2022年高中数学圆锥曲线重要结论讲义 .pdf
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1、圆锥曲线重要结论椭圆1.点 P处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上,则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆
2、22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点12F PF,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab(ab0)的焦半径公式:10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点,则MFNF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则
3、MFNF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为 AB 的中点,则22OMABbkka,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - 即0202yaxbKAB。双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角. 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径
4、的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .(内切: P 在右支;外切:P在左支)5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab(a0,b0)上,则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab(a0,b0)外,则过 Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.双曲线22221xyab( a0,bo)的左右焦点分别为F1, F2,点P 为双曲线上任意一点12F PF,则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8.双
5、曲线22221xyab(a0,bo)的焦半径公式:(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时,10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时,10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N两点,则 MFNF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF NF. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - 11.AB 是双曲线22221xyab(a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为 AB 的中点,则0202yaxbKKABOM,即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在双曲线22221xyab(a0,b0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在双曲线22221xyab(a0,b0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是2
7、2002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的对偶性质-椭圆1.椭圆22221xyab(abo) 的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa, 与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点, 则直线 BC 有定向且2020BCb xka y(常数) . 3.若 P 为椭圆22221xyab(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F,则tant22accoac. 4.设
8、 椭 圆22221xyab( a b 0) 的 两 个 焦 点 为F1、 F2,P( 异 于 长 轴 端 点 ) 为 椭 圆 上 任 意 一 点 , 在 PF1F2中 , 记12F PF, 12PF F,12F F P,则有sinsinsincea. 5.若椭圆22221xyab(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当 0e21时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1是 P 到对应准名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 23 页 - - - - -
9、- - - - 线距离 d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为椭圆22221xyab(ab0)上任一点 ,F1,F2为二焦点, A 为椭圆内一定点,则2112| |2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时,等号成立. 7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8.已知椭圆22221xyab(ab0) , O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)22221111|OPOQab;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;(3)OPQS的最小值是2222a bab
10、. 9.过椭圆22221xyab(ab0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P,则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab( ab0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设P 点是椭圆22221xyab(a b 0)上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为 其焦点记12F PF,则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12.设 A、B 是椭圆22221xyab( ab0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB, PBA
11、,BPA,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有 (1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 23 页 - - - - - - - - - 13.已知椭圆22221xyab( ab0) 的右准线l与 x 轴相交于点E, 过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14.过椭圆
12、焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). (注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. )17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- 双曲线1.双曲线22221xyab(a0,b0)的两个顶点为1(,0)Aa,
13、2( ,0)Aa,与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 23 页 - - - - - - - - - 22221xyab. 2.过双曲线22221xyab(a0,bo) 上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点, 则直线 BC 有定向且2020BCb xka y(常数) . 3.若 P为双曲线22221xyab(a0,b0) 右 (或左)支上除顶点外
14、的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F, 则tant22cacoca(或tant22cacoca). 4.设双曲线22221xyab( a 0,b0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在PF1F2中,记12F PF, 12PF F,12F F P,则有sin(sinsin)cea. 5.若双曲线22221xyab(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当 1e21时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1是P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线22221xyab(a0,b0)上任一点 ,F1,F2为二
15、焦点, A 为双曲线内一定点,则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时,等号成立. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - 7.双曲线22221xyab(a0,b0)与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8.已知双曲线22221xyab(ba 0) , O 为坐标原点, P、Q 为双曲线上两动点,且OPOQ. (1)22221111|OPOQ
16、ab;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;(3)OPQS的最小值是2222a bba. 9.过双曲线22221xyab(a0,b0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P,则|2PFeMN. 10.已知双曲线22221xyab(a0,b0),A、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P 点是双曲线22221xyab( a0,b0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF,则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 1
17、22cot2PF FSb. 12.设 A、B 是双曲线22221xyab(a0,b0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB, PBA,BPA,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222| cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知双曲线22221xyab(a0,b0)的右准线l与 x 轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
18、 - - - - 第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - 上,且BCx轴,则直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). (注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
19、 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A(3,2) ,F(2,0) ,双曲线
20、xy2231,P 为双曲线上一点。求|PAPF12的最小值。解析:如图所示,双曲线离心率为2,F 为右焦点,由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。| | |PAPFPAPEAM1252二. 引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解:取如图所示的坐标系,设点F 到准线l的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0) (t 为参数)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共
21、 23 页 - - - - - - - - - pbc2,而ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y) ,则xctybpt消去 t,得轨迹方程ypx2三. 数形结合,直观显示将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知x yR,,且满足方程xyy2230(),又myx33,求 m 范围。解析:myx33的几何意义为,曲线xyy2230()上的点与点(3, 3)连线的斜率,如图所示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
22、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - kmkPAPB332352m四. 应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q,则|OP OQ的值为 _。解:OMPOQN| |OP OQOMON5五. 应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工
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