2022年高中数学值域的种求法 .pdf

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1、一观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例 1 求函数 y=3+ (2 3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(2 3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(2 3x) 0，故 3+ (2 3x) 3 。函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性， （2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=x(0 x 5)的值域。（答案：值域为： 0，1，2，3，4，5 ）二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例

2、 2 求函数 y=(x+1)/(x+2) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2) 的反函数为 :x=(1 2y)/（y1）,其定义域为y1的实数 ,故函数 y 的值域为 yy1,y R 。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数 y=(10 x+10-x)/(10 x 10-x)的值域。 （答案： 函数的值域为 yy1 ）三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例 3：求函数y=( x2+x+2) 的值域。点拨：

3、将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由 x2+x+2 0, 可知函数的定义域为x 1，2。此时 x2+x+2= （ x1/2）29/40，9/4 0 x2+x+2 3/2, 函数的值域是0,3/2 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x5 15 4x 的值域 .(答案 :值域为 y y 3)四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例 4 求函数 y=(2x2 2x+3)/(x2 x+1) 的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，

4、应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （）当 y2 时,由 =(y 2)24（y2）x+(y 3) 0，解得： 2 x 10/3当 y=2 时,方程 ()无解。函数的值域为2y 10/3 。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0 ，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f) 及 y=ax+b(cx2+dx+e) 的函数。练习：求函数y=1/(2x2 3x+1)的值域。（答案：值域为y 8 或 y0） 。五最值法对于闭区间 a,b上的连续函数y=f(x),

5、 可求出 y=f(x) 在区间 a,b内的极值 ,并与边界值f(a).f(b)作比较 ,求出函数的最值,可得到函数y 的值域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 5 已知 (2x2-x-3)/(3x2+x+1) 0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解： 3x2+x+1 0， 上述分式不等式与不等式2x2-x-

6、30 同解，解之得 1 x 3/2， 又 x+y=1 ，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(- 1x3/2),z=-(x-2)2+4 且 x-1,3/2, 函数 z 在区间 -1,3/2 上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时， z= 5；当 x=3/2 时， z=15/4。函数 z 的值域为 z 5 z 15/4 。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若 x 为实数，则函数y=x2+3x-5 的值域为（）A （ ， ）B7， C0， ）D5， ）（答案： D） 。六图象法通过观察函数的

7、图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例 6 求函数 y= x+1+ (x -2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为2x+1 (x 1)y= 3 (- 12) 它的图象如图所示。显然函数值y 3, 所以，函数值域3， 。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x 1 -3x(x 1/3) 的值域。点拨：由已知的函数是复

8、合函数，即g(x)= 1 -3x,y=f(x)+g(x) ，其定义域为x 1/3 ，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设 f(x)=4x,g(x)= 1 -3x ,(x 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x1 -3x 在定义域为x1/3 上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函数值域为y|y 4/3 。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4 -x 的值域。 (答案： y|y 3

9、) 八换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例 2 求函数 y=x- 3+ 2x+1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解：设 t= 2x+1 （ t 0）,则x=1/2(t2-1) 。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2- 4 1/2 -4=-7/2.

10、 所以，原函数的值域为y|y 7/2 。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x 的值域。（答案： y|y 3/4九构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 3 求函数 y= x2+4x+5+ x2-4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)= (x+2)2+1+ (2-x)2+22 作一个长为4、宽为 3 的矩形 ABCD ，再切割成12 个单位正方形。设HK=x, 则 ek=2-

11、x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 , KC= (x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5 。当 A、K、C 三点共线时取等号。原函数的知域为y|y 5 。点评：对于形如函数y= x2+a (c-x)2+b(a,b,c 均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y= x2+9 + (5-x)2+4 的值域。（答案：y|y 52 ）十比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例 4 已知 x,y R，且 3x-4y-5=0, 求函数 z=x2+y2 的

12、值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得， (x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数 ) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k=3/5 时， x=3/5,y= 4/5 时， zmin=1 。函数的值域为z|z 1. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知x,yR，且满足4x-y=0, 求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。

13、（答案：f(x,y)|f(x,y)1 ）十一利用多项式的除法例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1) 的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解： y=(3x+2)/(x+1)=3 1/(x+1)。1/(x+1)0，故 y3 。函数 y 的值域为y3 的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d) 的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x- 1)(x 1)的值域。（答案： y2 ）十二不等式法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 6 求函数 Y=3x/(3x+1) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知x/(1-x) 0 1-x0解得， 0 x1 或 y0）注意变量哦名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -