2022年高中数学立体几何常考证明题汇总 .pdf

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1、新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD是空间四边形，,E F G H分别是边,AB BC CD DA的中点（1）求证： EFGH 是平行四边形（2）若 BD=2 3，AC=2 ，EG=2 。求异面直线AC 、BD所成的角和EG 、BD所成的角。证明：在ABD中，,E H分别是,AB AD的中点1/,2EHBD EHBD同理，1/,2FGBD FGBD/,EHFG EHFG四边形EFGH是平行四边形。(2) 90 30 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面 CDE; （2）平面

2、CDE平面ABC。证明：（1）BCACCEABAEBE同理，ADBDDEABAEBE又CEDEEAB平面CDE（2）由（ 1）有AB平面CDE又AB平面ABC，平面CDE平面ABC考点：线面垂直，面面垂直的判定A H G F E D C B A E D B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3、如图，在正方体1111ABCDA B C D中，E是1AA的中点，求证：1/AC平面BDE。证明：连接AC交BD于O，

3、连接EO，E为1AA的中点，O为AC的中点EO为三角形1A AC的中位线1/EOAC又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外1/AC平面BDE。考点：线面平行的判定4、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC证明：90ACBBCAC又SA面ABCSAB CBC面SACBCAD又,SCAD SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCDA B C D，O是底ABCD对角线的交点. 求证： () C1O面11ABD；(2)1AC面11AB D证明：（1）连结11AC，设11111A CB DO，连结1AO1111ABCDA B C D是正方体1

4、1A ACC是平行四边形A1C1AC 且11A CAC又1,O O分别是11,ACAC的中点， O1C1AO 且11O CAO11AOC O是平行四边形111,C OAOAO面11AB D，1C O面11AB DC1O面11AB D（2）1CC面1111A B C D11!C CB D又1111ACB D，1111B DA C C面111A CB D即同理可证11ACAD，又1111D BADD1AC面11AB D考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定AE D1 CB1D C B A SDCBAD1ODBAC1B1A1C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

5、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - NMPCBA6、正方体ABCDA B C D中，求证：（1）ACB D DB平面； （2）BDACB平面. 考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD A1B1C1D1中 (1)求证：平面A1BD平面 B1D1C；(2)若 E、F 分别是 AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面 FBD 证明： (1)由 B1BDD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，B1D1BD，又 BD 平面 B1D1C，B1D1平面 B1D1C， BD平面 B

6、1D1C同理 A1D平面 B1D1C而 A1DBDD，平面 A1BD平面 B1CD(2)由 BDB1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1中点 G， AEB1G从而得 B1EAG，同理 GFADAGDF B1EDFDF 平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD中，,ACBD E F分别为,AD BC的中点， 且22EFAC，90BDC，求证：BD平面ACD证明：取CD的中点G，连结,EG FG，,E F分别为,AD BC的中点，EG12/AC12/FGBD，又,ACBD12FGAC，在EFG中，222212EGFGACEFEGFG

7、，BDAC，又90BDC，即BDCD，ACCDCBD平面ACD考点：线面垂直的判定, 三角形中位线，构造直角三角形9、如图P是ABC所在平面外一点，,PAPB CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，3ANNB（1）求证：MNAB； （2）当90APB，24ABBC时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结,MQ NQ，M是PB的中点，/MQBC，CB平面PAB，MQ平面PABQN是MN在平面PAB内的射影， 取AB的中点D， 连结PD，,P AP BPDAB，又3ANNB，BNND/QNPD，QNAB，由三垂线定理得MNAB（ 2）90APB，,PAPB122PDAB，1QN，

8、MQ平面PAB.MQNQ，且112MQBC，2MN考点：三垂线定理A1 AB1 BC1 CD1 DGEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 10、如图，在正方体1111ABCDA B C D中，E、F、G分别是AB、AD、11C D的中点 . 求证：平面1D EF平面BDG.证明：E、F分别是AB、AD的中点，EFBD又EF平面BDG，BD平面BDGEF平面BDG1D GEB四边形1D GBE为平行四边形，1D EG

9、B又1D E平面BDG，GB平面BDG1D E平面BDG1EFD EE，平面1D EF平面BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体1111ABCDA B C D中，E是1AA的中点 .（1）求证：1/AC平面BDE；（2）求证：平面1A AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，E、O分别是1AA、AC的中点，1ACEO又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC平面BDE（2）1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD又BDAC，1ACAAA，BD平面1A AC，BD平面BDE，平面BDE平面1A AC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定12

10、、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点（1）求证：DE平面PAE； （2）求直线DP与平面PAE所成的角证明：在ADE中，222ADAEDE，AEDEPA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt PAD，4 2PD，在Rt DCE中，2 2DE在Rt DEP中，2PDDE，030DPE考点：线面垂直的判定, 构造直角三角形13 、如图， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形， 侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G为AD的中点，求证：

11、BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB（3）由ADPB，ADBC，BCPB又BGAD，ADBC，BGBCPBG为二面角ABCP的平面角在Rt PB

12、G中，PGBG，045PBG考点：线面垂直的判定, 构造直角三角形, 面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图 1,在正方体1111ABCDA B C D中，M为1CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：1AO平面 MBD 证明：连结MO，1A M， DB1A A，DB AC，1A AACA，DB平面11A ACC，而1AO平面11A ACCDB1AO设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa在 Rt11A C M中，22194A Ma 22211AOMOA M， 1A OO MOMDB=O，1AO平面 MBD 考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如

13、图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD证明：取AB的中点，连结CF，DFACBC，CFABADBD，DFAB又CFDFF，AB平面CDFCD平面CDF，CDAB又CDBE，BEABB，CD平面ABE，CDAHAHCD，AHBE，CDBEE，AH平面BCD考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中， A1C平面 BC1D D1C1A1B1D C A B证明：连结AC B DA C AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

14、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - BD A CA C BCA CBC D11111同理可证平面考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且 ASB= ASC=60 ， BSC=90，求证：平面 ABC 平面 BSC证明 SB=SA=SC， ASB= ASC=60 AB=SA=AC取 BC 的中点 O，连 AO 、SO，则 AOBC，SOBC， AOS 为二面角的平面角， 设 SA=SB=SC=a ， 又 BSC=90， BC=2a， SO=22a，AO2=AC2OC2=a221a2=21a2， SA2=AO2+OS2， AOS=90，从而平面ABC 平面 BSC考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -