2022年高一第一学期知识点梳理 .pdf

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1、第一章集合与命题一、集合1、集合的概念及表示法集合元素的三条特性：确定性，无序性，互异性 。【例一】1、已知集合22,1Aa a，求实数a的取值范围。2、已知集合22,3,42Aaa，20,7,42,2Baaa ，且7A，求集合 B。元素与集合的 从属关系 ，常见数集的表示。 注意空集“”集合的常用表示方法：列举法，描述法，图示法，区间表示（限数集）。注意描述法的表达格式以及代表元的表征模式。集合的分类：点集a 、数集 (), a b2、集合的关系子集、真子集、集合相等的概念及其判别，集合与集合的（真）包含关系 。注意空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。【例二】1、若6Mm m

2、，23a，23b则a、 b 与M的关系分别是什么？2、已知集合260Ax xx，集合10,By ayaR ，且 BA，求实数a的值所形成的集合。3、已知集合,2Aaadad ，2,Ba a q a q，其中,a dqR，若AB ，求 q的值。4、已 知集 合24,AxxxR ，集 合22320,Bx xaxaxR 。 若BA，求实数a的取值范围。（真）子集个数问题：n 元集合的子集个数为 2n，真子集及非空子集个数为21n，非空真子集个数为22nM 是 m 元集合， N 是 n 元集合，（mn）则满足下列条件的集合X 个数为：(1)MXN ： 2nm；(2) MXN ： 21nm(3)MXN

3、： 21nm；(4) MXN ：22n m3、集合的运算非连续数集题型：【例三】1、已知集合2( , )1,Ax y yxxR ，2( , )21,Bx y yxxR ，求 AB. 注意点集求交：联立求交点2、已知全集 |9Ux x是不超过的自然数，=3,6,8UABe，=2,5,9UABe，()1,7UABe，则 A=_， B =_. 利用文氏图求解3、 已知2,21,1Mxxx，21,-3,1Nxx， 且0,3MN， 则 x=_。不仅要检验是否满足互异性，还要验证已知条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

4、心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4、设2|(23)30,Ax xaxaaR，22|(3)30,Bx xaxaaaR，若 AB， AB，试用列举法表示AB. 由 AB， AB得出两个方程有且仅有一个公共根连续数集的题型： 利用数轴利用等价关系将集合运算问题转化为集合包含关系的讨论：ABABBABA；UUUUABABABAABB痧痧；UUUUABRBAABBABA痧痧. 【例四】1、已知集合21,Ay yxxR ，2|21,By yxxR ，求 AB2、 已知集合1Ux x， 集合24Ayy， 集合15Bzz， 求UC AB，UC B

5、A。3、已知22,Ax xxx xR，,11xxBxxxxR，20Cx axxb，若ABC，ABCR，试求a、b的值4、设2|40Ax xx,22|2(1)10Bx xaxa,若 ABB，求a的值5、已知关于x的不等式组22540(2)20 xxxmxm的解集为，则实数m的取值范围为_.6、设2|32 -,Ax yx xxR ，|-5Bx xk ，若UABBe，求实数k的取值范围 . 7、设2|20Ax xx，|-3Bx x k，若 ABR，求实数 k 的取值范围 . 二、四种命题形式1、命题与推出关系命题真假的判断，推出关系的传递性2、四种命题形式与等价命题四种命题形式， 否命题与命题的否定

6、形式的区别，等价命题， 逆否命题的等价性常用逻辑判断词的否定形式：原式否定式原式否定式是不是= 任意存在/全/都没有一个不不全/都至少一个不名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 全/都不没有一个是至多 0 个至少一个不包含于= 或不真包含于至多 n 个至少 n+1 个&or一定不可能or&【例五】1、已知命题 p 的逆命题为 “ 若实数 a、b 满足 a=1 且 b=2，则 a+b0ab且” ；C “00ab且” ；D

7、 “ a110110bab且”5、若111222,a b c abc均为非负实数，不等式21110a xb xc与22220a xb xc的解集分别为M、N，则“111222abcabc”是“ MN ”的( )条件. (A)充分非必要；(B)必要非充分；(C)充要；(D)既非充分又非必要 . 6、设)0(0:aax，ax210:，若是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是. 7、 “不等式22(2)0(0)axab xbb成立”的充分条件是“2x或3x” ，则实数a、 b 的取值范围分别是. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

8、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第二章不等式1、不等式的基本性质1）传递性质：ba，cacb；2）加法性质：cbcaba；3）乘法性质：cbcacba0,；4）倒数性质：1100abab；1100abab5）同向加法：dbcadcba,；6）同向乘法：bdacdcba0,0；7）乘方性质：nnbaNnba*,0；8）开方性质：nnbaNnba*,0. 减法与除法都应先转化为加法和乘法，再进行进一步运算，同时应关注到性质试使用的前提。【例一】1、若,x yR，则下列命题中正确的是（）A 若22xy，则11;xyB

9、若33xy，则11;xyC 若22xy且0 xy，则11;xyD 若33xy且0 xy，则11.xy2、已知三个不等式：10ab、2cdab、3 bcad，以其中的两个不等式作为条件，另一个作为结论，则能得到的真命题的个数是. 3、若23ab， 20c，求()c ab的取值范围 . 4、若,a bR，求不等式1bax的解集 . 作差比较法的基本步骤：1作差 2. 变形 3. 定号 4. 结论注意：必须指出等号成立条件. 【例二】1、已知0ab，0m，则下列不等式中恒成立的是（）;bbmAaam;abmBbam;bbmCaam.aamDbbm2、已知,a bR，比较abba与ab的大小3、若10

10、2a，设21Aa，21Ba，11Ca，11Da，试比较A、B、C、D的大小2、不等式的解法一元二次不等式： 二次项系数化正，整理成标准形式，避免错误. 可以化为一元二次不等式：通法换元法对于不等式2+ 0axbx c，其中2=x t，=xt，| |xt等等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解不等式组：本质数集的取交运算图像与解ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c=0(a0)b2-4a

11、cy=ax2+bx+c(a0)一元二次不等式一元二次方程判别式二次函数0=00方程无解不等式解集为R(一切实数 )不等式解集x|xx0,xR不等式解集为xxx1或xx2不等式解集为xx1xx2解集为解集为x2=ab2ab2x1=x0=ab2高次不等式：数轴标根法，奇穿偶回，注意轴上端点取值分式不等式：移项通分，分式化整式，转化为一元二次或高次不等式求解，注意分母不为零含绝对值不等式：基本方法根据绝对值的意义求解：- ( )( )( )( )- ( )( )( )( )( )g xf xf xg xg xf xg xf xg x；( )( )( )- ( )( )( )f xg xf xg xf

12、 xg x或；22( )( )( )( )g xf xg xf x. 含两个或两个以上绝对值：分段讨论去绝对值，最后的结论要取并无理不等式：两边乘方，注意偶次方根式的非负性，以及被开方式的非负性含字母不等式的求解注意点：最高次项系数是否为零；二次不等式两根大小的比较；原始问题的隐含意义；讨论要不重不漏，最终结论不取并集【例三】1、解关于x的不等式：2(2)(-2)mxm x，其中 mR2、解关于x的不等式：(1)(1)0axx，其中 aR. 3、解关于x的不等式：(1)12a xx，其中aR.4、已知关于x的方程4322kxxk的解为非正数，则实数k 的取值范围是. 名师资料总结 - - -精

13、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 韦达定理，解集逆用利用方程与不等式的联系解题：不等式解集的端点，即为对应方程的根，或无意义点。结论：若一元二次方程2+ =0axbx c的两根分别为1x和2x，则一元二次方程2-+ =0axbx c的两根分别为1x和2x；一元二次方程2+ =0cxbx a的两根分别为11x和21x；一元二次方程2-+ =0cxbx a的两根分别为11x和21x. 需要结合解集的特征（两根之间或两根之外，端点的正负）得出二次

14、项系数与常数项的正负【例四】1、已知关于x的不等式()(23 )0ab xab的解集为1(,)3，则关于x的不等式(3 )(2 )0ab xba的解集是. 2、若不等式axx11的解集为x xx12或，则a= 。3、已知不等式22600kxxkk（1）若不等式的解是x-3 或 x-2，求 k 的值；（2）若不等式的解是1xk，求 k 的值4、已知关于x的不等式02cbxax的解集为xx |其中0，则关于x的不等式20cxbxa的解集是. 5、已知关于x的不等式02cbxax的解集为(2, 3)，则关于x的不等式0cxbxa的解集是. 恒成立问题结论：“02cbxax恒成立，即解集为 R” “2

15、0axbxc恒不成立，即解集为”则00a；“20axbxc恒成立，即解集为 R”“20axbxc恒不成立，即解集为”则00a；“20axbxc恒成立，即解集为 R”“20axbxc恒不成立，即解集为”则00a；“20axbxc恒成立，即解集为 R”“20axbxc恒不成立，即解集为”则00a；注意：一定要注意讨论二次项系数为零是的情况【例五】1、已知关于 x 的不等式22(4)210axax的解集是，则实数 a 的取值范围是_. 2、不等式22(32)(1)20aaxax对任意 xR均成立，求实数 a的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

16、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3、若对于任意实数x,，不等式212322xxaxx恒成立，求实数 a 的取值范围。4、 已知对于任意实数x， 不等式223221xxkxx恒成立，kZ， 则k 的值为 _. 3、基本不等式及其应用基本不等式一：对于任意实数a和b，有abba222，当且仅当ba时等号成立。基本不等式二：对于任意正数ba、，有baba2，当且仅当ba时等号成立。注： （1）2ba：算术平均数，ab：几何平均数；（2）推广：对于任意正数cba、，有33abccba，当且仅当cb

17、a时等号成立；（3）不等式baba2可以变为),(22Rbabaab；（4）均值不等式链：对于任意正数ab、，有2211222abababab，当且仅当ba时等号成立 .利用基本不等式求函数最值：一正二定三相等【例六】1、若1x，则当_x时，61xx取得最 _值，其值为 _. 2、若1x，则当_x时，2231xxx取得最 _值，其值为 _. 3 、 若54x， 则 当_x时 ，1154yxx取 得 最 _值 ， 其 值为. 4、已知,0 x y且10 xy，则25xy有最_值为_，当x=_， y =_时取得。5、 已知,0 x y且1xy， 则14xy有最_值为_， 当_ _ _ _ _ ,_

18、 _ _ _ _xy时取得。6 、 若, xyR且370 xxyy，则23xy有 最 _ 值 为 _， 当_ _ _ _ _ ,_ _ _xy时取得。7、若0 x，则式子234xx的取值范围是 _. 8、已知 05x，则当_x时，2 (5)xx取得最 _值，其值为 _. 9、已知203x，则当_x时，(23 )2xx取得最_值，其值为 _. 10、 已知302x， 则当_x时，294xx 取得最 _值，其值为 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -