2022年高三数学单元测试题：函数的单调性 .pdf

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1、- 1 - 高三数学单元测试题：函数的单调性（满分 100 分，考试时间90 分钟）一、选择题（每小题6 分，共 42 分）1. 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A.y=-x+1 B.y=xC.y=x2-4x+5 D.y=x2答案： B 解析： A、C、D 函数在（ 0，2）均为减函数. 2. 设函数 f(x)在(- ,+ ) 上是减函数，则下列不等式正确的是（）A.f(2a)f(a) B.f(a2)f(a) C.f(a2+a)f(a) D.f(a2+1)0， a2+1a. 又 f(x) 在 R上递减，故f(a2+1)21 B.k-21 D.k-21答案： D 解析： 2k+10

2、k-21. 4. 函数 f(x)=21xax在区间（ -2，+）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（）A.0a21 B.a21C.a21 D.a-2 答案： C 解析： f(x)=a+221xa在(-2,+ ) 递增， 1-2a21. 5.(2010四川成都一模，4) 已知 f(x) 是 R 上的增函数，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，则 F（x）是 R 上的（）A.增函数 B.减函数C.先减后增的函数 D.先增后减的函数答案： B 解析：取f(x)=x,则 F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数，选B. 6. 已知 f(x)是定义在 (- ,+ ) 上的奇函数，且f(x

3、)在 0，+）上是减函数，则下列关系式中正确的是（）A.f(5)f(-5) B.f(4)f(3) C.f(-2)f(2) D.f(-8)f(8) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 2 - 答案： C 解析： f(x) 为奇函数 , f(0)=0,f(2)0,即 f(-2)f(2). 7.(2010全国大联考，5) 下列函数：（1）y=x2;(2)y=21x;(3)y=2x;(4)y=log2x. 其中不是偶函数

4、且在区间（0，+）上也不是减函数的有（）A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个答案： D 解析： （1）是偶函数， （2） （3） （4）都不是偶函数且在（0，+）上递增，故满足条件. 二、填空题（每小题5 分，共 15 分）8. 函数 y=542)21(xx的递减区间是_. 答案： 2，+解析： y=(21)t单调递减， t=x2-4x+5 在 2，+ ) 上递增，递减区间为2，+). 9. 若函 数f(x)是定 义在 （ 0， +） 上的 增函 数， 则不 等式f(x)f(8x-16)的 解集为_. 答案： （2，716）解析：,168.7162,0168,0 xxxxx10. 已知函数

5、 f(x) 满足：对任意实数 x1,x2, 当 x1f(x2), 且 f(x1+x2)=f(x1)f(x2),则 f(x)=_(请写出一个满足这些条件的函数即可). 答案： ax(0a0). (1) 求函数在（ 0， +）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x) 在 a-2,+ 上递增，求a 的取值范围 . 解析： （1）f(x) 在 (0,+ ) 上的增区间为a,+ ，减区间为（ 0，a）. 证明： f (x)=1-2xa, 当 xa,+ 时，f (x)0,当 x（ 0，a）时， f (x)0. 即 f(x) 在a+上单调递增，在（0，a）上单调递减 . （或者用定义证）（2）a-2,+

6、 为 a， + 的子区间，所以 a-2 aa-a-2 0(a+1)( a-2)0a-2 0a4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3 - 12.(2010湖北黄冈中学模拟，19) 已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：对于任意的x 0，1 ，总有 f(x)0; f(1)=1; 若 x10,x20,x1+x21, 则有 f(x1+x2) f(x1)+f(x2). (1) 求 f(0) 的值；（2）求 f(x

7、)的最大值 . 解析： (1) 对于条件，令x1=x2=0 得 f(0) 0，又由条件知f(0) 0，故 f(0)=0. (2) 设 0 x1b0) 上是减函数且f(-b)0,判断 F （x） = f(x)2在 b,a 上的单调性并证明你的结论. 解析：设bx1-x2-a. f(x)在 -a,-b上是减函数, 0f(-b) f(-x1)f(-x2) f(-a),f(x)是奇函数 , 0-f(x1)-f(x2) ，则 f(x2)f(x1)0, f(x1)2f(x2) 2,即 F(x1)F(x2). F(x) 在 b,a 上为增函数. 14. 已知函数f(x)=(mx-1)2+(xn-1)2的定义

8、域为m,n) 且 1mn 2. (1) 讨论函数f(x) 的单调性；（2）证明：对任意x1、x2 m,n,|f(x1)-f(x2)|1恒成立 . （1）解析：解法一：f(x)=(mx-1)2+(xn-1)2=xnmxxnmx222222+2, f (x)=32232222222xmxnmxnmx(x4-m2n2-mx3+m2nx)=322xm(x2-mx+mn)(x+mn) (x-mn). 1m x0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+mn0. 令 f (x)=0, 得 x=mn，当 x m,mn时， f (x)0. f(x)在 m,mn内为减函数，在mn，n）为内增函数. 解法二：

9、由题设可得f(x)= （xnmx-1）2-mn2+1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 4 - 令 t=xnmx. 1m2. 令 t =21xnm=0, 得 x=mn. 当 x m,mn,t 0. t=xnmx在 m,mn内是减函数，在mn，n内是增函数 . 函数y=(t-1)2-mn2+1 在 1，+上是增函数，函数 f(x) 在 m, mn内是减函数，在mn，n内是增函数. （2）证明：由（1）可知， f

10、(x)在 m,n上的最小值为f(mn)=2(mn-1)2,最大值为f(m)=(mn-1)2. 对任意x1、x2 m,n,|f(x1)-f(x2)| (mn-1)2-2(mn-1)2=(mn)2-4 mn+4mn-1. 令u=mn,h(u)=u4-4u2+4u-1. 1mn2,1mn2,即10, h(u) 在(1,2 )上是增函数 . h(u) h(2 )=4-8+42 -1=42 -51. 不等式 |f(x1)-f(x2)|1恒成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -