数学猜想：基于数学事实的合情推理-反事实推理.docx

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1、数学猜想：基于数学事实的合情推理:反事实推理 猜想是在对研究的对象、问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等的基础上，依据已有的材料及知识做出符合一定的经验与事实的推测性的思维方法。虽然猜想是直观判断，但决不是盲目乱猜，它是在一定知识结构中提出，以扎实的基础知识为依据，使学生不仅把知识掌握牢固，而且能受到科学发现的方法教育，从而培养学生的创新思维能力。不难看出，数学猜想不仅是思维能力的范畴，也是义务教育阶段培养的目标之一。因此，教师在数学课堂中要倡导学生猜想，但这种猜想不是天马行空，而是建立在数学规律基础上的合情推理。 一、数学猜想的有效路径 数学猜想思维是通过一定的思维方法进行的。

2、数学猜想思维的基本方法是学生数学猜想思维能力的基本要素。在数学教学中，要培养学生的数学猜想能力，就一定要帮助学生掌握数学猜想思维的基本方法。 （一）通过归纳进行数学猜想 “归纳猜想”依据逻辑学观点，是选取个别性知识做前提所推出一般性结论的猜想。小学阶段，教师可以通过实例激发学生对“猜想”的兴趣，并以合情推理进行探索，归纳猜测出数学结论，且可证明结论正确。数学中很多著名定理皆采取不完全归纳法先发现后证明。比如，哥德巴赫（德国著名数学家）由3+7=10、3+17=20、13+17=30等算式发现两个奇素数之和等于“偶数”，哥德巴赫进行深入探索，发现：6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；1

3、2=5+7；14=3+11=7+7；16=3+13=5+11。于是，哥德巴赫得出：任何不小于4的偶数都可以写成两个素数相加的形式。此即为著名的“哥德巴赫猜想”，虽然迄今还是一个猜想，可数学家们在此猜想证明的活动中，发现及发明了很多的数学定理，为“数学发展”及“社会发展”作出巨大贡献。在实际教学中，教师也可以依照教学内容对学生进行“归纳猜想”训练。比如，教学“多边形的内角和”时，可由内角和为180的三角形入手，从而得出四边形内角和为360、五边形内角和为540。进而令学生直接猜想九边形内角和是多少度，n边形内角和为多少度，并进一步启发学生验证自己的猜想。 （二）通过联想进行数学猜想 联想猜想，由

4、“熟悉与陌生”彼此沟通联系，也已成为思考解决新问题的手段与策略。比如，教学“三角形面积公式”之后，学生可通过对比轻松地猜测出“梯形面积公式”的推导方法；在学习“圆柱体积公式”推导之时，可启发学生对“圆面积公式”推导方法展开联想猜想。比如教学中常见的一个例子：已知甲、乙、丙三人中仅一人会开车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开车。”丙说：“甲不会开车。”若三人仅一人说的是真话，那么谁会开车呢？教师让学生展开联想：甲说：“我会开车。”丙说：“甲不会开车。”甲也许会开车，也许不会开，甲与丙肯定有一人讲的是真话。若三人中仅有一人说真话，此人又在甲与丙中，那么乙说的是假话。因为乙讲的是“我不会开车”

5、，因此会开车的是乙。通过上述例子，让学生大胆展开联想猜想，只要学生找对知识生长点，即可充分发挥联想猜想在数学学习活动中的价值。联想猜想，是展开数学学习的关键模式，是培育学生良好的“思维品质”的主要方法。 （三）通过类比进行数学猜想 类比猜想，是指依据一类事物具有的某种特质，得出与其相似的事物亦应具有此种特性的猜想性判断，是以对比为基础的由特殊至一般的联想手段。类比猜想是“由此及彼”及“由彼及此”的联想手段，具有启发思维、提供线索、触类旁通的作用，对发展思维及创造思维非常有益。与归纳相同，类比在小学数学活动中不难发现。通过类比，由加法、减法运算定律极易联想到乘法、除法的运算定律，由除法各部分彼此

6、关系，也能联想到分数的基本性质等。并且，类比猜想是系统掌握新知识、巩固旧知识，让新旧知识融会贯通的主要手段。实践教学活动中，教师可有意诱导学生关注知识彼此的对比。如“分式与分数”“分数和除法”“乘法与加法”等的类比。巩固旧知识，发现新知识，极大提升学生的学习效能。另外，教师可将“需解决的问题”和类似“已解决的问题”展开对比，让学生进行猜想。比如，教学“3的倍数特征”之时，一般先让学生由“2与5倍数特征”猜测3的倍数也许会有何特征。在“2与5倍数特征”的思维定势下，学生一般会有个位是“3、6、9”的数皆为3的倍数的猜测。此时，教师不需急着否定学生的猜测，可给出“13、23、16、76、19、89

7、”一组数据让学生观察、验证，创设认知冲突，调动学生强烈的求知欲，启发学生深入探究。 当然，规律的发现本身就是一个不断更新的过程，以上举例只是沧海一粟。在教学实践中，学生的猜想可能貌似天马行空，毫无路径可言，但未必就不是一种新思考路径的产生。所以，教师在教学中要持有开放的心态。 二、数学猜想教学的若干建议 数学是猜想最活跃的领域之一，猜想在数学中作用甚大，利用它可以发现解题思路，发现新原理、新公式等。因此，在小学数学教学中，教师要创造机会让学生大胆猜想。下面结合自己的教学实践谈一点教学建议。 （一）依据直观教学，诱发猜想欲望 小学生以形象思维为主。在小学数学教学中要充分利用直观教学手段，让学生在

8、观察或动手中，诱发他们的猜想欲望。如在教学“圆柱体侧面积”时，教师可以让每个学生在课前都准备好一张标有长、宽数量的长方形纸，在课堂上指导他们通过下面的操作过程来探究知识，寻找规律。首先，先让学生将长方形的纸卷成圆筒状，再推平，这一卷一推，就使学生发现，一个圆柱的侧面经过展开（推平）可以转化为平面图形（长方形）。其次，让学生重复上面的实验，并仔细观察这个长方形的长和宽与卷成的圆柱形各部分之间的关系。学生通过观察和操作，得到了感性知识，并逐步上升为理性认识。在此基础上，让学生大胆猜想，寻找圆柱形的侧面积公式。如果有部分学生不能猜得结果，那么可让他们做下面一组题：把圆柱的侧面（）得到一个长方形，这个

9、长方形的长等于圆柱的（），宽等于圆柱的（），因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面积等于（）。这样，这部分学生也能得到圆柱形的侧面积公式了。至此，学生的求知欲望完全被激发起来了，教师就很自然地过渡到新课的教学上来。（二）借助经验，培养猜想能力 苏联的克鲁捷茨基在中小学数学能力心理学一书中举了这样一个例子：有一位学生在做题“四根管子通向水池，第1、2、3号管打开后，水池12分钟可以灌满；第2、3、4号管打开后，水池15分钟可以灌满；第1、4号管打开后，水池20分钟可以灌满。如果四管同时打开，问水池需要多少时间可以灌满？”时，起初试着用列方程的方法去解，结果没有解出。然后，她突然有所领悟：“管

10、子的两倍，一分钟可灌满水池的一组管子每分钟灌满水池的1/10。于是10分钟可以把水池灌满。”这一解答，连她本人也说不上是怎样想出来的。这种情况教师或许碰到过，学生或许也碰到过。无一步一步的分析，无清晰的推理步骤，而对问题突然间的领悟、理解或给出答案，有时会让人欣喜若狂。在教学中，教师要让学生用熟悉的知识和经验联系、类比不熟悉的知识，从已有知识经验中获得对新知识的启示，使之顿悟，培养学生的猜想能力。 （三）利用推理，验证猜想结果 在综合性很强的数学情境中，固然需要对问题实质进行大胆的猜想，然而，猜想毕竟是猜想，它不一定是正确的，还需要利用推理进行验证。因此，在小学数学教学中，教师要注意把猜想训练

11、和逻辑思维训练有机地结合起来。 由于小学生受知识和逻辑思维能力的限制，小学数学中有许多结论是不加以证明的，这给猜想的验证带来一定的困难。但教师要给学生对某一问题的猜想作出明确的表示，让学生信服为什么猜想是正确的或是错误的。尽管猜想在解决问题时能发挥特有的作用，产生新的奇妙的数学意境，但它不是解决一切问题的“灵丹妙药”。在小学数学教学中，教师要根据教学内容恰当运用猜想，片面强调猜想是失之偏颇的。 总之，猜想不是胡思乱想和任意拼凑。它是一种科学的思维活动，它是以已有的表象（如数量关系的描述、图象的示意等）为引发物，按逻辑思维的规律而进行的思维活动。猜想的思维基础往往是归纳推理，即由特殊到一般的推理。也就是对特殊情况的结论进行一番分析，去伪存真，由表及里，找出共性（即本质的东西），由此猜想一般性的结论该是什么。猜想能力是创造性思维能力的表现形式之一。形成科学的、智慧的猜想思维能力非朝夕之功，它需要教师长期寓猜想思维能力的培养于平时的教学之中，持之以恒，不断突破，方能有所收获。唯有如此，才能实现皮亚杰指出的“在数学教学中必须有猜想的地位”之目的。 （江苏省江阴市英桥国际学校xxxx） 第 7 页 共 7 页