2022年高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 .pdf

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1、中国教育培训领军品牌环球雅思2.8 函数与方程【考纲说明】1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。（2）方程0)(xf有实根函数( )yf x的图像与x 轴有交点函数( )yf x有零点。因此判断一个函数是否有零点， 有几个零点， 就是判断方程0)(xf是否有实数根， 有几个实数根。 函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是( )f x的零点（3）变号零点与不变号零点若函数( )f

2、x在零点0 x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数( )f x的变号零点。若函数( )f x在零点0 x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数( )f x的不变号零点。若函数( )f x在区间,a b上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是( )f x在区间, a b内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的曲线，并且有( )( )0f af b，那么，函数)(xfy在区间,a b内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0 xf，这个0 x也就是方程0)(xf的根。（2）函数)(xfy零点个数（或方程0)(

3、xf实数根的个数）确定方法 代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根；（几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0)(xfy有 2 个零点0)(xf有两个不等实根；0)(xfy有 1 个零点0)(xf有两个相等实根；0)(xfy无零点0)(xf无实根；对于二次函数在区间,a b上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间 , a b上连续不断且( )( )0f af b的函数( )yf x,通过不断地把函数( )yf x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,

4、进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 , a b,验证( )( )0f af b,给定精确度; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品牌环球雅思求区间( , )a b的中点c; 计算( )f c; ( )若( )0f c,则c就是函数的零点; ( ) 若( )( )0f af c,则令bc(此时零点0( , )xa c); ( ) 若( )( )0f

5、 cf b,则令ac(此时零点0( , )xc b ); 判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复至步. 【经典例题】【例 1】 （2012 天津） 函数3( )=2 +2xf xx在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0 B、1C、2D、 3 【答案】 B 【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f，3(1)=2+22=8f，即(0)(1)0ff且函数( )f x在(0,1)内连续不断，故( )f x在(0,1)内的零点个数是1. 解法 2：设1=2xy，32=2yx，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确 . 422468510【例 2】 （2010

6、 天津） 函数f(x)2x 3x 的零点所在的一个区间是( ) A、(2， 1)B、(1,0)C、(0,1) D、 (1,2) 【答案】 B 【解析】 f(1)213 ( 1)520，f(1) f(0)1.设函数 f(x)(x22)?(xx2)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( ) A、( ， 21，32B、( ， 21，34C、1，1414， D、1，3414， 【答案】 B 【解析】 f(x)x22，x22()xx21 ，xx2，x22()xx21x2 2， 1 x32，xx2，x32，则 f( )x 的图象如图y f(x)c 的图象与

7、 x 轴恰有两个公共点，y f(x)与 yc 的图象恰有两个公共点，由图象知c 2，或 1c34. 【 例8 】 已 知 函 数fx（ ）=log(0a1).axxb a ，且当2 a 3 b 4 时 ， 函 数fx（ ）的 零 点*0( ,1),n=xn nnN则. 【答案】 5 【 解 析 】 方 程log(0a1)axxb a ，且=0的 根 为0 x, 即 函 数l o g( 23 )ayxa的 图 象 与 函 数(34)yxbb的交点横坐标为0 x,且*0( ,1),xn nnN,结合图象 ,因为当(23)xaa时 ,1y,此时对应直线上1y的点的横坐标1(4,5)xb;当2y时,

8、对数函数log(23)ayxa的图象上点的横坐标(4,9)x,直线(34)yxbb的图象上点的横坐标(5,6)x,故所求的5n. 【例 9】求下列函数的零点：（1）32( )22f xxxx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品牌环球雅思（2）4( )f xxx. 【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2. 【解析】（1）由32220,xxx2(2)(2)0,(2)(1)(1)0,211.xxx

9、xxxxxx或或故函数的零点是2，1，-1. （2）2440,0,xxxx由得(2)(2)0,(2)(2)0,2xxxxxx或x=-2.故函数的零点是2，-2. 【例 10】判断函数yx3x1 在区间 1,1.5 内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)【答案】 1.312 5 【解析】因为 f(1) 10，且函数 yx3x1 的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5 内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3 (1.25,1.5)1.3750.22 (1.25,1.375)1.312 50.05 (1.312 5,1.375)1

10、.343 750.08 由于 |1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5. 【课堂练习】1、 （2011 课标） 在下列区间中，函数( )43xf xex的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、1 1(,)4 2D、1 3(,)2 42、 （2010 上海） 若0 x是方程lg2xx的解，则0 x属于区间（）A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)D、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、（2010 天津） 函数 fx=2x+3x 的零点所在的一个区间是（）名师资料总结 - - -精品资

11、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品牌环球雅思A（ -2,-1）B、（ -1，0）C、（ 0， 1）D、（ 1，2）5、（2010 浙江） 设函数 fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（）A、-4,-2 B、-2,0 C、0,2 D、2,4 6、（2011 陕西） 函数xf=x-cosx在0，内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7、 （ 2009 福建）

12、若函数( )fx的零点与( )422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25，则( )f x可以是 （）A、( )41f xxB、2( )(1)f xxC、( )1xf xeD、1( )ln()2f xx8、 下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A、3( )8f xxB、( )ln3f xxC、2( )2 22f xxxD、2( )41f xxx9、 （2009 泉州） 函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间（）A、41,81B、21,41C、1 ,21D、(1,2) 10、 （2009 厦门）01lgxx有解的区域是（）A、(0, 1B、(1, 10C、(10, 100D

13、、(100,)11、 （2011 湖北文） 在下列区间中， 函数( )e43xf xx的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、1 1(,)4 2D、1 3(,)2 412、 （2009 合肥） 函数2( )logf xxx的零点所在区间为（）A、10,8B、1 1,8 4C、1 1,4 2D、1,1213 、 设833xxfx, 用 二 分 法 求 方 程2, 10833xxx在内 近 似 解 的 过 程 中 得,025.1,05.1,01fff则方程的根落在区间（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能确定14、 （2010 浙江） 设函数(

14、 )4sin(21)f xxx，则在下列区间中函数( )f x不存在零点的是（）A、4,2B、2,0C、0,2D、2,415、 （2010 福建） 函数223,0( )2ln,0 xxxf xx x， 零点个数为（）A、3 B、2 C、1 D、0 16、 （2008 惠州） 若函数32( )22f xxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品

15、牌环球雅思f (1) = 2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = 0.054那么方程32220 xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、 （2008 湖北） 方程223xx的实数解的个数为. 18、已知函数22( )(1)2f xxaxa的一个零点比1 大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。19、判断函数232( )43f xxxx在区间 1,1上零点的个数，并说明理由。20 、求函数32( )236f xxx

16、x的一个正数零点(精确度 0.1)【课后作业】1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设2( )3xf xx，则在下列区间中，使函数)(xf有零点的区间是 ( )A、0,1 B、1,2 C、2， 1 D、 1,0 3、已知)(xf唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A、函数)(xf在(1,2)或2,3内有零点B、函数)(xf在(3,5)内无零点C、函数)(xf在(2,5)内有零点D、函数)(xf在(2,4)内不一定有零点4、 （2009 莆田） 若函数3( )3f xxxa有 3 个不同的零点 ,则实数a的取值范围是

17、（）A、2,2B、2,2C、, 1D、1,5、 （2009 沈阳） 函数xxxfln)(的零点所在的区间为（）A、 （ 1，0）B、 （0， 1）C、 （1，2）D、 （1，e）6、求函数132)(3xxxf零点的个数为（）A、1B、2C、3D、4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品牌环球雅思7、如果二次函数23yxxm有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A、11(,)4B、11(,)2C、11

18、(,)4D、11(,)28、方程0lgxx根的个数为（）A、无穷多B、3C、1D、09、用二分法求方程( )0f x在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0ffff(1)0 ，则方程的根在区间( )A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定10、(2009 天津 )设函数 f(x) 13xlnx(x 0)，则 yf(x) ( ) A、在区间1e，1 ，(1，e)内均有零点B、在区间1e，1 ，(1，e)内均无零点C、在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点D、在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点11、设函

19、数21( )ln1(0)2f xxxx，则函数( )yf x( ) A、在区间 (0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间 (0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间 (0,1)，(1,2)内均无零点D、在区间 (0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、 （2008 全国）用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(ff，可得其中一个零点0 x，第二次应计算. 以上横线上应填的内容为 ( ) A、 （0，0.5） ，)25.0(fB、 （0，1） ，)25.0(fC、 （0.5，1） ，)75.0(fD、 （0，0.5） ，)1 2 5.0(

20、f13、 （2012 天津理） 函数22)(3xxfx在区间 (0,1)内的零点个数是A、0 B、1 C、2 D、3 14 、（ 2011 山 东 ） 已 知 函 数( )log(0,1).afxxxb aa且当234a是 ， 函 数( )f x的 零 点*0(,1) ,xn nnN则 n= . 15、用二分法求函数( )yfx在区间 (2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0 ，给定精确度 0.01，取区间 (2,4)的中点x12423，计算得f(2) f(x1)0 x22x，x0 ， 若函数g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数m 的取值范围是 _17、函数65)(2xxxf的零点组

21、成的集合是. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品牌环球雅思18、用“ 二分法 ” 求方程0523xx在区间2,3内的实根，取区间中点为5.20 x，那么下一个有根的区间是19、函数( )ln2f xxx的零点个数为. 20、证明方程63x 2x在区间 1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度 0.1)【参考答案】【课堂练习】1-16、CDCBA BACCB CCBABC 17、2 18

22、、解：设方程22(1)20 xaxa的两根分别为1212,()x xxx，则12(1)(1)0 xx，所以1212()10 xxxx由韦达定理得22(1)10aa，即220aa，所以21a19、解 ：因为27141033f，213141033f所以fx在区间 1,1上有零点又2291422222fxxxx当11x时，902fx所以在 1,1上单调递增函数，所以fx在 1,1上有且只有一个零点。20、解由于(1)60,(2)40ff，可取区间 (1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625 (1.5,2)1.750.234 4 (1.5,1

23、.75)1.6251.302 7 (1.625,1.75)1.687 50.561 8 (1.687 5,1.75)1.718 750.170 7 由于 |1.751.687 5|0.062 50.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值【课后作业】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中国教育培训领军品牌环球雅思1-13、BDCAB CCDAD AAB 14、2 15、(2,3) 16、 (0,1) 17、2

24、,318、2,2.5)19、2 20、证明设函数 f(x)2x3x6，f(1) 10，又 f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6 在区间 1,2内有唯一的零点，则方程 63x2x在区间 1,2内有唯一一个实数解设该解为 x0，则 x01,2，取 x11.5，f(1.5) 1.330，f(1) f(1.5)0，f(1) f(1.25)0， x0(1,1.25)，取 x31.125，f(1.125) 0.4450，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25) ，取 x41.187 5，f(1.187 5) 0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，1.187 5 可以作为这个方程的实数解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -