2022年高中数学圆锥曲线题型总结 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载直线和圆锥曲线常考题型运用的知识 :1、中点坐标公式:1212,y22xxyyx,其中, x y是点1122(,)(,)A xyB xy,的中点坐标。2、弦长公式:若点1122(,)(,)A x yB xy,在直线(0)ykxb k上,则1122ykxbykxb,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)()4kxxx x或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)()4yyy yk。3、两条直
2、线111222:,:lyk xb lyk xb垂直:则121k k两条直线垂直,则直线所在的向量120v v4、韦达定理:若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,x x,则1212,bcxxx xaa。常见的一些题型:题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点,求m的取值范围解:根据直线:1lykx的方程可知,直线恒过定点(0,1) ,椭圆22:14xyCm过动点0),4mm( ,且,如果直线:1lykx和椭圆22:14xyCm始终有交点,则14mm,且,即14mm且。规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的
3、特点::10 1lykx过定点(, ):(1)1lyk x过定点(,0):2(1)1lyk x过定点(,2)题型二:弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N :2yx交于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在一点E(0 x,0),使得ABE是等边三角形, 若存在,求出0 x;若不存在,请说明理由。解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下
4、载设直线:(1)lyk x,0k,11(,)A xy,22(,)B xy。由2(1)yk xyx消 y 整理,得2222(21)0k xkxk由直线和抛物线交于两点,得2242(21)4410kkk即2104k由韦达定理,得:212221,kxxk121x x。则线段 AB 的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为:221112()22kyxkkk令 y=0,得021122xk,则211(,0)22EkABE为正三角形,211(,0)22Ek到直线 AB 的距离 d 为32AB。221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223 141122kkkkk解
5、得3913k满足式此时053x。题型三:动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆C:22221(0)xyabab的离心率为32,且在 x 轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(II)若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点T,点 P 为直线l上异于点 T 的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点,试问直线MN是否通过椭圆的
6、焦点?并证明你的结论解: (I)由已知椭圆C 的离心率32cea,2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy(II)设11(,)M xy,22(,)N xy,直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)yk x,由122(2)44yk xxy消 y 整理得222121(14)161640kxk xk12x和是方程的两个根,21121164214kxk则211212814kxk,1121414kyk,即点 M 的坐标为2112211284(,)1414kkkk,同理,设直线A2N 的斜率为 k2,则得点 N 的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)pp
7、yk tykt12122kkkkt,直线 MN 的方程为:121121yyyyxxxx,令 y=0 ,得211212x yx yxyy,将点 M、N 的坐标代入,化简后得:4xt又2t,402t椭圆的焦点为( 3,0)43t,即4 33t故当4 33t时, MN 过椭圆的焦点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载题型四:过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点A、B、C 是椭圆 E:22221x
8、yab(0)ab上的三点,其中点A(23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心 O,且0AC BC,2BCAC,如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程;(II) 若椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得直线PC 与直线 QC 关于直线3x对称,求直线PQ 的斜率。解: (I) 2BCAC,且 BC 过椭圆的中心O OCAC0AC BC2ACO又A (23,0)点 C 的坐标为(3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点,2 3a,则椭圆方程为:222112xyb将点 C( 3,3)代入方程,得24b,椭圆 E 的方程为221124xy(II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x对称,设直
9、线 PC 的斜率为k,则直线QC 的斜率为k,从而直线PC 的方程为:3(3)yk x,即3(1)ykxk,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由223(1)3120ykxkxy消 y,整理得:222(13)6 3 (1)91830kxkk xkk3x是方程的一个根,229183313Pkkxk即2291833(1 3)Pkkxk同理可得:2291833(1 3)Qkkxk3(1)3(1)PQPQ
10、yykxkkxk()2 3PQk xxk2123(13)kk2222918391833(13)3(1 3)PQkkkkxxkk2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线 PQ 的斜率为定值13。题型五:共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线M:22194xy于 P、Q 两点,且DPDQl=uuu ruuu r,求实数l的取值范围。解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2), Q DPDQl=uuu ruuu r(x1,y1-3)=l(x2,y2-3) 即12123(3)xxyyll =?=+-? ?方法一:方程组消元法又QP、Q 是椭圆29x+24y=1 上的点222
11、22222194()(33 )194xyxylll?+=?+-?+=? ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载消去 x2,可得222222(33 )14yyllll+-=-即 y2=1356ll-又Q2y22,21356ll-2 解之得:155则实数l的取值范围是1,55。方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为:3,0ykxk,由2234936ykxxy消 y 整理后,得22(
12、49)54450kxkxP、Q 是曲线 M 上的两点22(54 )445(49)kk2144800k即295k由韦达定理得:1212225445,4949kxxx xkk212121221()2xxxxx xxx222254(1)45(49)kk即22223694415(1)99kkk由得211095k,代入,整理得236915(1)5,解之得155当直线 PQ 的斜率不存在,即0 x时,易知5或15。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 15 页 - - -
13、- - - - - - 学习好资料欢迎下载总之实数l的取值范围是1,55。题型六:面积问题例题 6、已知椭圆C:12222byax(ab0)的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。()求椭圆C 的方程;()设直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点O 到直线 l 的距离为23,求 AOB 面积的最大值。解: ()设椭圆的半焦距为c,依题意633caa,1b,所求椭圆方程为2213xy。()设11()A xy,22()B xy,。(1)当ABx轴时,3AB。(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为ykxm。由已知2321mk,得223(1)4mk。把ykxm代入椭圆方程,整
14、理得222(31)6330kxkmxm,122631kmxxk,21223(1)31mx xk。22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31k mmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2422212121233(0)34196123696kkkkkk。当且仅当2219kk,即33
15、k时等号成立。当0k时,3AB,综上所述max2AB。当AB最大时,AOB面积取最大值max133222SAB。题型七:弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A、B 两点。()若点N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB 面积的最小值;()是否存在垂直于y 轴的直线l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。()依题意,点N 的坐标为 N(0,-p),可设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得.
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