2022年高中抛物线知识点归纳总结 .pdf

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1、抛物线) 0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。MFM=点 M到直线 l 的距离 范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1 准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径11(,)A xy12pAFx12pAFx12pAFy12pA

2、Fy焦 点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yypxyOlFxyOlFlFxyOxyOlF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 焦点弦AB 的几条性质11(,)A xy22(,)B xy以AB为直径的圆必与准线 l 相切若AB的倾斜角为，则22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124px x212y yp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp?切线方程00()y yp x

3、x00()y yp xx00()x xp yy00()x xp yy一直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时，0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点；0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定）二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：bkxy抛物线，)0( p联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0 , 以

4、及2121,xxxx，还可进一步求出oxFy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.相交弦 AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b. 中点),(00yxM, 2210 x

5、xx，2210yyy点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy2222 pxy将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，212yypkABb.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段AB的 中 点 为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线 l 与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的

6、交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点P 到点 Q（2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。 （41,1）2、已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P 到点（ 0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为。1723、直线3yx与抛物线24yx交于,A B两点，过,A B两

7、点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q，则梯形APQB的面积为。484、设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypx p的焦点，A是抛物线上的一点，FAu u u r与x轴正向的夹角为60o，则OAuuu r为。5、抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是。4 36、 已知抛物线2:8Cyx的焦点为F， 准线与x轴的交点为K， 点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为。87、已知双曲线22145xy，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点(2,1)

8、A,若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypx p则该抛物线的方程是。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点 P(2，4)，则该抛物线的方程是。28yx10、抛物线2yx上的点到直线4380 xy距离的最小值是。4311、已知抛物线y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是。3212、 若曲线2y|x|1 与直线ykxb没有公共点， 则k、b分别应满足的条件是。k=0,-1b2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“ 相关弦 ”.给定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

9、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - x02.（1）证明：点P（x0,0）的所有 “ 相关弦 ” 的中点的横坐标相同；（2）试问：点 P （ x0,0）的“ 相关弦 ” 的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值 （用 x0表示）：若不存在，请说明理由.解: （1）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条 “ 相关弦 ” ，且点 A、B 的坐标分别是（x1,y1） 、 （x2,y2）（x1x2）,则 y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（ y1+y2） （

10、 y1-y2）=4（x1-x2）.因为 x1x2,所以 y1+y20.设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是M（xm, ym）,则 k=12121242myyxxyyy.从而 AB 的垂直平分线l 的方程为().2mmmyyyxx又点 P（x0,0）在直线l上，所以0().2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故点 P（x0,0）的所有 “ 相关弦 ” 的中点的横坐标都是x0-2.(2)由(1)知，弦 AB 所在直线的方程是()mmyyk xx，代入24yx中，整理得2222 ()2()0.mmmmk xk ykxxykx（ ）则12xx、是方程（ ）的两个实根，且2122().m

11、mykxxxk设点 P的“ 相关弦 ”AB的弦长为 l，则22222121212()()(1)()lxxyykxx22221212122222224222222200(1)()44(1)()2()44(1)4(4)(4)4(1)164(1)2(1)4(1)2(3) .mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxx xkxx xyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因为 02my3,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若 2x03,则 2(x0-3)0,g(t)在区间（ 0，4 x0-8）上是减函数，所以0l2

12、3 时，点 P（x0,0）的 “ 相关弦 ” 的弦长中存在最大值，且最大值为2（ x0-1） ；当20)的焦点为 F，准线为 l ，经过 F 的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于 C点，点 A在 x 轴上方， AK l ，垂足为 K，若| BC | 2| BF | ，且| AF|4，则 AKF的面积是 ( ) A4 B33 C43 D8 例 4、过抛物线 y22px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点A、 B，交其准线 l 于点 C，若|BC| 2|BF| ，且|AF| 3 则此抛物线的方程为 ( ) Ay232xBy29x Cy292x Dy23x三、抛物线的综合问题例 5、(2011江西

13、高考 ) 已知过抛物线 y22px( p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B( x2，y2)( x10)上，M点到抛物线 C的焦点 F 的距离名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 为 2，直线l：y12xb与抛物线C交于A，B两点(1) 求抛物线 C的方程；(2) 若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程例题答案解析一、抛物线的定义及其应用例 1、(1) 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0

14、) ，准线是 x1. 由抛物线的定义知：点P到直线 x1 的距离等于点 P到焦点 F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点 P到点 A( 1,1) 的距离与点 P到 F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为 |AF| ，即为5. (2) 如图，自点 B 作 BQ垂直准线于 Q ，交抛物线于点P1，则| P1Q | | P1F|. 则有| PB | PF | | P1B| | P1Q | | BQ | 4. 即| PB | | PF| 的最小值为 4. 例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即 p4，根据已 知只要 | FM |4 即可根据抛物线定 |

15、FM | y02 由 y024，解得 y02，故 y0 的取值范围是 (2 ， )二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、 设点 A( x1， y1) ， 其中 y10.由点 B作抛物线的准线的垂线， 垂足为 B1. 则有 |BF| BB1| ；又| CB | 2| FB | ，因此有 | CB | 2| BB1| ，cosCBB1| BB1| BC |12， CBB13.即直线 AB与 x 轴的夹角为3. 又| AF | | AK | x1p24，因此 y14sin323，因此AKF的面积等于12| AK | y11242343. 例 4分别过点 A、B 作 AA1、BB1垂直于 l ，且垂足

16、分别为A1、B1，由已知条件 | BC | 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2| BF | 得| BC | 2| BB1| ， BCB130，又 | AA1| | AF | 3，| AC | 2| AA1| 6，| CF | | AC | | AF | 633，F 为线段 AC的中点故点F到准线的距离为 p12| AA1| 32，故抛物线的方程为y23x. 三、抛物线的综合问题例 5、 (1) 直线 AB的方

17、程是 y22(xp2) ， 与 y22px 联立， 从而有 4x25pxp20，所以： x1x25p4，由抛物线定义得： | AB | x1x2p9，所以 p4，从而抛物线方程是y28x. (2) 由 p4,4 x25pxp20 可简化为 x25x40，从而 x11， x24，y122，y242，从而 A(1 ，22)，B(4,42)；设OCuuu r(x3，y3)(1，22) (4,42)(4 1,422 2) 又 y238x3，即22(21)28(41)即(21)241. 解得0，或2. 例 6、 (1) 设动点 P的坐标为 ( x，y)，由题意有x12y2| x| 1. 化简得 y22x

18、2| x|. 当 x0 时，y24x；当 x0 时，y0. 所以，动点 P的轨迹 C的方程为 y24x( x0)和 y0(x0)的准线为 xp2，由抛物线定义和已知条件可知| MF | 1( p2)1p22，解得 p2, 故所求抛物线 C的方程为 y24x. (2) 联立y12xb，y24x消去 x 并化简整理得 y28y8b0. 依题意应有 6432b0，解得 b2. 设 A(x1，y1) ，B( x2，y2) ，则 y1y28，y1y28b，设圆心 Q (x0，y0)，则应用 x0 x1x22，y0y1y224. 因为以 AB为直径的圆与 x 轴相切，所以圆的半径为r| y0| 4. 又|

19、 AB | x1x22y1y2214y1y225y1y224y1y2 56432b所以| AB | 2r 56432b8，解得 b85. 所以 x1x22b2y12b2y24b16485，则圆心 Q的坐标为 (245，4)故所求圆的方程为 (x245)2( y4)216. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 练习题1 已知抛物线 x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a等于 ( ) A1 B4 C8 D

20、 16 2抛物线 y4x2上的一点 M到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是 ( ) A1716B1516 C.716D.15163(2011辽宁高考 ) 已知 F 是拋物线 y2x 的焦点， A，B是该拋物线上的两点， | AF| BF | 3，则线段 AB的中点到 y 轴的距离为 ( ) A.34B1 C.54D.744已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A相离B相交 C相切D不确定5(2012宜宾检测 ) 已知 F 为抛物线 y28x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B两点，则| FA | FB |的值等于( ) A4 2 B

21、8C 82 D16 6在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3) 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A( 2,1) B(1,2) C(2,1) D (1,2) 7设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l ，P为抛物线上一点， PA l ，A为垂足如果直线 AF的斜率为3，那么 | PF| ( ) A43 B8 C83 D16 8(2011陕西高考 ) 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x9(2012永州模拟 ) 以抛物线 x216y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 _10已知

22、抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q ( 3，m ) 到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为 _11已知抛物线 y24x 与直线 2xy40 相交于 A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FAuuu r| |FBuuu r| _. 12过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A( x1，y1)，B( x2， y 2)两点，若 x1x26，那么 | AB | 等于_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - -

23、13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1) 抛物线的焦点是双曲线 16 x29y2144 的左顶点；(2) 过点 P(2 ，4) 14已知点 A( 1,0) ，B(1，1)，抛物线 C ：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线 l 交抛物线 C于 M ，P两点，直线 MB交抛物线 C于另一点 Q . 若向量 OMuuu u r与OPuuu r的夹角为4，求POM的面积练习题：1解析 ：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0 ，a4)，双曲线的上焦点为 (0,2) ，依题意则有a42 解得 a8. 2解析：抛物线方程可化为x2y4，其准线方程为 y116. 设 M ( x0，y0)，则由抛物线的定义

24、，可知116y01? y01516. 3解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB中点到 y 轴的距离为：12(| AF|名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - |BF|) 14321454. 4解析 ：设抛物线焦点弦为AB ，中点为 M ，准线 l ，A1、B1分别为 A、B在直线 l 上的射影，则 | AA1| | AF | ，| BB1| | BF | ，于是 M到 l 的距离 d12(| AA1| |

25、 BB1|) 12(| AF| BF |) 12| AB | 半径，故相切5解析 ：依题意 F(2,0) ，所以直线方程为yx2 由yx2，y28x，消去 y 得 x212x40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则|FA| |FB| |(x12) (x22)| |x1x2| (x1x2)24x1x2144168 2. 6解析 ：如图所示，直线l 为抛物线 y2x2的准线， F 为其焦点 ，PN l ，AN1l ，由抛物线的定义知， | PF | | PN | ，| AP | | PF | AP | | PN | | AN1| ，当且仅当 A、P、N三点共线时取等号 P点的横坐标与 A

26、点的横坐标相同即为1，则可排除 A、C、D.答案： B 7解析 ：设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l ，P为抛物线上一点， PA l ，A为垂足如果直线 AF的斜率为3，那么 | PF| ( ) A43 B8 C83 D16 8解析 ：由准线方程 x2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得 p4，所以标准方程为 y 22px8x9解析 ：抛物线的焦点为F(0,4) ，准线为 y4，则圆心为 (0,4) ，半径 r 8. 所以，圆的方程为x2(y4)264. 10 解析： 设抛物线方程为x2ay(a0)， 则准线为 ya4. Q ( 3， m )在抛物线上，9am .

27、 而点 Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，| m ( a4)| 5. 将 m 9a代入，得|9aa4| 5，解得， a2，或 a18，所求抛物线的方程为x22y，或 x218y. 11解析：由y24x2xy40，消去 y，得 x25x40(*) ，方程(*) 的两根为 A、B两点的横坐标，故x1x25，因为抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0) ，所以 |FAuu u r| |名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - -

28、- FBuuu r| ( x11) ( x21)7 12解析 ：因线段 AB过焦点 F，则| AB | | AF | | BF |. 又由抛物线的定义知 | AF | x11，| BF | x21，故| AB | x1x228. 13解析 ：双曲线方程化为x29y2161，左顶点为 (3,0) ，由题意设抛物线方程为y22px( p0)，则p23，p6，抛物线方程为 y212x. (2) 由于 P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx或 x2ny，代入 P点坐标求得 m 8，n1，所求抛物线方程为y28x 或 x2y. 14解 ：设点 M (y214，y1) ，P

29、(y224，y2) ，P，M ，A三点共线，kAMkPM，即y1y2141y1y2y214y224，即y1y2141y1y2，y1y24. OMuuuu r OPuuu ry214y224y1y25. 向量OMuuuu r与 OPuuu r的夹角为4，| OMuuuu r| |OPuuu r | cos45. SPOM12| OMuuu u r| | OPuuu r| sin452.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -