2022年高中数学三角函数疑点难点讲解 2.pdf

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1、高中数学三角函数疑点难点讲解【考点审视】1、 掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）2、 提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、 和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。3、 解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。4、 熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。5、 掌握)sin(xAy等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。6、 解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角

2、转化意识。8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、概念不清例 1 若、为第三象限角，且，则（）（A）coscos（B）coscos（C）coscos（D ）以上都不对错解选（ A）分析：角的概念不清，误将象限角看成类似)23,(区间角。如取34,672，可知（ A）不对。用排除法，可知应选（ D） 。二、以偏概全例 2 已知msin，求cos的值及相应的取值范围。错解当是第一、四象限时，21cosm，当是第二、三象限时，21cosm。分 析 ： 把限 制 为 象 限 角 时 ， 只 考 虑1|m且0m的 情 形 ， 遗 漏 了 界 限 角 。 应

3、 补 充 ： 当1|m时 ，0cos),(2Zkk；当0m时，1cos),(Zkk，或1cos。三、忽略隐含条件例 3 若01cossinxx，求x的取值范围。错解移项得1cossinxx，两边平方得)(222,02sinZkkxkx那么即)(2Zkkxk分析：忽略了满足不等式的x在第一象限，上述解法引进了1cossinxx。正解：1cossinxx即1)4sin(2x，由22)4sin(x得)(432442Zkkxk)(222Zkkxk四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设、为锐角，且+120，讨论函数22coscosy的最值。错解)cos(211)cos()cos(1)2

4、cos2(cos211y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 可见，当1)cos(时，23maxy；当1)cos(时，21miny。分析：由已知得90,30，6060，则1)cos(21当1)cos(，即60时，21miny，最大值不存在。五、忽视应用均值不等式的条件例 5 求函数)20,0(sincos2222xbaxbxay的最小值。错解)12sin0(42sin4cossin2sincos)2()1(2222xa

5、bxabxxabxbxay当12sin x时，aby4min分析：在已知条件下， （1） 、 （2）两处不能同时取等号。正解：2222222222222)(2)cottan()cot1()tan1 (baabbaxbxabaxbxay当且仅当xbxacottan，即abxtan，时，2min)(bay专题四：三角函数【经典题例】例 1：点 P从（ 1，0）出发，沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达Q 点，则 Q 点的坐标为（）（ A）)23,21(（B）)21,23(（C）)23,21(（D）)21,23( 思路分析 记POQ，由三角函数定义可知Q 点的坐标),(yx满足sin,cos

6、ryrx，故选（ A） 简要评述 三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。例 2：求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值. 思路分析 )(xf212sin41)cossin1 (21)cossin1(2cossin122xxxxxxx所以函数 f(x)的最小正周期是，最大值是43，最小值是41. 简要评述 三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。例 3：已知)2,4(,41)

7、24sin()24sin(，1cottansin22求的值. 思路分析 )24cos()24sin()24sin()24sin(,4cos21)42sin(21得.214cos又.125),2,4(所以于是2sin2cos22coscossincossin2cos1cottansin2222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - .325)3223()65cot265(cos)2cot22(cos 简要评述 此类求值问题

8、的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。例 4：已知 b、c 是实数，函数f(x)=cbxx2对任意、R有：,0)(sinf且,0)cos2(f（1）求 f（1）的值；（2）证明： c3； （3）设)(sinf的最大值为10，求 f（ x） 。 思路分析 （1）令 =2，得,0)1 (f令 =，得,0)1(f因此,0)1(f；（2） 证明： 由已知，当11x时，, 0)(xf当31x时，,0)(xf通过数形结合的方法可

9、得：,0)3(f化简得 c3；（3）由上述可知，-1 ，1 是)(xf的减区间，那么,10)1(f又, 0)1 (f联立方程组可得4, 5 cb,所以45)(2xxxf 简要评述 三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。例 5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数)43sin(log21xy的单调递增区间是Zkkxk348328；（ 2）若函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a的值是 1 ；（3）把函数)43sin( xy的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3 倍（纵坐标

10、不变） ，则所得的函数解析式子是)8sin(xy；（ 4）若函数)2| ,0,0()sin(ABxAy的最大值是22，最小值是2，最小正周期是32，图象经过点（ 0，-42） ，则函数的解析式子是22)63sin(223xy； 思路分析 略 简要评述 正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。例 6：函数xxxxfcossin12sin)(（1）求 f(x) 的定义域；（2）求 f(x) 的最大值及对应的x 值。 思路分析 （1） x|x222kxk且Zk(2)设 t=sinx+co

11、sx, 则 y=t-1 42,12maxkxyZk 简要评述 若)(xf关于xxcossin与xxcossin?的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令xxtcossin，使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - A B C D 问题得到简化。例 7：在 ABC 中，已知BACCAsin232cossin2cossin22（1）求证： a、b、c 成等差数列；（2）求角 B 的取值范围。 思路分析 （1）条件等式降次化简

12、得bcaBCA2sin2sinsin（2）,2182682)(32)2(cos22222acacacacaccaaccacaB，得B的取值范围3, 0( 简要评述 三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。例 8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为 h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小， 此时下底角应该是多少？思路分析 CD=cothhS, C=)cotsin2(hhS,转 化为考虑 y=sincos2的最小值，可得当3时， y最小，即C

13、最小。 简要评述 “学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。【热身冲刺】一、选择题：1若100a，则满足asin =0.5的角a的个数是（ C）（A） 2 （B）3 （C） 4 （D）5 2为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（ B ）（A）向右平移6个单位长度（B）向右平移3个单位长度（C）向左平移6个单位长度（D）向左平移3个单位长度3 已知函数,sin)(xxf， 则下面三个命题中：（1）0)4()1(ff；（2）0)43()2(ff；（3）0)43()3(ff；其中正确的命题共有（ B ）（A） 0 个（B） 1个（C）2

14、 个（D）3 个4若)(xf是奇函数，且当x0 时，xxxfsin)(2，则当xR时，)(xf为 ( C ) （A）xxsin2（B）xxsin2（C）|x|xxsin（D）|x|xxsin5函数)3sin()3cos(3)(xxxf是奇函数，则等于（ D）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - （A）k（B）6k（C）3k（D）3k6如果圆222kyx至少覆盖函数kxxfsin3)(的一个最大值点和一个最小值点，则k的

15、取值范围是（ B ）（A）3| k（B）2| k（C）1| k（D）2|1k7若x5,123 ，则 y2tan()tan()cos()366xxx的最大值是（ C ）（A）1225（B）1126（C）1136（D）12358 函数xxycos2sin2在区间 ,32a上的最小值为 -41，则a的取值为（ C ）（A）),32（B）0 ，32（C）32,32（D）34,32(9若 ABC面积 S=)(41222cba则C=（ C ）（A）2（B）3（C）4（D）610已知向量),1,0(),2(),sin2,cos2(ba则a与b的夹角为（ A ）（A）23（B）2（C）2（D）二、填空题：11

16、若)(xf是以 5 为周期的奇函数，)3(f=4, 且 cos21，则)2cos4(f = -4 . 12函数y=lg(sinxcosx) 的增区间是Zkkk4,(13用x表示不超过实数x的最大整数。则2000sin30sin20sin10sin= -81 。14设sincosx，且0cossin33，则x的取值范围是2,0(；三、解答题：15 （文）求函数)3tan3lg(sin22xxy的定义域。答案：Zkkkkk)232,672(42,62(（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何Rx，都有)3(xf）=)1(xf，设M=farcsin(sin4) ，N=farcos(cos4)

17、 ，讨论 M 和 N 的大小。答案：MN 16在锐角三角形ABC中，.51)sin(,53)sin(BABA（）求证BAtan2tan；（）设AB=3，求AB边上的高 . 略解（）证明：.2tantan51sincos,52cossin.51sincoscossin,53sincoscossinBABABABABABABA所以.tan2tanBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - （）解：BA2，,43)tan(,5

18、3)sin(BABA所以即43tantan1tantanBABA，将BAtan2tan代入上式并整理后解得262tan B，舍去负值，.62tan2tanBA设AB边上的高为CD. 由 AB=AD+DB=622tantanCDBCDACD得 CD=2+6. 17已知cossincossin2?y，cossinx，其中.0，(1) 求函数 f(x)的解析式； (2) 求函数 f(x)的最大值、最小值。答案：12xxy；; 1;45minmaxyy18在锐角 ABC中，已知 ABC,且 B=60，又213)2cos1)(2cos1 (CA，求证：cba22略 证 ： 由 已 知 得21)cos(,

19、413coscosCACA又， 进 一 步 可 求 出23)cos(AC ， 得75,60,45CBA，cRRRba275sin44264)60sin245(sin22?19 （1）已知)2,0(x，证明不存在实数)1 , 0(m能使等式 cosx+msinx=m(*) 成立；（2）试扩大x的取值范围，使对于实数)1 ,0(m，等式 (*) 能成立；（3）在扩大后的x取值范围内，若取33m, 求出使等式 (*) 成立的x值。提示：（1）可化为1)42tan(xm（2）)2,2(x（3）6x20设函数)(xf= ab，其中向量a=(2cosx，1) ，b=(cosx，3sin2x) ，xR. (

20、1) 若31)(xf且x 3，3 ，求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|2) 平移后得到函数y=)(xf的图象，求实数m 、n 的值 . 略解：（）依题设，)(xf=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+6). 由31)(xf，得23)62sin(x，33x4x. （）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n) 平移后得到函数nmxy)(2sin2的图象，即函数y=)(xf的图象. 由（）得)(xf=2sin2(x+12)+1. |m|2， m=12，n=1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -