铅垂导槽K内移动。已知内移动。已知OC=a，OK=l，在，在C点垂直于曲柄作用一力点垂直于曲柄作用一力Q，而在，而在B点沿点沿BA作用一力作用一力P。求机构平衡时，力。求机构平衡时，力P与与Q的关系。的关系。OxyPQABKCal 解解1：（几何法）以系统为：（几何法）以系统为研究对象，受的主动力有研究对象，受的主动力有P、Q 。给系统一组虚位移如图。给系统一组虚位移如图。其中其中reArrr由虚位移原理由虚位移原理0iirF，得，得0CArQrP式中式中arC2coscoslrreA故有故有0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ

17、2cosCrOxyPQABKCalerrrArOxyPQABKCla主动力作用点的坐标及其变分为主动力作用点的坐标及其变分为主动力在坐标方向上的投影为主动力在坐标方向上的投影为 解解2 解析法解析法:建立如图坐标。建立如图坐标。yAFPsinxCFQsinyCFQ ltgyA2coslyAcosaxCsinaxCsinayCcosayC由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0CCCCAAyYxXyY即即0cos)cos()sin(sincos2aQaQlP亦即亦即0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ2cosOxyPQABKCla 解解3：综合法。：综合法。OxyPQABK

18、Cla 本题用解析法计算本题用解析法计算 力的虚功，力的虚功，用几何法计算用几何法计算 力的虚功，此时虚功力的虚功，此时虚功方程可以写为方程可以写为PQ0yAACFyQr将将yAFPltgyA代入上式，得代入上式，得0)(CrQltgP即即0cos2QalP可得同样的结果。可得同样的结果。二、求系统的平衡位置二、求系统的平衡位置ABCDEWaabb 例例3 图示平面机构，两杆长度相等。在图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重点挂有重W的重的重物。物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。其

19、它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。ABCDEWFFxy 解：以系统为研究对象，建立如解：以系统为研究对象，建立如图的坐标。图的坐标。 系统受力有主动力系统受力有主动力 ，以及，以及非理想约束的弹性力非理想约束的弹性力 和和 ，将，将其视为主动力。其弹性力的大小其视为主动力。其弹性力的大小为为WFF)cos2(lbkkF主动力作用点的坐标及其变分为主动力作用点的坐标及其变分为sin)(bayBcos)(bayBcosaxDsinaxDcos)2(baxEsin)2(baxEABCDEWFFxy主动力在坐标方向上的投影为主动力在坐标方向上的投影为yBFW xDFFxEFF 由由()0 x

20、iiyiiziiFxFyFz，得，得0yBBxDDxEEFyFxFx即即0sin)2()sin(cos)(baFaFbaW亦即亦即0sin2cos)(FbbaW因因 ，故，故00sin2cos)(FbbaW将将F代入，化简得代入，化简得)cos2(2)(lbkbbaWtg 三、求约束反力三、求约束反力 例例4 试求图示多跨静定梁铰试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。处的约束反力。44433336ABCDEFG1P2P3PM 解：以梁为研究对象，解除解：以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约处约束，代之以相应的约束反力束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。，并视为主动力。给系

21、统一组虚位移，如图所示。BY 由虚位移原理有由虚位移原理有0332211MrPrPrYrPBB由图知由图知,811,2121BBrrrrBErrr16113BErr96116于是得于是得0)9611161181121(321BBrMPPYP从而有从而有MPPPYB96111611811213210BrABCDEFG1P2P3PMBY1r2rBr3rEr44433336 例题5. 多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图示.P=50KN，均布荷载q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求支座A、B和E的约束反力。3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解解: 解除支座解除支座A的约束的约

22、束,代之约束反力代之约束反力RA,画虚位移图如下画虚位移图如下. 其中其中Q1=24KN, Q2=24KN. 12rArC B是是AC杆的瞬心杆的瞬心. E是是CE杆的瞬心杆的瞬心. 利用虚位移图得利用虚位移图得: rC = (BC)1 = (CE)2 1 = 22 3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABEW(RA) =6 RA1 W(P) = -1501 6RA1-1501+721+2162 - 362 = 0 RA = -2KN W(Q1) =721W(Q2) = 2162W(m) = - 362由虚位移原理得由虚位移原理得:12rArC3m 3m 6m6m6mABCDEP

23、qmQ1Q2RABE利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解除支座解除支座B的约束的约束,代之约束反力代之约束反力RB ,画虚位移图画虚位移图. E是是CE杆的瞬心杆的瞬心.利用虚位移图得利用虚位移图得:rC = (AC)1 = (CE)21 = 2 = rC12Q1Q2RBEW(P) =1501 由虚位移原理得由虚位移原理得: RB = 91 KNW(RB) = - 6RB1W(Q1) = 2161W(Q2) = 2162W(m) = - 362-6RB1+1501+2161+2162 -362 = 0利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功3m 3

24、m 6m6m6mABCDEPqm rC12Q1Q2RBE解除支座解除支座E的约束的约束,代之约束反力代之约束反力RE画虚位移图画虚位移图. rE利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功W(RE) = 12REW(m) = -36W(Q2) = -72由虚位移原理得由虚位移原理得:12RE - 72 - 36 = 0RE = 9 KN3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RE331224ABCDE2P1Pq 例例6 图示多跨静定梁，试求图示多跨静定梁，试求A端处约束反力偶矩及铅端处约束反力偶矩及铅垂反力。已知垂反力。已知 ： , , , 长度单位为长度单位为m。kNP801kNP602

25、mkNq10ABCDE2P1PqAM3rDr2r1rBr 解：（解：（1）求）求A端约束反力偶矩。端约束反力偶矩。 以梁为研究对象，解除以梁为研究对象，解除A处限制转动的约束，代之以相处限制转动的约束，代之以相应的约束反力偶矩应的约束反力偶矩 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。如图所示。AM 由虚位移原理有由虚位移原理有0432211rqrPrPMA由几何关系得由几何关系得463232,321Brrr26313221213BDrrr于是得于是得0)843(21qPPMA0故有mkNqPPMA40084321（2）求）求A处铅垂反力处铅垂反力解除解除A处

26、铅垂的约束，代之以处铅垂的约束，代之以相应的约束反力相应的约束反力Y，并视为主，并视为主动力。给系统一组虚位移，如动力。给系统一组虚位移，如图所示。图所示。331224ABCDE2P1PqABCDE2P1PqAYAr1rBr3rDr2r 由虚位移原理有由虚位移原理有于是有于是有0)3432(21AArqPPY0432211rqrPrPrYAA由几何关系得由几何关系得ABBArrrrrr3232,21ABDrrrr3132212130Ar故有故有kNqPPYA7 .106343221ABCDE2P1PqAYAr1rBr3rDr2r例例7 ： 求图示静定刚架支座求图示静定刚架支座D处的水处的水平反

27、力。平反力。Pm5m5ABCD 解：以刚架为研究对象，解除解：以刚架为研究对象，解除D处的水平约束，代之以相应的约处的水平约束，代之以相应的约束反力束反力 ，并视为主动力。给系，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。统一组虚位移，如图所示。DXDXPABCDCEErDrCrBrAr 由虚位移原理有由虚位移原理有0cosEDDrPrX于是支座于是支座D的水平反力为的水平反力为PXD21AEECrDcos0且故故0CCAEPXD于是有于是有0)cos(DDrCCECPX由运动学关系由运动学关系CDrrECrCCrECDCErCCECrCCECrDXPABCDCEErDrCrBrAr四、求桁架杆

28、件及组合结构的轴力四、求桁架杆件及组合结构的轴力 例例8：求图示桁架杆：求图示桁架杆1和杆和杆2的轴力。的轴力。ahhh1P3P2P121P3P2P1S1Sr3r2r1r 解：以桁架为研究对象，解除解：以桁架为研究对象，解除1杆的约杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。由虚力。给系统一组虚位移，如图所示。由虚位移原理有位移原理有:0cos1332211rSrPrPrP由几何关系得由几何关系得rrrr3210)cos(1321rSPPP0r于是得于是得)(cos321223211PPPahaPPPSahhh1P3P2P12

29、解除解除2杆的约束，代之以相应的约杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。虚位移，如图所示。 由虚位移原理有由虚位移原理有0cos22211rSrPrP由几何关系得由几何关系得1P3P2P2S2Sr2r1rhr21hr 222ahr22cosaha0)2(221aShPhP0于是得于是得ahPPS)2(212例9. 组合构架如图所示。已知P=10KN，不计构件自重,求1杆的内力。2m2m 2m2m2mACBP12m2m 2m2m2mACBP1解:截断1杆代之内力S1和S1且S1= S1 =S，画虚位移图。rC12B为BC的瞬心.

30、利用虚位移图得利用虚位移图得:rC = (AC)1 = (BC)21 = 2 = BS1S1 利用虚位移图求虚功利用虚位移图求虚功W(S1) = - 2 S12 W(S1) = - 2S11 W(P) = 2P2 S = 5 KN由虚位移原理得由虚位移原理得:- 2S11 - 2 S12+2P2 = 02m2m 2m2m2mACBP1rC12BS1S 1 例例10 求图示桁架求图示桁架1，2，3杆的内力。杆的内力。ABCDEABCDEPP1S1SErDr 解：解：将将1 杆截开，代之以内杆截开，代之以内力力 ，并视，并视 为主动力。为主动力。11,SS11,SS画系统的虚位移图：画系统的虚位移

31、图：ABC不动，不动，杆杆BD，CE定轴转动，杆定轴转动，杆DE平动。平动。; 0W01EDrPrSEDrrPS 1aaaa51ABCDEP2S2SDrEr 将将2 杆截开，代之以内力杆截开，代之以内力 ，并视并视 为主动力。为主动力。22,SS22,SS画系统的虚位移图：画系统的虚位移图：ABC不动，不动，CDE定轴转动。定轴转动。; 0W02EDrPrSEDrrPS2ABCDEP3S3SOCrEr 将将3 杆截开，代之以内力杆截开，代之以内力 ，并，并视视 为主动力。为主动力。33,SS33,SS画系统的虚位移图：画系统的虚位移图：AB不动，不动，AC，BD定轴转动，定轴转动，CDE平面运

32、动。平面运动。; 0W03CrS03SDr练习练习1 图示桁架各杆长度相等，求图示桁架各杆长度相等，求1，2杆内力。杆内力。ABCDEPABCDEP1S1SCrDrEr 解：解：将将1 杆截开，代之以内力杆截开，代之以内力 ，并视，并视 为主动力。为主动力。11,SS11,SS画系统的虚位移图：画系统的虚位移图：ACD定轴转动，定轴转动，BCE平面运动。平面运动。; 0W030cos30cos11CEDrPrSrSECDrrrPS331ABCDEP2S2SCrEr 将将2 杆截开，代之以内力杆截开，代之以内力 ，并视并视 为主动力。为主动力。22,SS22,SS画系统的虚位移图：画系统的虚位移图：ACDE定轴定轴转动，转动，BC平面运动。平面运动。; 0W02CErPrS,30cos2llrrCECErr3032CCrPrSPS332