2022年高三数学复习圆的方程 .pdf

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1、5圆的方程一、内容归纳1.知识精讲 . 圆的方程(1)标准式： (x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中 r 为圆的半径， (a，b)为圆心。(2)一般式： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) ，其中圆心为(-2D， -2E)，半径为21，FED422(3)直径式： (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点 (x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。 （用向量法证之）（4）半圆方程：dxbxcybaxry222,等(5)圆系方程：i) 过 圆C ： x2+y2+Dx+Ey+F=0和 直 线l ： Ax+By+C=0的 交 点 的 圆

2、的 方 程 为x2+y2+Dx+Ey+F+ (Ax+By+C)=0 ii) 过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( -1)该方程不包括圆C2；（1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6) 圆的参数方程圆心在 (0,0),半径为 r 的圆的参数方程为sincosryrx为参数圆心在 (a,b),半径为 r 的圆的参数方程为sincosrbyrax为参数圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+E

3、y+F=0 的关系；二元二次方程表示圆的充要条件A=C 0，B=0 ，D2+E2-4AF0 。二、问题讨论例 1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆 x2+y2=4 相外切于点P(-1，3)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0 上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1， 3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程。解： (1)设圆心 Q 的坐标为 (a，b) O 与 Q 相外切于 P O、P、Q 共线，且 =QPOQ=-46=-23由定比分点公式求得a=-3，b=33所求圆的方程为(x+3)2+(y-33)2=16 名师资料总结 -

4、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - (2)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22yx=22)1()1(yx即 x+y-1=0 解方程组x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心 C 的坐标为 (4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5 所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 (3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 将 P、Q 点的坐标分别代入，得：4D-2E+F=-20 D-3E-F

5、=10 令 x=0，由得 y2+Ey+F=0 由已知 |y1-y2|=43，其中 y1、y2是方程的两根。(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 、组成的方程组，得D=-2 D= -10 E=0 或E= -8 F= -12 F=4 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10 x-8y+4=0 思维点拔 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例 2、(优化设计P112 例 1)设)0)(0,(),0 ,(ccBcA为两定点，动点P到 A 点的

6、距离与到 B 点的距离的比为定值)0(aa，求 P点的轨迹。解：设动点P 的坐标为（ x，y）. 由aycxycxaaPBPA2222)()()0(|，得. 化简得. 0)1()1()1(2)1 (2222222yaacxacxa当01)1(2,122222ycxaacxa得时，整理得222222)12()11(aacycaax. 当 a=1 时，化简得x=0. 所以当1a时， P 点的轨迹是以)0,11(22caa为圆心，|12|2aac为半径的圆；当 a=1 时，P 点的轨迹为y 轴。【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。例 3、

7、(优化设计P112例 2)一圆与 y 轴相切，圆心在直线03yx上，且直线xy截圆所得的弦长为72，求此圆的方程。解 ： 因 圆 与y轴 相 切 ， 且 圆 心 在 直 线03yx上 ， 故 设 圆 方 程 为2229)()3(bbybx，由于直线xy截圆所得的弦长为72，则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2229)7()23(bbb解得1b，故所求圆方程为9)1()3(22yx或9) 1()3(22yx【评述

8、】求圆的弦长方法（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式4)1(212212xxxxk例 4、已知 O 的半径为 3，直线l与 O 相切，一动圆与l相切，并与 O 相交的公共弦恰为 O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程。解：取过 O 点且与l平行的直线为x 轴，过 O 点且垂直于l的直线为 y 轴，建立直角坐标系。O 与 M 的公共弦为AB， M 与l切于点 C，则MCMAO 的直径，MO 垂直平分 AB 于 O。由勾股定理得922222yxAOMOMA22239yyx即：xy62这就是动圆圆心的轨迹方程【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求

9、方程的形式较“整齐”王新敞备用题：例 5、设定点 M(-3 ，4)，动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动，以OM、ON 为两边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹。解： 本题关键是找出动点P 与定点 M 及已知动点N 之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为 (2x，2y)，线段 MN 的中点坐标为 (230 x，240y)。因为平行四边形对角线互相平分，故2x=230 x，2y=240y从而x0=x+3 y0=y-4 N(x+3 ，y-4)在圆上，故 (x+3)2+(y-4)2=4 y B O M A C x

10、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-59，512)和(-521，528) 思维点拔 ：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。例 6、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0 ，其中 a1，且 aR。(1)求证： a 取不为 1 的实数时，上述圆恒过定点；(2)求与圆相

11、切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程。解：将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0 整理得 x2+y2-4y+2-a（ 2x-2y）=0 令x2+y2-4y+2=0 x-y=0 解之得x=1 y=1 定点为 (1，1) (2)易得已知圆的圆心坐标为（a，2-a） ，半径为2|a-1|。设所求切线方程为y=kx+b ，即 kx-y+b=0 则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即1|)2(|2kbaka=2|a-1|恒成立。整理得 2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。比较系数可得2(1+k2)=(k+1)2-4

12、(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2解之得 k=1，b=0。所以，所求的切线方程是y=x。(3)圆心坐标为 (a，a-2)，又设圆心坐标为(x，y)，则有x=a y=2-a 消去参数得x+y=2 为所求的圆心的轨迹方程。思维点拔 ：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时， 方程表示一个确定的圆，当 a 变动时， 方程表示圆的集合，即圆系。 解本题 (1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解。一般地，过两圆C1：f(x，y)=0 与 C2：g(x，y)=0 的交点的圆系方程为：f(x，y)+g(x，y

13、)=0(为参数 )。三、课堂小结1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求数，一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；二是利用圆的一般方程求出系数D、 E、F 的值。2、已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。3、解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。4、与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法（如直接法、定义法、动点转移法等），有时还需要结合运用其他方法，如交轨法、参数法等。四、 【布置作业】优化设计 P113 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -