2022年高中数学论文：对一道习题引发的思考 .pdf

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1、- 1 - 对一道习题引发的思考关键词：策略变式延拓一、初始问题的提出过抛物线)0(22ppxy的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为1y，2y，求证：221pyy（新教材第二册（上）P119第 7 题） 二、解题策略的研究“问题是数学的心脏” ，学习数学的过程与数学解题紧密联系，而数学能力的提高在于解题的质量而不是解题的数量，所以要重在研究解题的方向和策略，要善于从题目的条件和求解（求证）的过程中提取有用的信息，作用于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向，题目信息与不同数学知识的结合，

2、可能会形成多个解题方向对于上述命题，通过师生共同探讨，我们可得到如下一些有用信息：（1）由“221pyy” ，联想到韦达定理中的两根之积，从而形成解题方向一（2）抛物线的焦点弦，常规解决方法是利用抛物线定义进行转化，形成解题方向二（3）直线过焦点，事实上就是直线和抛物线的两个交点与焦点成三点共线，从三点共线的角度又可以形成四个解方向：利用直线方程解决；利用斜率公式解决；利用共线向量解决；利用定比分点公式解决具体证明如下：证法 1（利用违达定理）当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程为2px，代入pxy22得py，故221pyy成立当直线斜率存在时，设其方程为：)0()2(kpxky则2pkyx，

3、代入抛物线方程pxy22并整理得0222pkpy，由韦达定理知：221pyy得证证法 2（利用抛物线定义）记过焦点 F 的直线交抛物线交于两点P1，P2，并设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 2 - ),2(),2(22221211ypyPypyP过 P1，P2分别作准线的垂线P1P1， P2P2，P1、 P2为垂足由抛物线定义知| P1P2 |=| P1F |+| FP2 |= | P1P1 | + | P2

4、P2| 即ppyyyypypy2)()22(222122122221，两边平方整理得0)(2221pyy，所以221pyy证法 3（利用三点共线）（同证法二）由两点式可得焦点弦P1P2所在的直线方程为)2)()(22(211212122pyxyyyypypy， 而 焦 点)0,2(pF在 直 线 上 ， 则 有)22)()0)(22(211212122pypyyypypy整理得221pyy证法 4（利用斜率公式）略证法 5（利用共线向量）略证法 6（利用定比分点）（同证法二）设F分21pp的比为，则012122212221yyppypy由得21yy，代入并整理得221pyy通过引导学生从各种途

5、径，多角度地考虑问题，促使学生主动参与，积极探索、主动思考、主动创造，从而激发了学生的创造创新意识，培养了学生的创造能力三、问题的变式研究对于原命题，在探求原题的多种证法后，不要为一时的收获而“沾沾自喜”使思维停名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3 - 止不前，教师可进一步引导学生去发现，去寻求更一般的规律，原题是否可能推广、引申呢？通过师生共同探讨，不难获得如下新的规律结论 1 过抛物线)0(22ppxy焦点

6、的一条直线与抛物线交于不同的两点，若两交点横坐标为1x，2x，则4221pxx结论2 若一直线与抛物线pxy22的两交点坐标为（1x，1y） 、 （2x，2y） ，且4221pxx（或221pyy） ，那么该直线必过抛物线的焦点结论 3 若过点（ t，0）的直线与抛物线pxy22的两交点坐标为P1（1x，1y） ，P2（2x，2y） ，那么，Ptyy221，221txx证明类似于原命题）结论4 若一直线与抛物线pxy22的两交点坐标为（1x，1y） 、 （2x，2y） ，且221txx（或ptyy221） ，那么该直线必过点(t，0)通过对原命题的推广引申，不仅调动了学生的学习积极性，开拓了学

7、生的学习思路，而且使学生得到了创造性思维的锻炼，从而在培养和发展学生的创新能力上收到了很好的效果四、问题延拓的研究应用某些习题的结论和师生共同拓广所获得的新知识解决问题，不仅能使知识深化，而且也有可能使解题方法巧妙、简捷， 从而使学生体会创造的美感，激发学生的创造热情，培养自觉、自主的创造品质应用 1 过抛物线)0(22ppxy焦点 F 的一条直线与它交于P、Q 两点，通过P和抛物线顶点O 的直线交准线于点M求证：直线MQ 平行于抛物线的对称轴（平几课本P102第 13 题） 证明：设 P、Q 坐标于为),2(121ypy，),2(222ypy，则 PO 所在直线方程为xypy12，令2px得

8、12ypyM，又221pyy，即122ypy，所以，Myy2，从而MQ 平行于 x 轴应用 2 已知抛物线)0(22ppxy，求证：在 OX 上存在一点M，使过 M 的弦 P1P2总满足9021OPP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 4 - 证明设弦 P1P2与 OX 轴的交点为（ t，0） ，且 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，由结论3 知，x1x2=t2且ptyy221， 为了使9021OPP，

9、只需02121yyxx即ptptt2,022. 应用 3 已知AOB是以原点 O为直角顶角的抛物线)0(22ppyx的内接直角三角形，求AOB面积最小值解设 A)2,(211pxx，B)2,(222pxx，因为90AOB，由应用 2 知弦 AB 与抛物线对称轴交点为（0，2p） ，由结论 3 知2214pxx，又)4(4|),4(4|22222222212212pxpxOBpxpxOA，于是|21OBOASAOB)(43221)4)(4(8|222124222221221xxpppxpxpxx221244|83221pxxpp，所以，当|21xx，即)2,2(ppA)2,2(ppB时，AOB的

10、面积取得最小值24p研究问题的目的之一是掌握新知识，解决新问题，也是创新意识的表现，通过利用师生共同探讨获得新知识解决相关问题，可使学生深刻体会创造的喜悦，富有新意五、思考在数学教学中，若教师有目的有意识地引导学生研究课本中的一些典型习题，揭示出其丰富的内涵，则不仅有利于学生掌握基础知识，而且对于培养应变能力，开拓思路，活跃思维都是有益的，同时对于目前高考命题的“源于课本而高于课本，考活题考能力”的原则也有一定的针对性，更重要的是与素质教育要求的“要重视知识的形成过程和发展过程，培养学生创新精神”的本质相吻合教师在要求学生完成课本习题的同时，对一些典型习题要引导学生挖掘其潜力的功能进行多方探讨，以深化拓广所学知识，培养学生的数学兴趣，提高学生的探索创新能力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -