2022年高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型 .pdf

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1、知人善教 培养品质 引发成长动力（一）函数的单调性知识梳理1函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x1,x2D, 当 x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则称 f(x)是区间 D 上的增函数 ，D 叫 f(x)单调递增区间当 x1 f(x2)，则称 f(x)是区间 D 上的减函数 ，D 叫 f(x)单调递减区间2函数单调性的判断方法：（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数 ，若图象是下降的，则此函数是 减函数。（2）一般地，设函数)(xfy的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值1x，2x，且21

2、xx，则021xx（ 1）则0-21xfxf1212120fxfxxxxx)(xf即在区间A上是增函数；（ 2）则21xfxf1212120fxfxxxxx)(xf即在区间A上是减函数如果函数)(xfy在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(xfy的单调区间单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设,yfuug xxa bum n若内外两函数的单调性相同，则yfg x在 x 的区间 D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则yfg

3、 x在 x 的区间 D 内单调递减（同增异减）3常见结论若 f(x)为减函数，则 -f(x)为增函数；若 f(x)0 （或 0）且为增函数，则函数)(1xf在其定义域内为减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1）,bkxy（2）xky，（3）cbxaxy2如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x) ，根据图象说出函数的单调区间，

4、以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数y=2x+3 在),(的单调性 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力例、判断函数f（x）xx1在（ 0,1）上的单调性【变式训练1】证明函数12)(xxxf在), 1(上是增函数【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。【题型三、单调性的运用】例、已知2( )(34)21f xkk

5、xk在 R 上是增函数 ,则 k 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力例、函数2)1(2)(2xaxxf在(,4上是减函数 ,则求 a 的取值范围【变式训练2】已知函数2( )22,5,5f xxaxx上是单调函数，a的取值范围是【变式训练3】函数 f（x）是 R 上的减函数 ,求 f（a2a1）与 f（34）的大小关系【题型四、抽象函数的单调性及其应用】例、已知y=f(x

6、)是定义在（ -2，2）上的增函数，若f(m-1)f(1-2m) ，则 m 的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力例、设 f（x）定义在R+上，对于任意a、bR+，有 f（ab） f（a） f（ b）求证：（1）f（ 1） 0；（2）f（1x） f（x） ；（3）若 x（ 1，+）时， f（x） 0，则 f（x）在（ 1，+）上是减函数【题型五、复合函数的单调性】例、求函数

7、32)(2xxxf的单调递减区间。求 f(x)=542xx的单调区间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力课后作业：一、选择题1、函数 f(x)|x|和g(x)x(2 x)的递增区间依次是( ) A(， 0，(， 1 B(， 0，1， ) C0， ) ，(，1 D0， )， 1， ) 2、当1| x时，函数12aaxy的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（）A31aB1aC311-a

8、D311-a3、若函数)(xf在区间（a，b）上为增函数， 在区间（b，c）上也是增函数， 则函数)(xf在区间（a，c） 上（）A. 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D. 无法确定增减性二、填空题4、函数32)(2mxxxf,当),2x时,是增函数 ,当2,(时是减函数 ,则 f(1)=_ 5、已知)(xf在定义域内是减函数，且0)(xf，在其定义域内判断下列函数的单调性：axfy)( a为常数 )是_；)(xfay( a为常数 )是_；)(1xfy是_；|)(|2xfy是_6、函数 f(x) = ax24(a 1)x3 在2， 上递减，则a 的取值范围是_ 7、若函数f(

9、x)2x1，x1，5 x，x1，则 f(x)的递减区间是 _三、解答题8、讨论函数322axxf(x)在(-2,2) 内的单调性。9、设 f(x)是定义在 (0,+ ）上的增函数，f(2)=1，且f(xy)=f(x)+f(y) ，求满足不等式f(x)+f(x- 3) 2 的 x 的取值范围. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力（二）函数的奇偶性知识梳理1、函数奇偶性定义：1、 一般

10、地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为偶函数 .偶函数图象关于y轴对称 .2、 一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为奇函数 . 奇函数图象关于原点对称.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是

11、偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0 或 f(x)=-f(-x) ，则 f(x)是奇函数（2）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称（3）利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数 在对称的单调区间内有相同 的单调性； 偶函数 在对称的单调区间内有相反的单调性4、 （1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此，函数( )yf x是奇函数或

12、是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。（2）若奇函数( )f x在0 x处有定义，则(0)0f。（3）1( )( )()F xf xfx为偶函数，2( )( )()Fxf xfx为奇函数。（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质

13、引发成长动力【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】例、判断下列函数的奇偶性。xxxxf11)1()(, 29)(xxf, 22(0)( )(0)xxxf xxxx2211)(xxxf21( )|2| 2xf xx【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系，牢记好，在定义域内f(x)=f(-x) 则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。【变式训练4】函数1( )(0)f xxxx是( ) A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【变式训练5】若函

14、数2yxbxc是偶函数，则有 ( ) A.,bR cR B. ,0bR c C. 0,0bc D. 0,bcR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力【变式训练6】设函数3( )21f xaxbx，且( 1)3,f则(1)f等于（）A.-3 B.3 C.-5 D. 5 【题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式】例、 （1）已知偶函数( )f x的定义域是),0()0 ,(，当0 x时1)(

15、3xxf，求( )f x的解析式 . （2）已知奇函数( )g x的定义域是R，当0 x时xxxg2)(2，求( )g x的解析式 . 【变式训练7】已知( )f x是定义在 R 上的奇函数，且当0 x时，32)(2xxxf，求( )fx的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】例、设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且 f(x)是奇函数， g

16、(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数【变式训练8】设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF，在R上一定是 ( ) A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数. 【题型四、有关函数奇偶性的综合问题】例 、设 奇函 数( )f x在(0,)上为 增 函数 ，且(1)0f， 则不等 式( )()0f xfxx的 解 集为（）A、(, 1)(1,)B、(, 1)(0,1)C、( 1,0)(1,)D、( 1,0)(0,1)名师资料总结 - -

17、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力例、已知函数2( )f xaxbxc是定义在aa1 ,2上的偶函数，则a，_b例、设函数( )f x对任意, x yR，都有()( )( )f xyf xf y，求证( )f x是奇函数；【变式训练9】设f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c是常数 )且( 7)7f,则 f（7）= 若 y（ m1）x22mx3 是偶函数，则m _名师资料总结 - - -精品资料

18、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力已知函数f(x)222 ,0,0,0,0 xx xxxmx x是奇函数求实数m 的值；(三)函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(xT) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正

19、周期例、设( )f x是(,)上的奇函数，(2)( )fxf x，当0,1x时，( )f xx，求(7.5)f的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力例、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则() Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11

20、) 【变式训练】设f(x)是( ， ) 上的奇函数，f(x2) f(x)，当 0 x1时， f(x)x. (1)求 f( )的值；(2)当 4 x4时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积；(3)写出 ( ， ) 内函数 f(x)的单调区间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力课后作业1函数 f(x)=4x2mx5 在区间 2， 上是增函数，在区间(， 2)上是减函数，则f(

21、1)等于（）A 7 B1 C17 D25 2已知函数f(x)在区间 a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程 f(x)=0 在区间 a，b内（）A至少有一实根B至多有一实根C没有实根D必有唯一的实根3已知函数f(x)=82xx2，如果 g(x)=f( 2x2 )，那么函数g(x) （）A在区间 (1，0)上是减函数B在区间 (0，1)上是减函数C在区间 (2，0)上是增函数 D在区间 (0，2)上是增函数4. 若函数yf xxR( )()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yfx( )图象上的是（）A( )af a，B( )af a，C()afa，D()afa，5下列函数中为偶函数的是（）

22、AxyBxyC2xyD13xy6. 已知函数)(1222)(Rxaaxfxx是奇函数，则a的值为（）A1B2C1D2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力7. 设偶函数)(xf的定义域为R，当,0 x时，)(xf是增函数，则),2(f)(f，)3(f的大小关系是（）A )2()3()(fffB )3()2()(fffC )2()3()(fffD )3()2()(fff8若函数)(xf

23、y是奇函数，3)1(f，则)1(f的值为 _ . 9已知分段函数)(xf是奇函数，当),0 x时的解析式为2xy，则这个函数在区间)0,(上的解析式为10. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)35( )f xxxx；(2) 2( ),( 1,3)f xxx；(3)2)(xxf；(4) 25)(xxf；(5) )1)(1()(xxxf. 11. 已知函数f(x)x2ax(x 0) (1)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若 f(1)2，试判断 f(x)在2， ) 上的单调性12. 已知定义在R 上的函数 yf(x)满足条件f x32 f(x)，且函数yfx34为奇函数，给出以下四个命题：

24、函数 f(x)是周期函数；函数 f(x)的图象关于点34，0 对称；函数 f(x)为 R 上的偶函数；函数 f(x)为 R 上的单调函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力其中真命题的序号为_变式训练答案：1、2、3、4、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力5、6、7、8、9、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知人善教 培养品质 引发成长动力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -