2022年高一数学典型例题分析：函数的应用举例 .pdf

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1、http:/ http:/ 函数的应用举例例题解析1几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、 立体几何及解析析几何)问题， 这是常常出现的数学本身的综合运用问题【例 1】如图 2 91，一动点P自边长为 1 的正方形ABCD的顶点 A 出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A 点若点 P的路程为x，点 P到顶点 A 的距离为y，求 A、P两点间的距离y 与点 P的路程 x 之间的函数关系式解(1)当点 P在 AB 上，即 0 x1 时， APx，也就是yx(2)当点 P 在 BC边上，即1x 2 时， AB=1，ABBPx，BPx1，根据勾股定理，得AP2AB2BP2y = AP =1 + (

2、x1)2xx222(3)当点 P在 DC边上， 即 2 x3时， AD1， DP3x 根据勾股定理， 得 AP2=AD2DP2 y = AP =1 + (3x)2xx2610(4)当点 P 在 AD 边上，即 3x4 时，有 y=AP4x所求的函数关系式为2行程问题类【例 2】已知， A、B 两地相距 150 公里，某人开汽车以60 公里 /小时的速度从 A地到达 B 地，在 B 地停留一小时后再以50 公里 /小时的速度返回A 地，求汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间t 的函数解根据题意：(1)汽车由 A 到 B 行驶 t 小时所走的距离x=60t，(0t2.5) (2)汽车在 B 地停

3、留 1 小时，则 B 地到 A 地的距离x150(2.5x3.5) (3)由 B 地返回 A 地，则 B 地到 A 地的距离 x=15050(t3.5)32550t(3.5 x6.5) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - http:/ http:/ 总 之 x =60t(0t2.5)150(2.5t3.5)32550t(3.5t6.5)3工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理

4、布局、计算的一类问题【例 3】要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图 292 所示 )，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗 框 总 长，l =x2x2yy =2(2 +)x4S =xxy =x2(2 +)x4x=22llll8848242 422()()x当时 ，此 时 ，x =24 +S=y =4 +max2lll2 42()x答窗 户 中 的 矩 形 高 为， 且 半 径 等 于 矩 形 的 高 时 ， 窗 户 的 透 光l4面积最大说明应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，

5、建立目标函数【例 4】要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156 米，弧所对的圆心角小于180，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - http:/ http:/ 解设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)在 RtBOD 中，DB78，OD=B x (Rx)2782=R2解 得 R =x260842x由题意知R600 xx26084260

6、0得 x21200 x60840(x0)，解得 x 5.1 或 x1194.9(舍) 圆弧弓形高的允许值范围是(0， 5.14营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)，确定销售价格考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价进货价【例 5】将进货价为8 元的商品按每件10 元售出，每天可销售200 件，若每件售价涨价0.5 元，其销售量就减少10 件问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润解设每件售价提高x 元，则每件得利润(2x)元，每天销售量变为(20020 x)件，所获利润y=(2x)(200 20 x)

7、=20(x 4)2720 当 x=4 时，即售价定为14 元时，每天可获最大利润为720 元5单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算设本金为P 元，每期利率为r，经过 n 期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1nR)【例 6】某人于 1996 年 6 月 15 日存入银行1000 元整存整取定期一年储蓄，月息为 9?，求到期的本利和为多少？解这里 P=1000元，r=9?， n 12， 由公式得 S12P(112r)1000(10.00912)=1108 元答本利和为1108 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

8、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - http:/ http:/ 6复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为 x，则复利函数式为 y=P(1r)x【例 7】某企业计划发行企业债券，每张债券现值500 元，按年利率6.5的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1000 元？ (参考 lg2=0.3010，lg1.0650.0274)解设 n 年后每张债券一次偿还本利和1000 元，由 1000=500(16.5)n，解

9、得n=lg2/lg1.065 11答11 年后每张债券应一次偿还本利和1000 元7函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解【例 8】某工厂今年1 月、2 月、3 月生产某产品分别为1 万件、 1.2 万件、 1.3万件 为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abxc(其中 a、b、c 为常数 )，已知 4 月份该产品的产量为1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由解

10、设二次函数y1f(x)=px2qxx(p0) 则f(1) = pqr = 1f(2) = 4p2qr = 1.2f(3) = 9p3qr = 1.3P =0.05q = 0.35r = 0.7y1=f(x)=0.05x20.35x 0.7 f(4)=0.05160.35 40.7=1.3 又 y=abxc 得abc = 1abc = 1.2abc = 1.3a =0.8b =12c = 1.423名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - -

11、- - - - http:/ http:/ 当时 ，经 比 较 可 知 ： 用作 模 拟 函 数 较 好 y =0.8(12)1.4x = 4y =0.8(12)1.4 = 1.35y =0.8(12)1.4x4x【例 9】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万 元， 它 们 与 投 入 资 金万 元的 关 系 是， 今PQ ()x()P =x4Q34x投入 3 万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解设投入甲产品资金为x 万元，投入乙产品资金为(3x)万元，总利润为y 万元y = PQ =14x(0 x3)t =3

12、xx = 3t (0t)y =14(3t )t=1422令则 ， 3433343221162xt()当时 ，此 时 ，t =32y=2116x = 3t=34max2答对甲、乙产品分别投资为0.75 万元和 2.25 万元，获最大利润为2116万 元 8增长率 (或降低率 )问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题【例 10】某工厂 1988 年生产某种产品2 万件，计划从1989 年开始，每年的产量比上一年增长20，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12 万元(已知 lg20.3010，lg3 0.4771) 解设过 x 年后，产量超过12 万件则有

13、2(120)x12 解得 x9.84 答从 1998 年开始年产量可超过12 万件9相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题【例 11】在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到 a1，a2，, ， an，共 n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - http:/ http:/ 是这样一个量： 与其它近似值比较，a

14、 与各数据差的平方和最小，依此规定， 求从 a1，a2，, ，an推出的 a 值解a 应满足： y=(a a1)2(aa2)2, (aan)2 , ,na2(aaa)aaaa212n1222n2此式表示以a 为自变量的二次函数，n0 当时 ，有 最 小 值 此 时a =2(a+ a +a)2n=aya =a12n11aanaannn2210决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题【例 12】某厂在甲、 乙两地的两个分厂各生产某种机器12 台和 6 台，现销售给 A地 10 台， B 地 8 台，已知从甲地调运一台至A 地、B

15、 地的运费分别为400 元和800 元，从乙地调运一台至A 地、 B 地的运费分别为300 元和 500 元(1)设从乙要调x 台至 A 地，求总运费y 关于 x 轴的函数关系式(2)若总运费不超过9000 元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费解(1)y=300 x500(6x)400(10 x) 80012(10 x)=200(x43)(0 x6，xN) (2)当 x=0，1，2 时， y9000，故共有三种方案，总运费不超过9000 元(3)在(1)中，当 x 0 时，总运费最低，调运方案为：乙地6 台全调 B 地，甲地调2 台至 B 地， 10 台至 A 地，这时，总运费y8600 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -