2022年高中数学北师大版选修-《定积分的概念》教案 .pdf

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1、定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义二、教学重难点：重点： 定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义难点： 定积分的概念、定积分的几何意义三、教学方法： 探析归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、创设情景复习：1 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割近似代替 (以直代曲 )求和 取极限（逼近）2对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点（二） 、新课探析1定积分的概念一般地，设函数

2、( )f x在区间 , a b上连续，用分点0121iinaxxxxxxb-=LL将区间 , a b等分成 n个小区间，每个小区间长度为xD（baxn-D=） ，在每个小区间1,iixx-上任取一点()1,2,iinx=L，作和式：11()()nnniiiibaSfxfnxx=-=D=邋如果xD无限接近于0（亦即 n?） 时， 上述和式nS 无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数( )f x在区间 , a b上的定积分 。记为：()baSfx dx=，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

3、- - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 其中-积分号 ，b积分上限 ， a积分下限，( )f x被积函数 ， x积分变量 ， , a b积分区间，()fx dx被积式 。说明： （1） 定积分( )baf x dx是一个常数，即nS 无限趋近的常数S（ n?时）记为()bafx dx，而不是nS （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixxx-?；求和：1()niibafnx=-?；取极限：( )1()limnbinaibafx dxfnx=-=?（3）曲边图形面积：( )baSfx dx=；变速运动路程21( )tt

4、Sv t dt=；变力做功( )baWF r dr=2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b上函数( )fx 连续且恒有()0fx3，那么定积分( )bafx dx表示由直线,(),0 xa xb aby=?和曲线( )yfx=所围成的曲边梯形 (如图中的阴影部分 )的面积，这就是定积分( )bafx dx的几何意义。说明：一般情况下， 定积分( )baf x dx的几何意义是介于 x轴、函数( )f x的图形以及直线,xa xb=之间各部分面积的代数和， 在 x 轴上方的面积取正号，在 x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数( )yfx=，若( )yfx=在 , a b上可取

5、负值。考察和式( )()()12()infxxfxxf xxfxxD+D+D+DLL不妨设1(),(), ()0iinfxf xf x+L于是和式即为()()()121()()iinfxxfxxf xxf xxfxx-D+D+D-D+ -DLL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - ( )baf x dx=阴影A的面积 阴影B的面积 （即 x轴上方面积减 x轴下方的面积）思考： 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中

6、阴影部分的面积S吗？3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1()bakdxk ba=-；性质 2( )( )()bbaakfx dxkf x dx k=蝌为常数 （定积分的线性性质）；性质 31212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx?蝌?（定积分的线性性质） ；性质 4( )( )( )()bcbaacf x dxfx dxf x dxacb=+蝌?其中（定积分对积分区间的可加性）(1) ( )( )baabfx dxf x dx= -蝌； (2) ( )0aafx dx=；说明：推广：1212( )( )( )( )( )( )

7、bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfx北?北?蝌蝌LL推广 :121( )()( )( )kbccbaaccfx dxfx dxfx dxfx dx=+蝌蝌L性质解释：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - PCNMBAabOyxy=1yxOba（三） 典例分析例 1、计算定积分21(1)xdx+分析：所求定积分是1,201xxyyx=+，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52。即：

8、215(1)2xdx+=思考：若改为计算定积分22(1)xdx-+呢？改变了积分上、 下限，被积函数在2,2-上，出现了负值如何解决呢？ （后面解决的问题）例 2、计算定积分120(2)xxdx-分析：利用定积分性质有，11122000(2)2xxdxxdxx dx-=-蝌?利用定积分的定义分别求出10 xdx，120 x dx，就能得到120(2)xxdx-的值。（四） 课堂练习计算下列定积分150(24)xdx-50(24 )945xd x-=-=211x dx-11111 11 1122x dx-=创+创=(五)回顾总结： 定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义(六)布置作业：性质 1性质 4AMNBAMPCCPNBSSS=+曲边梯形曲边梯形曲边梯形1 2 y x O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 五、教学后记：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -