2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程..第课时椭圆的标准方程及性质的应用学业分层测评新人教A版选修- .pdf

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1、1 【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第二章 圆锥曲线与方程2.2.2 第 2 课时 椭圆的标准方程及性质的应用学业分层测评新人教 A版选修 2-1 ( 建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题1已知椭圆x23y241 上的焦点为F，直线xy10 和xy10 与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF| |BF| |CF| |DF| ( ) A23 B43 C4 D8 【解析】由题可得a2. 如图， 设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD. 由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1为平行四边形，|AF1| |FD| ，同理可得

2、 |BF1| |CF| ，|AF| |BF| |CF| |DF| |AF| |BF| |BF1| |AF1| 4a8，故选 D. 【答案】D 2若直线yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则m的取值范围是 ( ) A( ， 0) (1，)B(1 ，3) (3，)C( ， 3)( 3，0) D(1 ，3) 【解析】由yx2，x2my231，消去y，整理得 (3 m)x24mxm0. 若直线与椭圆有两个公共点，则3m0，（ 4m）24m（3m）0，解得m 3，m1.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

3、- - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 由x2my231 表示椭圆，知m0 且m3. 综上可知，m1 且m3，故选 B. 【答案】B 3若点P(a，1)在椭圆x22y231 的外部，则a的取值范围为 ( ) A. 233，233B.233， ，233C.43，D. ，43【解析】因为点P在椭圆x22y231 的外部，所以a221231， 解得a233或a233，故选 B. 【答案】B 4椭圆mx2ny21(m0，n0 且mn) 与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是 ( ) A.22B.233C.9

4、22D.2327【解析】联立方程组可得y1x，mx2ny21，得(mn)x22nxn10，设M(x1，y1) ，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0 x1x22nmn，y01x01nmnmmn. kOPy0 x0mn22. 故选 A. 【答案】A 5已知椭圆C：x22y21 的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若FA3FB，则 |AF| ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - -

5、- 3 A.2 B2 C.3 D3 【解析】设点A(2 ，n) ，B(x0，y0) 由椭圆C：x22y21 知a22，b21，c21，即c1，右焦点F(1 ，0)由FA3FB，得 (1 ，n) 3(x01，y0) 13(x01) 且n3y0. x043，y013n. 将x0，y0代入x22y21，得1243213n21. 解得n21，|AF| （21）2n2112. 【答案】A 二、填空题6若直线xym0 与椭圆x29y21 有且仅有一个公共点，则m_. 【导学号： 18490053】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到 10y22mym290，令 0，解得m10. 【答案】10 7已

6、知F1为椭圆C：x22y21 的左焦点，直线l：yx1 与椭圆C交于A，B两点，那么 |F1A| |F1B| 的值为 _【解析】设点A(x1，y1) ，B(x2，y2)(x1x2)，由x22y22，yx1，消去y，得 3x24x0. A(0， 1) ，B43，13. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 |AB| 423，|F1A| |F1B| 4a|AB| 42423823. 【答案】8238过椭圆x25y241

7、 的右焦点F作一条斜率为2 的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 _【解析】由已知可得直线方程为y2x2，联立方程组x25y241，y2x2，解得A(0 ， 2)，B53，43，SAOB12|OF| |yAyB| 53. 【答案】53三、解答题9已知椭圆4x2y21 及直线yxm. (1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2) 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程【解】(1) 由题意得4x2y21，yxm，消去y，整理得：5x22mxm210. 直线与椭圆有公共点，4m220(m21) 2016m20，52m52. (2) 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)

8、 ，B(x2，y2) ，则由 (1) 得x1x22m5，x1x2m215.|AB| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x21k2425m24（m21）5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 2254m25. 52m52，0m254，当m0 时， |AB| 取得最大值，此时直线方程为yx，即xy0. 10已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0) 的一个顶点为A(2 ，0) ，离心率为22，直线yk(x1)

9、 与椭圆C交于不同的两点M，N. (1) 求椭圆C的方程；(2) 当AMN的面积为103时，求k的值【解】(1) 由题意得a2，ca22，a2b2c2，解得b2，所以椭圆C的方程为x24y221. (2) 由yk（x1），x24y221，得(1 2k2)x24k2x2k240，设点M，N的坐标分别为 (x1，y1) ，(x2，y2) ，则y1k(x11) ，y2k(x21) ，x1x24k212k2，x1x22k2412k2，所以 |MN| （x2x1）2（y2y1）2（1k2） （x1x2）24x1x2 2（1k2）（46k2）12k2，又因为点A(2 ，0) 到直线yk(x1) 的距离d|

10、k|1k2，所以AMN的面积为S12|MN| d|k|46k212k2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 由|k|46k212k2103，化简得 7k42k250，解得k1. 能力提升 1设F1，F2为椭圆x24y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则PF1PF2的值等于 ( ) A0 B2 C4 D 2 【解析】由题意得ca2b23，又S四边形PF1

11、QF22SPF1F2212|F1F2| h(h为F1F2边上的高 ) ，所以当hb1 时，S四边形PF1QF2取最大值，此时F1PF2120. 所以PF1PF2|PF1| |PF2| cos 120 2212 2. 故选 D. 【答案】D 2过椭圆x26y251 内一点P(2 ，1) 的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A5x 3y130 B5x3y130 C5x 3y130 D5x3y130 【解析】设弦的两端点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，联立方程组5x216y2130，5x226y2230，两式作差可得：5(x1x2)(x1x2) 6(y1y2)(y1y2) ，

12、又弦的中点为(2， 1) ，可得x1x24，y1y22，将代入式可得ky1y2x1x253，故直线的方程为y153(x2) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 化为一般式为5x3y130，故选 C. 【答案】C 3斜率为 1 的直线l与椭圆x24y21 相交于A，B两点，则 |AB| 的最大值为 _. 【导学号： 18490054】【解析】法一设直线l的方程为yxt，由yxt，x24y21，消去y，得x24(x

13、t)21，整理得 5x28tx4(t21) 0. 64t280(t21)0 ，5tb0) 的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1) 求椭圆的方程；(2) 设A，B分别为椭圆的左、 右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若ACDBADCB8，求k的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 【解】(1) 设F( c，0)，由ca33，知a3c. 过点F且与x轴垂

14、直的直线为xc，代入椭圆方程有（c）2a2y2b21，解得y6b3，于是26b3433，解得b2，又a2c2b2，从而a3，c1，所以椭圆的方程为x23y221. (2) 设点C(x1，y1) ，D(x2，y2) ，由F(1，0) 得直线CD的方程为yk(x1) ，由方程组yk（x1），x23y221，消去y，整理得 (2 3k2)x26k2x3k260. 可得x1x26k223k2，x1x23k2623k2. 因为A( 3，0) ，B(3，0) ，所以ACDBADCB(x13，y1) (3x2，y2) (x23，y2) (3x1，y1) 62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21) 6(2 2k2)x1x22k2(x1x2) 2k262k21223k2. 由已知得 62k21223k28，解得k2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -