2022年高一数学解题思想方法 .pdf
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1、高中数学解题思想方法高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等; 常用数学思想: 函数与方程思想、 数形结合思想、 分类讨论思想、 转化(化归)思想等。一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方 )的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、 “配”与“凑”的技巧 ,从而完成配方。有时也将其
2、称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a b)2a22abb2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2b2(ab)22ab(ab)22ab;a2abb2(a b)2ab(ab)23ab(a b2)2(32b)2;a2b2c2abbcca12(a b)2(b c)2(c a)2 例题 1: 函数 y)352(log221xx的单调递增区间是(). A. ( , 45 B. 45
3、,+ ) C. (21,45 D. 45,3) 二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元 ,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元的方法有: 局部换元、三角换元、均值换元等。 局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4x2x20,先变形为设 2xt (t0) ,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题
4、。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 均值换元,如遇到xyS形式时,设 xS2t ,yS2t 等等。我们使用换元法时, 要遵循有利于运算、 有利于标准化的原则, 换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。例题 2: 设 f(x21) )4(log4xa(a1) , 则 f(x) 的值域是 _ 。例题 3:方程33131xx的解是 _ 。例题 4: 不等式 log2(2
5、x1) log2(2x 12) 2 的解集是 _ 。三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等, 也就是利用了多项式 f(x)g(x) 的充要条件是:对于一个任意的a 值,都有 f(a)g(a) ;或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。 使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数, 转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有, 就可以用待定系数法求解
6、。 例如分解因式、拆分分式、求函数式等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法,它解题的基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:利用对应系数相等列方程;由恒等的概念用数值代入法列方程;利用定义本身的属性列方程;利用几何条件列方程。例题 5:二次不等式 ax2bx20的解集是)31,21(,则 ab 的值是 _。四、定义法所谓定义法,就是 直接用数学定义解题 。数学中的定理、公式、性质和
7、法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。(可能是选择题最后两题出现,所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 以要根据题目给的定义为突破口)例题 6:. 已知集合 A中有两个元
8、素,集合B中有 7 个元素, AB的元素个数为n,则_。A. 2 n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n7 五、反证法反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立, 所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的, 这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛
9、盾的判断不能同时都假,反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定” 。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是 “否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是: 否定结论 推导出矛盾 结论成立 。实施的具体步骤是:第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时, 如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”
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