2022年高中学业水平考试数学试卷 .pdf

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1、第 1 页（共 15 页）高中数学学业水平考试试卷一、选择题（共10小题，每小题4 分，满分 40 分）1已知集合 M=0，1，集合 N 满足 MN=0，1，则集合 N 共有（）个A1 B2 C 3 D42直线 x+2y+2=0 与直线 2x+y2=0的交点坐标是（）A （2，2）B （2，2）C （2，1）D （3，4）3不等式 2x+y30 表示的平面区域（用阴影表示）是（）A B C D4已知 cos= ，是第三象限的角，则sin = （）A B C D5已知函数 f（x）=ax（a0，a1）在 1，2 上的最大值和最小值的和为6，则 a=（）A2 B3 C 4 D56在 ABC中，a=

2、b，A=120 ，则 B的大小为（）A30B45C 60D907一支田径队有男运动员49 人，女运动员 35 人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24 的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A10 B12 C 14 D168已知 tan =2 ，则 tan（ ）=（）ABC D39圆 x2+y2=1与圆（ x+1）2+（y+4）2=16 的位置关系是（）A相外切B相内切C相交D相离10如图，圆 O 内有一个内接三角形ABC ，且直径 AB=2，ABC=45 ，在圆 O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

3、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 2 页（共 15 页）A B C D二、填空题（共5 小题，每小题 4 分，满分 20分）11不等式 x25x0 的解集是12把二进制数 10011（2）转化为十进制的数为13已知函数 f（x）=Asin x（A0， 0）的图象如图所示，则A，的值分别是14已知函数 f（x）=4log2x，x 2，8 ，则 f（x）的值域是15点 P是直线 x+y2=0上的动点，点 Q是圆 x2+y2=1 上的动点，则线段 PQ长的最小值为

4、三、解答题（共5 小题，满分 40 分）16如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10 场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用 m 表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求 m 的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在 20，40 内的概率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 3 页（共 15 页）17已知向量=（sinx，1） ， =（2co

5、sx ，3） ，xR（1）当= 时，求实数 和 tanx 的值；（2）设函数 f（x）= ? ，求 f（x）的最小正周期和单调递减区间18如图，在三棱锥PABC中，平面 PAB 平面 ABC ，PAB是等边三角形，AC BC ，且 AC=BC=2 ，O、D分别是 AB，PB的中点（1）求证： PA 平面 COD ；（2）求三棱锥 PABC的体积19已知函数 f（x）=2+的图象经过点（ 2，3） ，a 为常数（1）求 a 的值和函数 f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（ a，+）上是减函数20已知数列 an 的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，且 an2+an=2Sn，n

6、N*（1）求 a1及 an；（2）求满足 Sn210 时 n 的最小值；（3）令 bn=4，证明：对一切正整数n，都有+ +名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 4 页（共 15 页）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4 分，满分 40 分）1已知集合 M=0，1，集合 N 满足 MN=0，1，则集合 N 共有（）个A1 B2 C 3 D4【考点】 19：集合的相等【分析】 根据集合的包含关系求出集

7、合N 的个数即可【解答】 解：M= 0，1 ，集合 N 满足 MN= 0，1，则 N? M，故 N=?， 0，1 ， 0，1 共 4 种可能，故选： D2直线 x+2y+2=0 与直线 2x+y2=0的交点坐标是（）A （2，2）B （2，2）C （2，1）D （3，4）【考点】 IM：两条直线的交点坐标【分析】 根据题意，联立两直线的方程，解可得x、y 的值，即可得交点坐标，即可得答案【解答】 解：根据题意，联立，解可得，即直线 x+2y+2=0与直线 2x+y2=0的交点坐标是（ 2，2） ；故选： A3不等式 2x+y30 表示的平面区域（用阴影表示）是（）A B C D【考点】 7B：

8、二元一次不等式（组）与平面区域【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式， 判断不等式是否成立后得二元一次不等式表示的平面区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 5 页（共 15 页）【解答】 解：画出不等式 2x+y30 对应的函数 2x+y3=0的图象，取点（ 0，0） ，把该点的坐标代入不等式2x+y30 成立，说明不等式2x+y30 示的平面区域与点（ 0，0）同侧，所以不等式 2x+y3

9、0 表示的平面区域在直线2x+y3=0的右下方， 并含直线故选 B4已知 cos= ，是第三象限的角，则sin = （）A B C D【考点】 GH ：同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得 sin 的值【解答】 解： cos= ，是第三象限的角，则sin = =，故选： C5已知函数 f（x）=ax（a0，a1）在 1，2 上的最大值和最小值的和为6，则 a=（）A2 B3 C 4 D5【考点】 49：指数函数的图象与性质【分析】 根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解【解答】 解：根据指数函数的性质：当 x=1

10、时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者 x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2 取得最大值a+a2=6a0，a1，a=2故选： A6在 ABC中，a=b，A=120 ，则 B的大小为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 6 页（共 15 页）A30B45C 60D90【考点】 HP ：正弦定理【分析】 由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB= ，结合 B 的范围即可得解 B的值【解答

11、】 解： a=b，A=120 ，由正弦定理，可得： sinB= ，又B（0 ，60 ） ，B=30 故选： A7一支田径队有男运动员49 人，女运动员 35 人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24 的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A10 B12 C 14 D16【考点】 B3：分层抽样方法【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得所求【解答】 解：每个个体被抽到的概率等于=，则应从男运动员中抽出的人数为 49=14，故选： C8已知 tan =2 ，则 tan（ ）=（）ABC D3【考点】 GR ：两角和与差的正切函数【分析】 由题意直接利用

12、两角差的正切公式，求得要求式子的值【解答】 解： tan=2 ，则 tan（ ）=，故选： B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 7 页（共 15 页）9圆 x2+y2=1与圆（ x+1）2+（y+4）2=16 的位置关系是（）A相外切B相内切C相交D相离【考点】 JA ：圆与圆的位置关系及其判定【分析】 求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可【解答】 解：圆 x2+y2=1 的圆心（ 0，

13、0）半径为 1；圆（ x+1）2+（y+4）2=16 的圆心（ 1，4） ，半径为 4，圆心距为：=，半径和为 5，半径差为： 3，（3，5） 所以两个圆的位置关系是相交故选： C10如图，圆 O 内有一个内接三角形ABC ，且直径 AB=2，ABC=45 ，在圆 O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A B C D【考点】 CF ：几何概型【分析】根据题意，计算圆 O 的面积 S圆和ABC的面积 SABC，求它们的面积比即可【解答】 解：圆 O的直径 AB=2，半径为 1，所以圆的面积为 S圆=?12= ；ABC的面积为 SABC=?2?1=1，在圆 O内随机撒一

14、粒黄豆，它落在ABC内（阴影部分）的概率是P=故选： D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 8 页（共 15 页）二、填空题（共5 小题，每小题 4 分，满分 20分）11不等式 x25x0 的解集是x| 0 x5 【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】 把不等式 x25x0 化为 x（x5）0，求出解集即可【解答】 解：不等式 x25x0 可化为x（x5）0，解得 0 x5，不等式的解集是 x| 0 x

15、5 故答案为： x| 0 x5 12把二进制数 10011（2）转化为十进制的数为19【考点】 WC ：mod 的完全同余系和简化剩余系【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案【解答】 解：10011（2）=1+12+124=19故答案为： 1913已知函数 f（x）=Asin x（A0， 0）的图象如图所示，则A，的值分别是3，2【考点】 HK ：由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【分析】 根据图象信息即可求出A， 的值【解答】 解：根据图象，可知最高点为3，最低点 3，A=3从图可以看出周期T= ，即= ，

16、=2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 9 页（共 15 页）故答案为： 3，214已知函数 f（x）=4log2x，x 2，8 ，则 f（x）的值域是 1，3 【考点】 34：函数的值域【分析】 由 x 2，8 上结合对数函数的单调性，即可求出函数的值域【解答】 解：函数 f（x）=4log2x 在 x 2，8 时单调递减，当 x=2时函数取最大值4log22=3，当 x=8时函数取最小值4log28=1，

17、函数 f（x）的值域为 1，3 ，故答案为： 1，3 15点 P是直线 x+y2=0上的动点，点 Q是圆 x2+y2=1 上的动点，则线段 PQ长的最小值为【考点】 J9 ：直线与圆的位置关系【分析】 求圆心到直线的距离减去半径可得最小值【解答】 解：圆心（ 0，0）到直线 x+y2=0 的距离 d=再由 dr=1，知最小距离为1故答案为：三、解答题（共5 小题，满分 40 分）16如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10 场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用 m 表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求 m 的值；（2）估计乙运

18、动员在这次季后赛比赛中得分落在 20，40 内的概率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 10 页（共 15 页）【考点】 CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图【分析】 （1）由茎叶图性质利用中位数定义列出方程，求出m（2）由篮球运动员乙的季后赛10 场得分中有 5 场得分在区间 20，40 内，能估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在 20，40 内的概率【解答】 解： （1）由茎叶图性质

19、得：中位数为：=33，解得 m=4（2）篮球运动员乙的季后赛10 场得分中有 5 场得分在区间 20，40 内，可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在 20，40 内的概率为17已知向量=（sinx，1） ， =（2cosx ，3） ，xR（1）当= 时，求实数 和 tanx 的值；（2）设函数 f（x）= ? ，求 f（x）的最小正周期和单调递减区间【考点】 GL ：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算【分析】 （1）根据向量的运算性质，向量相等即可求解（2）根据函数 f（x）= ? ，求出 f（x）的解析式，即可求出f（x）的最小正周期和单调递减区间【解答】 解： （1

20、）向量=（sinx，1） ， =（2cosx，3） ，xR 当 =时，可得，即 tanx=（2）函数 f（x）= ? ，f（x）=2sinxcosx +3=sin2x+3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 11 页（共 15 页）f（x）的最小正周期 T=f（x）单调递减则，kZ，得：xf（x）的单调递减区间为 ， ，kZ18如图，在三棱锥PABC中，平面 PAB 平面 ABC ，PAB是等边三角形，AC B

21、C ，且 AC=BC=2 ，O、D分别是 AB，PB的中点（1）求证： PA 平面 COD ；（2）求三棱锥 PABC的体积【考点】 LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行的判定【分析】 （1）由 O、D 分别是 AB，PB的中点，得 ODAP，即可得 PA 平面 COD （2）连接 OP ，得 OP面 ABC ，且 OP=即可得三棱锥PABC的体积 V=【解答】 解： （1）O、D分别是 AB，PB的中点， ODAP又 PA ?平面 COD ，OD? 平面 CODPA 平面 COD （2）连接 OP ，由 PAB是等边三角形，则OPAB又平面 PAB 平面 ABC ，OP面

22、ABC ，且 OP=三棱锥 PABC的体积 V=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 12 页（共 15 页）19已知函数 f（x）=2+的图象经过点（ 2，3） ，a 为常数（1）求 a 的值和函数 f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（ a，+）上是减函数【考点】 3E：函数单调性的判断与证明；33：函数的定义域及其求法【分析】 （1）把点（ 2，3）代入函数解析式求出a 的值；根据 f（

23、x）的解析式，求出它的定义域；（2）用单调性定义证明f（x）在（ 1，+）上是减函数即可【解答】 解： （1）函数 f（x）=2+的图象经过点（ 2，3） ，2+=3，解得 a=1；f（x）=2+，且 x10，则 x1，函数 f（x）的定义域为 x| x1 ；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（ 1，+）上是减函数如下；设 1x1x2，则f（x1）f（x2）=（2+）（ 2+）=，1x1x2，x2x10，x110，x210，f（x1）f（x2） ，f（x）在（ 1，+）上是减函数20已知数列 an 的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，且 an2+an=2Sn，nN*（1）求 a1及 an；

24、（2）求满足 Sn210 时 n 的最小值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 13 页（共 15 页）（3）令 bn=4，证明：对一切正整数n，都有+ +【考点】 8K：数列与不等式的综合； 8E：数列的求和【分析】 （1）当 n=1 时，由此能求出a1=1，由 an2+an=2Sn，得，从而（ an+an1） （anan11）=0，进而数列 an是首项和公差都为 1 的等差数列，由此能求出an=n（2）求

25、出 Sn=，由此能求出满足Sn210 时 n 的最小值（3）由题意得，从而数列 是首项和公比都是的等比数列，由此能证明对一切正整数n，都有+ +【解答】解： （1）数列 an 的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，且 an2+an=2Sn，nN*当 n=1 时，且 a10，解得 a1=1，an2+an=2Sn，得：，整理，得：（an+an1） （anan11）=0，an0，anan1=1，数列 an 是首项和公差都为1 的等差数列，an=n（2）数列 an 是首项和公差都为1 的等差数列， an=nSn=，Sn210，整理，得 n2+n4200，解得 n20（n21 舍） ，满足 Sn210

26、时 n 的最小值是 21证明： （3）由题意得，则，数列 是首项和公比都是的等比数列，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 14 页（共 15 页）+ +=故对一切正整数 n，都有+ +名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 15 页（共 15 页）2017 年 7 月 13 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -