2022年高中数学-直线与平面垂直判定和性质汇编 .pdf

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1、-1 -高中数学 -立体几何典型例题一例 1 下列图形中，满足唯一性的是（）?A. 过直线外一点作与该直线垂直的直线B. 过直线外一点与该直线平行的平面C. 过平面外一点与平面平行的直线D. 过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关. 解： A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条 .事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面. B. 过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行 . C. 过此点作平面内任一

2、直线的平行线，这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条. D.过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条 .假设空间点A、平面 ，过点A有两条 直线AB、AC都垂直于 ，由于AB、AC为相交直线，不妨设AB、AC所确定的平面为, 与 的交线为I，则必有AB I , AC I，又由于AB、AC、I都在平面内，这样在 内经过A点就有两条直线和直线I垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾. 故选 D. 说明：有关 “ 唯一性 ” 结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明 .在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

3、已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是 “ 唯一性 ” 命题，在空间作图题中常常用到. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - -2 -典型例题二例 2 已知下列命题：(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；(3)若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；(4)若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一

4、个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直. 上述命题正确的是( ). A. (1 )、(2) B. (2)、( 3) C. ( 3)、(4) D. (2)、(4) 分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用. 应用这两个定理时要特别注意“ 平面内 ” 这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形. 解： (1)已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；(3 )根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂

5、直；(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性. 故选 D. 说明： (3)中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直. 如在正方体ABCD ABiCiDi中，E、F分别为棱AAi和BBi上的点，G为棱BC上的点，且EF BBi, FCi EG，求DiFG . 典型例题三例 3 如图，在正方体ABCD AiBiGDi中，E是BBi的中点，0是底面正方形ABCD的中心，求证：0E 平面ACDi. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

6、- - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - -3 -分析：本题考查的是线面垂直的判定方法. 根据线面垂直的判定方法，要证明0E 平面ACDi，只要在平面ACDi内找两条相交直线与0E垂直 . 证明：连结B1D、AD、BD，在B1BD中，?/ E、0分别是B1B和DB的中点，? E0BiD . Bi A面AAi Di D , ?- DAi为DBi在面AAiDiD内的射影 . 又? AD1 A1D , ?AD1 DB1. 同理可证，B1D D1C . 又? AD1 CD1 D1, AD1、D1C 面ACD1, ?BiD 平面ACDi . ?/ Bi D / EO ,

7、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - -4 -? EO 平面ACD1. DBi的棱长为a，易证AE DiO .DDi2DO2OE . BE2OB2DiE DiBi2BiE2厂2 2 2 a a 2 a 22 2-a 2 2 ? DiO22 DiE , ? D O AC O , DiO、AC 平面ACDi , 又? AO OC , ：? OE AC ?在正方体DB1中易求出 : ? D1O ? OE 平面ACD1. 说

8、明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在 证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用. 典型例题四例 4 如图，在 ABC中，B 90 , SA 平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为M、N，求证：MN SC. 另证：连结AE、CE , D1O，设正方体OE22 2 .2a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - -

9、 -5 -分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想 .欲证SC MN，可证SC 面AMN，为此须证SC AN，进而可转化为证明AN 平面SBC，而已知AN SB，所以只要证AN BC即可 ?由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直. 证明： ?/ SA 面ABC , BC 平面ABC , ? SA BC ?B 90，即AB BC, BA SA A, ?BC 平面SAB ? AN 平面SAB ?BC AN ?又? AN SB , SB BC B , ?AN 平面SBC ? SC 平面SBC , ?AN SC, 又

10、? AM SC, AM AN A, ?SC 平面AMN ? MN 平面AMN ?SC MN ?另证：由上面可证AN 平面SBC ?MN为AM在平面SBC内的射影 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - -6 -?/ AM SC, ? MN SC ?说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直?立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现名师资料总结

11、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - -7 -的.本题若改为下题，想想如何证：已知SA O O所在平面，AB为O O的直径，C为。O 上任意一点（C与A、B不重合） .过点A作SB的垂面交SB、SC于点M、N，求证：AN SC. 典型例题五例 5 如图，AB为平面 的斜线，B为斜足，AH垂直平面于H点，BC为平面 内的直线，ABH , HBC , ABC ，求证 : 分析：本题考查的是线面角的定义和计算?要证明三个角余弦值之间关系

12、，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理. 证明：过H点作HD垂直BC于D点，连AD . ?/ AH ? AD在平面 内射影为HD . ? BC HD , BC ? BC AD . 在Rt ABH中有：cos BH BA 在Rt BHD中有：cos BD BH 在Rt ABD中有：cos BD BA 由、可得：cos cos cos . 说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角?若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为 ，一2名师资料总结 -

13、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - -8 -典型例题六例 6 如图，已知正方形ABCD边长为 4, CG 平面ABCD , CG 2 , E、F分别是AB、AD中点，求点B到平面GEF的距离 . 分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力 .本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离?为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线， 因为与平

14、面平行的直线上所有点到平面的距离相等 . 证明：连结BD、AC , EF和BD分别交AC于H、O，连GH，作OK GH 于K . ?/ ABCD为正方形，E、F分别为AB、AD的中点，? EF/BD , H 为AO 中点 . ?/ BD/EF , BD 平面GFE , ?BD/ 平面GFE . ?BD与平面GFE的距离就是O点到平面EFG的距离 . ? BD AC , ? EF AC . ?/ GC 面ABCD ,? GC EF . ? GC AC C , ?EF 平面GCH . ? OK 平面GCH , ?EF OK . 又? OK GH , GH EF H , ?OK 平面GEF . 即O

15、K长就是点B到平面GEF的距离 . ? 正方形边长为4, CG 2 , ?AC 4.2 , HO 2 , HC 3 2 . 在Rt HCG 中，HG HC2CG222 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - -9 -HO GC 2 11 在Rt GCH 中，OK HG 11 说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法?由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长 ?用此法的关键在于准确找到垂足位置?如本题可用下列证法：

16、延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作BP ME于P，作BN /CG交MG于N，连结PN，再作BH PN于H，可得BH 平面GFE , BH长即为B点到平面EFG的距离 ?二是转移 法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法 .已知棱锥的体积和底面的面积 .求顶点到底面的距离，可逆用体积公式 . 典型例题七例 7 如图所示，直角ABC所在平面外一点S,且SA SB SC . (1) 求证：点S与斜边AC中点D的连线SD 面ABC ; 若直角边BA BC，求证：BD 面SAC. 分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直. 证明：在等腰SAC中，D为AC中点，

17、? SD AC . 取AB中点E ,连DE、SE . ?/ ED/BC , BC AB , ? DE AB . 又SE AB , ? AB 面SED ,? AB SD ? SD 面ABC ( AB、AC是面ABC内两相交直线 )?(2)T BA BC ,? BD AC ?又? SD 面ABC , ? SD BD ? SD AC D ,? BD 面SAC ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - -10 -已知 : a/

18、b, a .求证：b 分析 : 由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与b垂直即可 . 证明 : 如图所示， 在平面? a ，二a m, a n . 例 9 如图所示，已知平面平面 =EF , A为、外一点，AB 于EF . 说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直?寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等. 典型例题八如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 又? b/a，从而有b m , b n . 由作图知m、n为内两条相交直线. ? b .说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的

19、依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直. 典型例题九AC 于C , CD 于D .证明：BD EF . 分析：先证A、B、C、D四点共面，再证明EF 平面ABCD ,从而得到BD 证明：? AB , CD ,? AB/CD . ? A、B、C、D四点共面 . A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - -11 -? AB AC EF ,? AB EF , AC

20、 EF . 例 10 平面内有一半圆， 直径AB，过A作SA 平面,在半圆上任取一点M，连又AB AC A,? EF 平面ABCD . ? EF BD. 说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论.即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直.本题证明 “ A、B、C、D四点共面 ” 非常重要，仅由EF 平面ABC，就断定EF BD，则证明是无效的. 典型例题十SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影 . (1) 求证：NH SB; (2) 这个图形中有多少个线面垂直关系？(3) 这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂

21、直的直线? 分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断. Sx(1) 证明：连AM、BM .如上图所示，? AB为已知圆的直径，? AM BM . ? SA 平面，BM ,? SA MB . ? AM SA A, ? BM 平面SAM . ? AN 平面SAM ,? BM AN . ? AN SM 于N , BM SM M , ? AN 平面SMB . ?/ AH SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影， ? NH SB . 解(2) ：由知，SA 平面AMB , BM 平面SAM , AN 平面SMB . ? SB AH 且SB HN , ? SB 平面ANH , ? 图中

22、共有 4 个线面垂直关系.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - -12 -(3)T SA 平面AMB，二SAB、SAM均为直角三角?/ BM 平面SAM，二BAM、BMS均为直角三角形. ?/ AN ANS、ANM、ANH 均为直角三角形. ?/ SB 平面ANH ,?SHA、BHA、SHN、BHN均为直角三角形. 由BM 由AN SA AM , SA AB , SA BM . BM AM , BM SM ,BM

23、AN AN SM , AN SB , AN NH . 由SB 平面ANH知, SB AH , SB HN . 综上，图中共有11 个直角三角形 . 综上，图中共有11 对互相垂直的直线. 说明：为了保证(3)(4) 答案不出错，首先应找准(2) 的答案，由 “ 线 面” 可得到 “ 线 面内线 ” ，当“ 线 面内线 ” 且相交时，可得到直角三角形；当“ 线面内线 ” 且不相交时 , 可得到异面且垂直的一对直线. 典型例题十例 11 如图所示，BAC 90 ?在平面 内，PA是 的斜线，PAB PAC 60 ?求PA与平面所成的角. 分析：求PA与平面所成角，关键是确定PA在平面 上射影AO的

24、位置 ?由PAB PAC，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO位置，构造直角三角形则需用三垂线定理. 解：如图所示，过P作PO 于0 .连结AO , 则A0为AP在面 上的射影，PAO为PA与平面 所成的角 . 作OM AC，由三重线定理可得PM AC . 作ON AB，同理可得PN AB . 由PAB PAC, PMA PNA 90 , PA PA,由SA 平面AMB知, 平面SAM知, 平面SMB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页

25、 - - - - - - - - - -13 -可得PMA 也PNA，二PM PN ?/ OM 、ON分别为PM、PN在 内射影， ? OM 所以点O在BAC的平分线上 . 设PA a，又PAM 60 ,? AM -a, OAM 2 45 , ? AO /2 .2AM a 2 在POA 中，cos PAO AO _2 PA 2 ，PAO 45，即PA 与所成角为45 . 说明: (1) 本题在得出PA在面 上的射影为BAC的平分线后 , 可由公式cos cos cos 来计算PA与平面 所成的角，此时PAC 60 , PAO , CAO (2) 由PA与平面 上射影为BAC平分线还可推出下面结

26、论：四面体P ABC中，若PAB PAC, PBA PBC，则点A在面ABC上的射影为ABC的内心 . 典型例题十二12如图所示，在平面内有ABC，在平面 外有点S，斜线SA AC ,SB BC , 且斜线SA、SB分别与平面的距离为4cm , AC BC , 且AB 6cm .求点S与直线所成的角相等，设点S与平面分析：由点S向平面 引垂线，考查垂足D的位置，连DB、DA，推得DA AC , DB BC，又ACB 90，故A、B、C、D为矩形的四个顶点. 解：作SD 平面，垂足为D，连DA、DB . ?/ SA AC , DB BC , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

27、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - -14 -? 由三垂线定理的逆定理，有：DA AC , DB BC , 又AC BC ,? ACBD为矩形 . 又? SA SB, ? DA DB , ? ACBD 为正方形，?AB、CD互相垂直平分 . 设0为AB、CD的交点，连结SO, 根据三垂线定理，有SO AB，则SO为S到AB的距离 . 1 在Rt SOD 中，SD 4cm, DO AB 3cm, 2 ?SO 5cm. 因此，点S到AB的距离为5cm. 说明：由本例可得

28、到点到直线距离的作法：(1) 若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求. (2) 若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离. (3) 处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算. 典型例题十三例 13 如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E、F、G，求证：AE SB, AG SD . 分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直

29、相互转化的思想.由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可. 欲证AE SB,可证AE 平面SBC , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - -15 -为此须证AE BC、AE SC,进而转化证明BC 平面SAB、SC 平面AEFG . 证明：? SA 平面ABCD , BC 平面ABCD , ? SA BC . 又? ABCD为正方形 , ? BC AB ?:.BC 平面ASB. ? AE 平面ASB, ?BC

30、 AE. 又? SC 平面AEFG , ?SC AE. ?AE 平面SBC . 又? SB 平面SBC , ?AE SB,同理可证AG SD . 说明： (1) 证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直. (2) 本题的证明过程中反复交替使用“ 线线垂直 ” 与“ 线面垂直 ” 的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性. 典型例题十四例 14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. 已知：BAC在平面 内，点P , PE AB , PF AC

31、 , PO ，垂足分别是E、F、O , PE PF ?求证：BAO CAO . 证明： ?/ PO , ?OE为PE在内的射影 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - -16 -?/ AB PE , AB 平面，?AB OE . 同理可证：AC OF . 又? PO , PE PF , OE OF , BAO CAO ?说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线

32、， 使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这 个角的平分线所在的直线 .由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知ACB 90 , S为平面ACB外一点，SCA SCB 60，求SC与平面ACB所成角 . 典型例题十五例 15 判断题：正确的在括号内打“V”号，不正确的打“X”号. (1) 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行. ( ) (2) 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直. ( ) (3) 垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. ( ) (4) 过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于 的平面内 .( ) (5

33、) 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( ) 解： (1) 直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行异面，因此应打 “ X”号(2) 该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系?若为平行，则该命题应打“ X”号；若为相交，则该命题应打“V”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“X”号. (3) 垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，.? 该命题应打“V”.(4) 前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一

34、点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，.? 该命题应打“V”号. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - -17 -(5)三条共点直线两两垂直，设为a , b , c且a , b , c共点于O , ? a b , a c, b c 0，且b , c确定一平面，设为，则a , 同理可知b垂直于由a , c确定

35、的平面，c垂直于由了确定的平面，? 该命题应打“ V”号. 说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题.解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用. 典型例题十六例 16 如图，已知空间四边形ABCD的边BC AC , AD BD，引BE CD , E为垂足，作AH BE于H，求证：AH 平面BCD . D分析：若证AH 平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可. 证明：取AB中点F，连CF、DF , ?/ AC BC ,? CF AB . 又? AD BD ,? DF AB , ? AB 平面CDF ,

36、又CD 平面CDF ,? CD AB 又CD BE ,? CD 平面ABE , CD AH , 又AH BE ,? AH 平面BCD . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - -18 -典型例题十七例 17如果平面与 外一条直线a都垂直b，那么a/ . 已知：直线a , a 直线b, b .求证：a/ . 分析：若证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线a，使得a / a，由线面平行判定定理得证 . 证明： 如图，

37、若a与b相交，则由a、b确定平面 ，设a.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - -19-b a ? bb a a a,b,a 如图，若a与b不相交 , all a又a a all则在a上任取一点A，过A作b llb , a、b确定平面，设v bllb b b 又a vb llb b a I I b a 又b ,a , a 典型例题十八例 18如图，已知在ABC中，BAC 60 ,线段AD 平面ABC , AH 平面

38、DBC , H为垂足 . 求证：H不可能是DBC的垂心 . 分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明.a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - -i20 -证明：如图所示，假设H是DBC的垂心，贝U BH DC . ?/ AH 平面DBC ,? DCAH , ? DC 平面ABH , ?AB DC . 又? DA 平面ABC , ? AB DA, ? AB 平面DAC , ? AB AC，这与已知BAC 60矛

39、盾，?假设不成立，故H不可能是DBC的垂心 . 说明：本题只要满足BAC 90，此题的结论总成立?不妨给予证明 . 典型例题十九例 19 在空间，下列哪些命题是正确的（）. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 平行于同一个平面的两条直线互相平行 垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅不正确B.仅、正确C.仅正确D.四个命题都正确分析：该命题就是平行公理，即课本中的公理4,因此该命题是正确的；如图，直线a 平面 ，b , c ，且be A，则a b, ac,即平面 内两条直交直线b , c 都垂直于同一条直线a，但b, c的位置关系并不是平行.另外，b ,

40、c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面夕卜，此时与a的位置关系仍是垂直，但此时，b , c的位置关系是异面 . d 如图， 在正方体ABCD ABiCiDi 中,易知AiBi /平面ABCD , AA/平面ABCD , 但AiBi ADi A,，因此该命题是错误的.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - -21 -(2) 若a，b分别垂直于平面、 ，且c， 贝U AB/C . 分析：依据直线和平面垂直的判定

41、定理证明AB ;证明线与线的平行, 由于此时垂直的关系较多， 因此可以考虑利用线面垂直的性质证明的交线为a, 典型例题二十例 20 设a，b为异面直线，AB为它们的公垂线(1) 若a，b都平行于平面，则AB 证明： (1) 如图 1,在 内任取一点P ,设直线a与点P确定的平面与平面设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b T a / , b/ , ? a / a , b/ b 又? AB a , AB b , ? AB a, AB b, ? AB . 如图 2,过B作BB ，则BB/a , 则AB BB 又? AB b , ? AB垂直于由b和BB确定的平面 .该命题是线面垂直的性质定理,

42、综上可知 、正确 . ? 应选 B. Aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - -22 -? c也垂直于由BB和b确定的平面 . 故cAB . 说明：由第 (2) 问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面 .然后借助于题目中的其他垂直关系证得. 典型例题二 一例 21 如图，在正方体ABC

43、D A1B1C1D1中，EF为异面直线A,D与AC的公垂线，求证：EF / BD1. 分析：证明EF / BD1，构造与EF、BD1都垂直的平面是关键.由于EF是AC和AD 的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用. 证明：连结A1C1，由于AC / AG , EF AC , ? EF A1C1.又EF AD , A1D AG A1 , ? EF 平面A1C1D . T BB1 平面A1BGD1, AG 平面A1B1C1D1 , ?- BB1A1C1 . T四边形A1B1C1D1为正方形 , AGB1D1 , B1D1 BB1 B1 ,? b ，二b c, BB BB c ?Aa名师资料总结

44、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - -23 -PC a, AIC1平面BB1D1D , 而BD1平面BB1D1D , ? A1C1 BD1 同理DC1BD1, DC1A1C1 C1 , ? BD1平面AGD . 由、可知：EF /BD1. 典型例题二十二例 22 如图，已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA PB 求P点到平面ABC的距离 . 分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长.

45、 解：过P作PO 平面ABC于0点，连AO、BO、CO , 二PO AO, PO BO, PO CO ? PA PB PC a, ? PAO 也PBO 也PCO , ? OA OB OC, ? O为ABC的外心 . ?/ PA、PB、PC两两垂直，?AB BC CA ,2a , ABC为正三角形，3 6 : 2 2、3 ?AO AB a PO PA AO a . 3 3 3 因此点P到平面ABC的距离a . 3 说明： （1）求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离. (2) 求距离问题转化到解三角形有关问

46、题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦 定理、B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - -24 -余弦定理及有关三角函数知识. (3) 点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结 . 典型例题二十三例 23 如图，已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，棱AA15 , AB 12，求直线BQ

47、和平面ABCDi的距离 . 分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解 . 解:如图，T BiCi / BC，且BiCi 平面ABCDi , BC 平面ABCDi , 二BiCi / 平面AiBCDi. 从而点Bi到平面ABCDi的距离即为所求. 过点B作BiE AB于E , ? BC平面AiABBi，且BiE 平面AAiBiB , ? BCBiE . 又BC B B , ? BiE 平面A BCDi. 即线段BiE的长即为所求 , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

48、名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - -25 -在Rt A1B1B 中，B1E A1B1BB60 A1B . 5212213 ? ?直线BQ1到平面ABCDr的距离为?13 说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学 思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解. 典型例题例 24 AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为30 , AD

49、 8cm, AB BC , DC BC ?求线段BC 的长 . 分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD、BC所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC之长 . 解：如图，在平面内，过A作AE/BC，过C作CE/AB，两线交于E . ? AE/ BC , ? DAE就是AD、BC所成的角 , DAE 30 . ?/ AB BC , ?四边形ABCE是矩形 ?连DE , ?/ BC CD , BC CE，且CD CE C , ? BC 平面CDE . ?/ AE/ BC , ? AE 平面CDE . v DE 平面CDE , ? AE DE .在Rt AED 中，得AE 4.3 , ? BC AE 4、. 3(cm). 说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -