2022年高中数学函数解题技巧方法总结学生版 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载高中数学函数知识点总结一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三、. 如何求复合函数的定义域？的定，

2、则函数，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf义域是 _ 。复合函数定义域的求法： 已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法

3、进行化简，不必拘泥在判别式上面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数

4、的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=

5、x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y ）在圆 x2+y2=1上，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径

6、) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。例求函数 y=1362xx+ 542xx的值域9 、不等式法利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x (3-2x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx (3-2x) (应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc10. 倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函

7、数 y=32xx的值域332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2320121112202222012时，时， =00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法

8、，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2) 参照图象：若函数 f(x) 的图象关于点 (a， b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a， 0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性

9、质：函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 )是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x) ， f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如果负值函数 f1(2) 与 f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x) 和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x) 与1( )fx在 f(x) 的同号区间里反向变化。若函数 u(x) ，x ， 与函数 yF(u) ，u

10、 ( ) ，( ) 或 u ( ), () 同向变化，则在 ， 上复合函数 yF (x) 是递增的；若函数u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ) ，( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数 yF(x) 是递减的。 （同增异减）如：求的单调区间yxxlog1222f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14

11、 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载六、. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x( )( )0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx( )0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013( )值是（）七、 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x) 定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( )注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两

12、个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( )2221又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx( )()()( )1101241求在，上的解析式。f x( )11八. 判断函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 2、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 名师资料总结 -

13、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)3、复合函数奇偶性九、. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数， T是一个周期。）如：若，则f xaf x( )我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)

14、+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t. 推导：()()0()(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子： f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思： 函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如， f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf b

15、xf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值十. 你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(x,-y) f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非偶奇偶奇偶非 奇 非偶奇偶偶偶偶偶名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

16、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1联想点（ x,y ）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2联想点（ x,y ）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y ）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()

17、()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00注意如下“翻折”变换：( )|( ) |x( )(|)yf xf xf xfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面如： f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x O 1 x 十一、 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0) y=b O (a,b)O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 ) （）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30

18、244222yaxbxc aa xbaacba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxabcxxxxxxaaa根的关系：2212121212( )()( )()(mn( )()()(,2( )()()(, )(, )f xaxbxcf xa xmnf x

19、a xxxxxxf xa xxxxhx hx h二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（， ）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m ，n上的最值。2max(),min( )2max( ),min()2224min,maxmax(),( )4m,n0bnff mff nabmff nff mabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比

20、较和对称轴的关系， 距离越远，值越大( 只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载y O x kky (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )00mn22()0( )0mn()( )0bmnaf mf nf m f n在区间（， ）内有

21、 根在区间（， ）内有 1根（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a0 且 a1）-f （xy）f （x）f （y） ；f （yx） f （x）f （y）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5.三角函数型的抽象函数f （x）t gx-f （xy）)()(1)()(yfxfy

22、fxff （x）cot x-f （xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）f （x）f （y） ，且当 x0时，f ( x)0，f (1) 2 求 f ( x)在区间 2,1 上的值域 . 分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（注意到f （x2）f （x2x1）x1 f （x2x1）f（x1） ） ；再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f（x）f（y） ，且当 x0 时，f ( x)2，f (3) 5 ，求不等式f （a22a2）0,xN；f（ab） f （a）f （

23、b） ，a、bN；f （2）4. 同时成立？若存在，求出f （x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出 f （x）2x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y） ，f（3）1，求：（1）f （1） ；（2）若 f （x）f （x8）2，求 x 的取值范围 . 分析： （1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（x）. 如果 f （ab）f （a）f （b） ，那么 g（ab）g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f （a）m ，f （b）n，则

24、g（m ）a，g（n）b，进而 m nf （a）f （b） f （ab）f g（m ）g（n） . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 8 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f （x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f （a） 1（a0，a 是定义域中的一个数）；当 0 x2a 时，f （x）0. 试问：（1）f （

25、x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上， f （x）的单调性如何？说明理由. 分析： （1）利用 f （x1x2） f （x1x2） ，判定 f （x）是奇函数；（3）先证明 f （x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f （x） （x0）满足 f （xy）f （x）f （y） ，（1）求证：f （1）f （1）

26、0；（2）求证：f （x）为偶函数；（3）若f（x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x21）0. 分析：函数模型为： f （x）lo ga| x| （a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f （x）为偶函数，则 f （x）f （| x| ）. 例 10 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满足 f （0）0，f （xy）f （x） f （y） ，且当 x0时，f （x）1，求证：（1）当 x0 时，0f （x）1；（2）f （x）在 xR上是减函数 . 分析： （1）先令xy0 得f（0）1，再令yx；（3）受指数函数单调性的启发：由 f （xy

27、）f （x）f （y）可得 f （xy）)()(yfxf，进而由x1x2，有)()(21xfxff（x1x2）1. 练习题：1. 已知： f （xy）f （x）f （y）对任意实数 x、y 都成立，则（）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f （0）0 或 1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数 x、y 总有 f （xy）f （x）f （y） ，则下列各式中错误的是（）（A）f （1）0 （B）f （x1） f （x）（C）f（yx）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x） （nN）3. 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f （xy）f （x）f（y） ，且当

28、x0 时，f（x）1，则当 x0 时，f （x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（C） （0，1）（D ） （1，）4. 函数 f （x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f （x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f （x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非

29、奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数f （x）对任意实数 x、y 满足 f （xy）f （xy）2 f（x）f（y） ，则函数 f （x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数函数典型考题1.若函数)127()2() 1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 42已知函数( )f x是定义域在R上的偶函数，且在区间(, 0)上单调递减，求满足22(23)(45)fxxfxx的x的集合3.若 f(x)是偶函数，它在0,上是减函数 ,且 f（lgx） f(1),则 x 的取值范围是（）A. (110，1) B

30、. (0，110)(1，) C. (110，10) D. (0，1)(10，) 4.若 a、b 是任意实数，且ab,则（）A. a2b2B. ab0 D.12a12b5. 设 a,b,c都是正数，且346abc，则下列正确的是（）(A) 111cab (B) 221Cab (C) 122Cab (D) 212cab6对于函数21fxaxbxb（0a） （）当1,2ab时，求函数( )f x的零点；（）若对任意实数b，函数( )f x恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围6.二次函数2yaxbxc中，0a c，则函数的零点个数是（）A 0 个B 1 个C 2 个D 无法确定8若函数baxxxf2

31、的两个零点是2 和 3,则函数12axbxxg的零点是（）A1和2B1和2C21和31D21和31名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载9下面四个结论：偶函数的图象一定与y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是( )f x0（xR），其中正确命题的个数是（）A 4B 3 C 2 D 1 10.已知函数f(x2-3)=lg622xx, (1)f(x) 的定义域；(2)判断 f(x) 的奇偶性；(3)求 f(x)的反函数 ; (4)若 f)(x=lgx, 求)3(的值。11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）（A）y=2xxee（ B） y=lgxx11（C）y=-x3 （D）y=x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -