2022年高一数学典型例题分析：函数的单调性 .pdf

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1、- 1 - 231 函数的单调性例题解析【例 1】求下列函数的增区间与减区间(1)y|x22x3| (2)y(3)yxxxxx2221123|解(1)令 f(x)x22x3(x1)24先作出 f(x)的图像，保留其在x 轴及 x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y|x22x3| 的图像，如图231 所示由图像易得：递增区间是 3，1，1， ) 递减区间是 (， 3，1，1 (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间解当 x10 且 x11 时，得 x1 且 x2，则函数y x当 x10 且 x11 时，得 x1且 x0 时，则函数yx2增区间是 (， 0)和(

2、0，1) 减区间是 1，2)和(2， ) (3)解：由 x22x30，得 3x1令 u g(x)x22x3 (x1)24 在 x3，1上是在 x1，1上是而 在 上是增函数yu0u函数 y 的增区间是 3，1，减区间是 1，1【例 2】函数 f(x)ax2(3a1)xa2在1， 上是增函数，求实数a 的取值范围解当 a0 时，f(x)x 在区间 1， )上是增函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 2 - 当 时

3、，对称轴，若 时，由 ，得 a0 xa0a0 3a10a131212aaa若 a0 时，无解a 的取值范围是0a1【例 3】已知二次函数yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为x3 的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与 f(4) (2)f(2)f(15)与解(1)yf(x)的图像开口向下，且对称轴是x3， x3 时， f(x)为减函数，又 643， f(6)f(4) (2)x3f(2)f(4)34f(x)x3对称轴 ，而，函数在 15时为减函数，即f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数在区间 ，上的单调性f(x)(a0)(11)axx21解任取两个值x1、x2(1，1)

4、，且 x1x2 ， ， ， ， f(x )f(x )1xx1x x10 xx0 x10 x10012121221a x xxxxxx xxxxx()()()()()()()()12211222121212211222111111当 a0 时， f(x)在(1，1)上是减函数当 a0 时， f(x)在(1，1)上是增函数【例 5】 利用函数单调性定义证明函数f(x) x31 在(， )上是减函数证取任意两个值x1，x2(， )且 x1x2这里有三种证法：当 时，当 时，f(x )f(x )(xx )(xx xx )()x x0 xx xx(xx )x x0 x x0 xx xx021122212

5、12121212221221212121222证法一又 x1x20， f(x2)f(x1) 故 f(x)在(， )上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3 - 证法 二()xx xx(xx )xxxx0 xx0 x0 x0 xxxx xx012122212222122122112121222，这里与不会同时为，否则若 且 ，则 这与矛盾， 12341212得 f(x)在(， )上是减函数证法三()txx

6、xxx4x3x00 x0 x0tx03x0t0 xx xx0f(x)f(x )f(x)(22121212121212221222121221令 ，其判别式 ，若时，则 ，那么 ， ，若 ，则 ，即 ，从而，在 ， 上是减函数)【例6】 讨论函数 的单调性，并画出它的大致图像f(x)x1x解定义域为 (， 0)(0， )，任取定义域内两个值x1、x2，且 x1x2，又 ，f(x )f(x )(xx )xxxx012121112xx221当 0 x1x21 或 1x1x20 时，有 x1x210，x1x20，f(x1)f(x2) f(x)在(0，1，1，0)上为减函数当 1x1x2或 x1x2 1

7、时，有 x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)， f(x)在(， 1，1， )上为增函数根据上面讨论的单调区间的结果，又 x0 时， f(x)minf(1)2， 当 x0 时， f(x)maxf(1) 2由上述的单调区间及最值可大致画出 的图像如图 yx2321x说明1要掌握利用单调性比较两个数的大小2注意对参数的讨论(如例 4)3在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等(如例5) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 4 - 4例 6 是分层讨论，要逐步培养名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -