2022年高中数学中抽象函数的解法及练习整理 .pdf

《2022年高中数学中抽象函数的解法及练习整理 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学中抽象函数的解法及练习整理 .pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出( )f x，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知()211xfxx, 求( )f x. 解：设1xux, 则1uxu2( )2111uuf uuu2( )1xf xx2. 凑配法：在已知( )( )f g xh x的条件下，把( )h x拼凑成以(

2、)g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x. 此解法简洁，还能进一步复习代换法。例 2：已知3311()f xxxx，求( )f x解：22211111()()(1)()()3)f xxxxxxxxxx又11| |1|xxxx23( )(3)3f xx xxx，(|x| 1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知( )f x二次实函数，且2(1)(1)f xf xx+2x+4, 求( )f x. 解:设( )fx=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb xca xb xc=22222(

3、)24axbxacxx比 较 系 数 得2 ()41321,1,2222acaabcb213( )22f xxx4. 利用函数性质法: 主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式. 例 4. 已知y=( )f x为奇函数 , 当x0 时,( )lg(1)f xx, 求( )fx解: ( )fx为奇函数，( )fx的定义域关于原点对称，故先求x0, ()lg(1)lg(1)fxxx, ( )f x为 奇 函 数 ， l g ( 1)()(xfxfx 当x0时( )lg(1)f xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

4、师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - lg(1),0( )lg(1),0 xxf xx x例 5一已知( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，且有( )f x+1( )1g xx， 求( )f x,( )g x. 解：( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，()( )fxf x,()( )gxg x, 不妨用 -x代换( )f x+( )g x=11x, 中的x, 1()()1fxgxx即( )fx1( )1g xx, 显见 +即可消去( )g x, 求出函数21( )1f xx再代入求出2( )1xg xx二、利用函数性

5、质，解( )f x的有关问题1. 判断函数的奇偶性：例 7 已知()()2( )( )f xyf xyf x f y, 对一切实数x、y都成立， 且(0)0f, 求证( )f x为偶函数。证明：令x=0, 则已知等式变为( )()2 (0)( )fyfyff y, 在 中 令y=0 则2(0)f=2(0)f(0)f 0 (0)f=1( )()2( )f yfyf y()( )fyf y( )f x为偶函数。2. 确定参数的取值范围例 8：奇函数( )f x在定义域（ -1 ，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解 ： 由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm

6、，( )f x为函 数 ，2(1)(1)fmf m又( )f x在（ -1 ，1）内递减，221111110111mmmmm3. 解不定式的有关题目例 9：如果( )f x=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft, 比较(1)(2)(4)fff、的大小解：对任意t有(2)2)ftftx=2 为抛物线y=2axbxc的对称轴又其开口向上f(2) 最小，f(1)=f(3) 在 2， ) 上，( )f x为增函数f(3)f(4), f(2)f(1)f(4) 五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

7、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 1、已知函数f （x）对任意实数x，y，均有 f （xy）f （x）f（y） ，且当 x0 时，f （x）0，f （ 1） 2，求 f （x）在区间 2，1 上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即， f （x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令 xy0，则 f （0）2 f （0） ， f （0）0，故 f （ x） f （x） ，f （x）为奇函

8、数，f （1） f （ 1） 2，又 f （ 2） 2 f （ 1） 4， f （x）的值域为4，2 。例 2、已知函数f （x）对任意，满足条件f（x）f （y） 2 + f（xy） ，且当 x0时， f （x） 2，f （3）5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是 yx2 的抽象函数，且f （x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解： 设，当，则，即，f（x）为单调增函数。， 又 f （3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 0时， 0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到

9、一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。抽象函数专题练习抽象函数专题复习1. 已知函数 y f (x)(xR，x0) 对任意的非零实数1x，2x，恒有 f(1x2x) f(1x)+f(2x), 试判断 f(x)的奇偶性。2 已知定义在 2，2 上的偶函数， f (x)在区间 0 ，2 上单调递减，若f (1 m)0. (1) 求(1)f; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - (2) 求和(1)(2)

10、(3).( )ffff n*()nN; 14. 已知函数( )f x的定义域为R, 对任意实数,m n都有()()( )f mnf mf n, 且当0 x时,0( )1f x. (1) 证明 :(0)1,0fx且时,f(x)1; (2) 证明 : ( )f x在 R上单调递减 ; (3) 设 A22(, )()()(1)x yf xfyf,B( , )(2)1,x yf axyaR, 若AB,试确定a的取值范围15. 已知函数 f （x）对任意实数x，y，均有 f （xy） f（x） f（y） ，且当 x0 时，f （x）0，f （ 1） 2，求 f （x）在区间 2，1 上的值域。16. 已

11、知函数 f （x）对任意，满足条件f （x）f （y） 2 + f（xy） ，且当 x0 时，f （x）2，f （3） 5，求不等式的解。17、设函数的定义域为全体R，当 x0 时，且对任意的实数x，yR，有成立，数列满足，且（nN*）（）求证：是 R上的减函数；（）求数列的通项公式；（）若不等式对一切 nN*均成立，求k 的最大值18、设函数满足，且对任意，都有. （）求的解析式；（）若数列满足：（） ，且, 求数列的通项；（）求证：19、若数列满足其中为常数， 则称数列为等方差数列 . 已知等方差数列满足. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

12、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - （）求数列的通项公式；（）求数列的前项和答案：1. 解：令1x 1，2xx，得 f (x) f (1)+ f (x) , 为了求f ( 1) 的值，令1x1，2x 1，则 f( 1) f(1)+f(1), 即 f(1) 0, 再令1x2x 1 得 f(1) f( 1)+f( 1) 2f( 1) f( 1)0 代入式得f( x) f(x),可得 f(x) 是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，m ，m 2,2 ，但是 1 m 和 m分别在 2，0 和0

13、，2 的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质 f （ x) f (x)f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解： f (x) 是偶函数， f (1 m)f(m) 可得)()1(mfmf，f(x)在0 ，2 上是单调递减的，于是202101mmmm，即222122122mmmmm化简得 1m21。3. 解：因为 f(x+3) f(x) ，所以 f(x+6) f(x+3)+3) f(x+3)f(x)，故 6 是函数 f(x)的一个周期。又f(x) 是奇函数，且在x0 处有定义，所以f(x) 0 从而 f(1998) f(6 333) f(0)0。4.

14、解：由 f （)21xxf （)()21xfx，21,0,21xx知 f （x） f （)2()2xfx0，x1 , 02)21()21()21()2121()1(fffff， f（1） 2，.2)21(21f同理可得412)41(f5. 解：从自变量值2001 和 1 进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f （x）是周期函数。由条件得 f （x） 1，故f （x+2）,)(1)(1xfxff （x+4）)(1)(1)(11)(1)(11xfxfxfxfxf. 所以 f （x+8）)()4(1xfxf. 所以 f （x）是以 8 为周期的周期函数，从而 f （2001）f （1） 1997

15、 说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。6. 证明： （1）问题为求函数值，只需令xy0 即可得。（2）问题中令x0 即得 f （y）+f （ y ） 2f （0）f （y） ，且 f （0） 1. 所以 f （y）+f （ y） 2f （y） ，因此 yf （x）为偶函数 . 说明：这类问题应抓住f （x）与 f （ x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

16、心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 7. 解：由 yf(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，yf(x) 在（ 6， 2）上递减。令u2x，则当 x(4,8)时，u 是减函数且u ( 6, 2)，而 f(u) 在（ 6， 2）上递减，故yf(2 x)在（ 4，8）上递增。所以（4，8）是 yf(2 x) 的单调递增区间。8. 解： （1）. 因为 ab，所以 ab0，由题意得babfaf)()(0，所以 f （a）+f （ b）0，又 f （x）是定义在R 上的奇函数，所以f（ b） f （b） ， f （a） f （b） 0，即

17、 f （ a）f （b）（2）. 由（ 1）知 f（x）在 R上是单调递增函数，又f)3(xkf)293(xx0，得 f)3(xkf)239(xx，故xk 3239xx，所以 k1323xx令 t 3,313x, 所以 kt+12t，而 t+t222，即 k221 9. 解：22(sin)(1cos)f axf ax等价于2222222222sin33sin311cos32cos205sin1cos1cossin14axaxaaxaxaaxaxaaxxaa2211022211011022aaaaa或10. （1）证明：令yx，得()( )()f xxfxfx( )()(0)f xfxf令0 x

18、y，则(0)2 (0)ff00f( )()0f xfx()( )fxf x( )f x是奇函数。（2）(24)(3)(21)2 (3)(18).8 (3)ffffff又( 3)(3)fafa(24)8fa11. （1）解：令0ab，则(0)0f令1ab，则(1)2(1)(1)0fff（2）证明：令1ab，则(1)2( 1)ff，(1)0f，( 1)0f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 令,1ax b，则()(

19、1)( )( )fxxff xfx( )f x是奇函数。（3）当0ab时，()( )( )f a bf bf aabba，令( )( )f xg xx，则()( )( )g a bg ag b故()( )ng ang a，所以1()()( )( )nnnnnf aag ana g anaf a1(2)11( )22nnnfufn111(2)2,(1)(2)220222fffff111(2)242ff，故11122nnunN11122111212nnnsnN12. 解： (1) 对任意xR，函数( )fx满足22( )( )ff xxxf xxx，且(2)2f22(2)22)(2)22,(1)1

20、ffff则(0)fa，22(0)00)(0)00fff200af(a) a (2) 对任意xR，函数( )f x满足22( )( )ff xxxf xxx, 有且仅有一个实数0 x,使得00()f xx对任意xR，有20( )f xxxx上式中，令0 xx，则20000()f xxxx00()f xx，故2000 xx0001xx或若00 x，则2( )0f xxx，则2( )f xxx，但方程2xxx有两个不相同的实根与题设茅盾，故00 x若01x，则2( )1f xxx，则2( )1f xxx，此时方程221(1)0 xxxx有两个相等的实根，即有且仅有一个实数0 x, 使得00()f x

21、x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 2( )1f xxxxR13. （1）解：令12mn，则1111()2( )2222ff1(1)2f（2）1(1),2f111(1)(1)( )( )( )1222f nff nf nf n(1)( )1f nf n数列( )f n是以12为首项 ,1 为公差的等差数列, 故(1)(2)(3).( )ffff n(1)22nn n22n(3) 任取1212,xxRxx且, 则

22、21211121112111()()()()()()()()22f xf xfxxxf xf xxfxfxf xx211()02f xx12()()f xf x函数( )f x是 R上的单调增函数. 14、. (1)证明 : 令0,1mn, 则(01)(0)(1)fff当0 x时,0( )1f x, 故(1)0f, (0)1f, 当0 x时,0( )1f x当0 x时,0 x, 则(0)1()()( )( )1()()ffxxfxf xf xfxfx(2) 证明 : 任取1212,x xRxx且, 则2121112111()()()()()()()f xf xfxxxf xf xxf xf x

23、211()1 ()f xxf x210 xx, 0210()1f xx, 故21()1f xx0, 又1()0,f x211()1()0f xxf x, 故12()()f xf x函数( )f x是 R上的单调减函数. (3) 2222( ,)()()(1)( ,)()(1)Ax yf xf yfx yf xyf由（2）知，( )f x是 R上的减函数，221xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - B( , )(

24、2)1,x yf axyaR ,20,x y axyaR又AB，方程组22120 xyaxy无解，即直线22201axyxy与单位圆的内部无公共点2211a23a33a，故a的取值范围是33a15、 解：设，当，即， f （x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令 xy0，则 f （0）2 f（0） ， f （0）0，故 f （ x） f （x） ，f （x）为奇函数，f （1） f （ 1） 2，又 f （ 2） 2 f （ 1） 4， f （x）的值域为4，2 。16、 . 解 ： 设， 当， ， 则，即，f（x）为单调增函数。， 又 f （3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1

25、a 3。17、设函数的定义域为全体R，当 x0 时，且对任意的实数x，yR，有成立，数列满足，且（nN*）（）求证：是 R上的减函数；（）求数列的通项公式；（）若不等式对一切 nN*均成立，求k 的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 解析：（）令，得，由题意知，所以，故当时，进而得设且，则，即，所以是 R上的减函数（）由得，所以因为是 R上的减函数，所以，即， 进而，所以是以 1 为首项， 2 为公差的等差

26、数列所以，所以,9 分（）由对一切 nN*均成立知对一切 nN*均成立设，知且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 又故为关于 n 的单调增函数，所以，k 的最大值为,14 分18、设函数满足，且对任意，都有. （）求的解析式；（）若数列满足：（） ，且, 求数列的通项；（）求证：解析：（）因. 若令得再令得（），, 又数列是首项为 2, 公比为 3 的等比数列 , ，即（）， T=,另一方面：因为，所以综上可得命

27、题成立. 19、若数列满足其中为常数， 则称数列为等方差数列 . 已知等方差数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 满足. （）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）记，则当实数大于 4 时，不等式能否对于一切的恒成立？请说明理由. 解析：（）由得，数列的通项公式为；（）设- ，得. 即数列的前项和为；（）解法：，不等式恒成立，即对于一切的恒成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 设当时，由于对称轴，且而函数在是增函数，不等式恒成立，即当时，不等式对于一切的恒成立 . 解法：， 不等式恒成立，即对于一切的恒成立，而恒成立故当时，不等式对于一切的恒成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -