2022年高中数学-数形结合思想归纳 .pdf

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1、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 难点 37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其 “数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义， 将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思

2、想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 . 难点磁场1.曲线 y=1+24x(2x2)与直线 y=r(x2)+4 有两个交点时，实数r 的取值范围. 2.设 f(x)=x22ax+2,当 x 1,+)时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围 . 案例探究例 1设 A=x2xa，B=yy=2x+3，且 xA，C=zz=x2，且 xA ，若 C B，求实数 a 的取值范围. 命题意图：本题借助数形结合， 考查有关集合关系运算的题目 .属级题目 . 知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

3、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 间上的值域求法确定集合C.进而将 C B 用不等式这一数学语言加以转化 . 错解分析：考生在确定z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a2 这一种特殊情形 . 技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点， 再将其转化为图形语言， 利用数形结合的思想来解决 . 解：y=2x+3 在 2, a上是增函数1y2a+3，即 B=y1y2a+3 作出 z=x2的图

4、象，该函数定义域右端点x=a 有三种不同的位置情况如下：当2a0 时，a2z4 即 C=zz2z4 要使 C B,必须且只须 2a+34 得 a21与2a0矛盾. 当 0a2 时，0z4 即 C=z0z4，要使C B，由图可知：必须且只需20432aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解得21a2 当 a2 时，0za2，即 C=z0za2，要使C B 必须且只需2322aaa解得 2a3 当 a2 时，A= 此

5、时 B=C= ，则 C B 成立. 综上所述， a 的取值范围是 (,2)21,3. 例 2已知 acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证：22222cosbac. 命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属级题目 . 知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 .进而由 A、B 两点坐标特点知其在单位圆上. 错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 .如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二. 技巧与方法： 善于发现条件的几何意义， 还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题. 证明:在平面直

6、角坐标系中， 点 A （cos,sin）与点 B（cos, sin） 是直线 l:ax+by=c与单位圆 x2+y2=1 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 两个交点如图 . 从而： AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos() 又单位圆的圆心到直线l 的距离22|bacd由平面几何知识知 OA2(21AB)2=d2即bacd2224)cos(22122222cosbac. 锦囊妙计应用数形结合

7、的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用的有： 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 歼灭难点训练一、选择题1. （） 方程 sin(x4)=41x 的实数解的个数是( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 1

8、1 页 - - - - - - - - - A.2 B.3 C.4 D.以上均不对2.（）已知f(x)=(xa)(xb)2（其中 ab)，且、是方程 f(x)=0 的两根（)，则实数 a、b、的大小关系为 ( ) A.abB.abC.abD.ab二、填空题3.（） (4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t 为参数)的最大值是. 4. （ ） 已 知 集 合A=x 5 x ) 1(2 x,B=xx2axxa，当 A B 时，则 a 的取值范围是. 三、解答题5.（）设关于x 的方程 sinx+3cosx+a=0 在（0,）内有相异解、. （1）求 a 的取值范围；（2）求 tan(

9、+)的值. 6. （）设 A=(x,y)y=222xa,a0， B=(x,y)(x1)2+(y3)2=a2,a0,且 AB ， 求 a 的最大值与最小值. 7. （） 已知 A（1，1）为椭圆5922yx=1 内一点，F1为椭圆左焦点， P 为椭圆上一动点 .求PF1+PA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 的最大值和最小值 . 8.（）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm 的长方体木盒从一个正方

10、形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参 考 答 案难点磁场1.解析：方程y=1+24x的曲线为半圆， y=r(x2)+4为过（ 2，4）的直线 . 答案： （43,1252.解法一：由f(x)a，在 1,+)上恒成立x22ax+2a0 在 1,+)上恒成立 .考查函数g(x)=x22ax+2a 的图象在 1,+时位于 x 轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)=4a24(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - -

11、 - - - a)0 a(2,1) (2)0)1(10gaa(3,2，综上所述 a(3,1). 解法二：由 f(x)ax2+2a(2x+1) 令 y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 . 如图满足条件的直线l 位于 l1与 l2之间，而直线 l1、l2对应的 a 值（即直线的斜率）分别为1，3，故直线 l 对应的 a(3,1). 歼灭难点训练一、 1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x4)与y2=41x 的图象如图 . 答案：B 2.解析： a,b 是方程 g(x)=(xa)(xb)=0 的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：答

12、案： A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 二、 3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t) 点 A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线 . 考虑用点到直线的距离公式求解. 答案：2274.解析：解得 A=xx9 或 x3，B=x(xa)(x1)0，画数轴可得 . 答案： a3 三、5.解：作出 y=sin(x+3)(x(0,)及 y=2a的图象，知当2a1 且2a23时，

13、曲线与直线有两个交点， 故 a(2,3)(3,2). 把 sin+3cos=a,sin+3cos=a 相减得tan332，故 tan(+)=3. 6.解： 集合 A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆； 集合 B 中的元素是以点 O(1,3)为圆心， a 为半径的圆 .如图所示AB ，半圆 O 和圆 O有公共点 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 显然当半圆 O 和圆 O外切时， a 最小

14、2a+a=OO=2,amin=222 当半圆 O 与圆 O内切时，半圆 O 的半径最大，即2a最大. 此时2aa=OO=2,amax=22+2. 7.解：由15922yx可知 a=3,b=5,c=2，左焦点 F1(2,0),右焦点 F2(2,0).由椭圆定义，PF1=2aPF2=6PF2, PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图：由 PA PF2 AF2=2)10() 12(22知2PA PF22. 当 P在 AF2延长线上的 P2处时，取右“ =”号；当 P在 AF2的反向延长线的 P1处时，取左“ =”号. 即PA PF2的最大、 最小值分别为2，2. 于是 PF1+PA的最大值是 6+2,最小值是 62. 8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -