窗函数法设计FIR滤波器1总结ppt课件.ppt

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1、X一、设计方法一、设计方法 1 1、设计思想、设计思想 先给定理想滤波器的频响先给定理想滤波器的频响Hd( (ej) ) ，所要求设计一个所要求设计一个FIRFIR的滤波器的频响为的滤波器的频响为H( (ej) )，使使H( (ej) )逼近逼近Hd( (ej) )5-2 窗函数设计法窗函数设计法X 2 2、设计过程、设计过程 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想滤波器的单位抽样响应想滤波器的单位抽样响应hd( (n) ) ，然后加时间窗，然后加时间窗w( (n) ) 对对hd( (n) )截断，以求得截断，以求得FIR DF的单位取样响应的单位取

2、样响应h( (n) )。)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd )()()(0 jdNnnjjeHenheH逼逼近近用用 X例如，低通滤波器例如，低通滤波器)(Hd0cc Hd( (ej) )是矩形的，则是矩形的，则 h( (n) )一定是无限长一定是无限长的且是非因果的的且是非因果的。X1 1、理想、理想LFLF的单位抽样响应的单位抽样响应hd( (n),), 理想低通滤波器的频响理想低通滤波器的频响Hd( (ej) )为为 )( jdeH cccje, 0,10)( jdeHcc0 )(为群延时为群延时二、窗函数对频响的影响二、窗函数对频响的影响X因为其相位因为其相位

3、 ，所以，所以 hd( (n) )是偶对称，是偶对称，其对称中心为其对称中心为，这是因为，这是因为n= =时，时， 为其最大，故为其最大，故 为其对称中心。为其对称中心。hd( (n) )是无限长的非因果序列是无限长的非因果序列. .cccnjnjnjjjdnnenjdedeeeHFccccc )()sin()(2112121)()()(1 )(nhd )( /)(cdh X 加窗就是实行加窗就是实行乘乘操作，而矩形窗就是操作，而矩形窗就是截断数据截断数据，这，这相当于通过窗口相当于通过窗口RN(n) (n) 看看hd( (n) ) ，称，称RN( (n) )为窗口函数。为窗口函数。 )()(

4、)(nwnhnhRd10),( Nnnhd, 0其他其他n n值值2、加矩形窗、加矩形窗WR(n)=RN(n) 因因h( (n) )是偶对称的。长度为是偶对称的。长度为N，所以其对称中心，所以其对称中心应为应为 ，所以，所以h( (n) )可写作可写作2/ ) 1N(h(n) =10 ,)21()21sin( NnNnNnccc , 0n n为其他值为其他值XX3 3、h(n)的频率响应的频率响应 h(n)的频响的频响H (ej)可通过傅氏变换可通过傅氏变换H (ej)=F h(n)求得，为了便于与求得，为了便于与hd(n)的频率响应的频率响应Hd(ej) 相比较，利相比较，利用卷积定理用卷积

5、定理 deWeHeHnwnhnhjRjdjRd)()(21)()()()()(X(1)(1)矩形窗的频响矩形窗的频响 10)()()(NnnjRRjRenwnwFeW 2/sin2sin11)21(10 NeeeeNjjNjNnnj )21()(NjReW 其中，其中， 为幅度函数，为幅度函数， 为相位函数。为相位函数。)2sin(/ )2sin()( NWR )21()( NX（2 2）理想）理想LFLF的频响的频响 )21()()( NjdjdeHeH 其中，其中， 为幅度函数，为幅度函数， 为相位函数。为相位函数。 )( dHc, 1c, 0 )21()( NXX（3 3）h(n)h(n

6、)的频响的频响)e(Hj dWHedeWeHRdNjNjRNjd)()(21)()(21)21()(21()21(其中，其中， 为幅度函数，为幅度函数， 为相位函数。为相位函数。 dWHHRd)()(21)( )21()( NX（1 1） 时，时，0 ccdWdWHRR )(21)(121)0(4 4、窗函数频响产生的影响、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程看其影响从几个特殊频率点的卷积过程看其影响: :)(Hd0cc)(WRN/2N/20也就也就 在在 到到 全部面积的积分。全部面积的积分。)(WRc c X（2） 时，时， 正好与正好与 的一半相重叠。这时有的一半相重叠。这时有

7、 。c)(WR)(Hd5 . 0)0(/ )(HHcX(3) (3) 时，时， 的主瓣全部在的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。的通带内，这时应出现正的肩峰。Nc2)(RW)(dH（4 4） 时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。出现负的肩峰。Nc/2X（5 5）当）当 时，随时，随 增加，增加， 左边左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着也随着 的旁瓣在通带内的面积的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故变化而变化，故 将围绕着零值而波动将围绕着零值而波动。Nc2)(WR)(H )(WR)(H Nc/2 X(6)(6)当当 时，时， 的右

8、边旁瓣将进入的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕值围绕 值而波动。值而波动。Nc 2 )( RW)(Hd)(H )0(H100.5)0(H/ )(H XX5 5、几点结论、几点结论（1 1）加窗后，改变了理想频响的边沿特性，使频响产）加窗后，改变了理想频响的边沿特性，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响 的主瓣宽的主瓣宽度度（2 2） 在过渡带两旁产生肩峰和余振在过渡带两旁产生肩峰和余振( (起伏振荡起伏振荡) )，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于

9、旁瓣的多少。取决于旁瓣的多少。)(WRN4)(HX（3 3）吉布斯（）吉布斯（GibbsGibbs）效应）效应 因为窗函数的频响的幅度函数为因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N N时仅能时仅能改变改变 的绝对值的大小，和主瓣的宽度的绝对值的大小，和主瓣的宽度 ，旁瓣的宽度旁瓣的宽度 ，但不能改变主瓣与旁瓣的相对，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响比例，也就是说，不会改变归一化频响 的肩峰的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%8.95%，不管，不管N N怎

10、样改变，最大肩峰总是怎样改变，最大肩峰总是 8.95% 8.95% ，这种现象称作，这种现象称作吉布斯效应吉布斯效应。)2sin(/ )2Nsin()(WR)(WR)N/4( )N/2( )(H N N增加增加, ,过渡带宽减小过渡带宽减小, ,肩峰值不变。肩峰值不变。X 上图为上图为N=8N=8时，时，W WR R(e(ejj) )的幅度特性。当的幅度特性。当N N增加时，幅度特增加时，幅度特性的性的“主瓣主瓣”（= = 2/N2/N间的区域）宽度减小。间的区域）宽度减小。 对于矩形窗来说，当对于矩形窗来说，当N N增加时，主瓣和旁瓣的幅度峰值都增加时，主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加，还保持每

11、一波瓣下的面积恒定不变，所以每一波瓣的要增加，还保持每一波瓣下的面积恒定不变，所以每一波瓣的宽度随宽度随N N增加而减小，呈振荡方式变化（振荡更快）增加而减小，呈振荡方式变化（振荡更快）。X 1 1、基本概念、基本概念 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性（1 1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2 2）对窗函数要求）对窗函数要求 a a）希望窗谱）希望窗谱主瓣尽量窄主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这，以获得较陡的过渡带，这 是因为过渡带等于主瓣宽度。是因为过渡带等于主瓣宽度。 b b）尽量减少尽量减少窗谱

12、最大窗谱最大旁瓣旁瓣的相对的相对幅度幅度，这样可使肩峰，这样可使肩峰 和波纹减少。和波纹减少。三、各种窗函数三、各种窗函数但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制度来换取对旁瓣的抑制X2 2、矩形窗、矩形窗 时域表达式：时域表达式： 频域表达式（频谱）：频域表达式（频谱）： 幅度函数：幅度函数：)()()(nwnRnwRN)21N( jRjRe )(W)e (W)2sin(/ )2Nsin()(WRX3 3、三角形（、三角形（BartlettBartlett）窗）窗时域表达式：时域表达式：)(nw21Nn0 ,1Nn21N

13、n21N,1Nn22121210 1 2 3 4 X频谱：频谱：)21N( j2je)2sin()41Nsin(1N2)e (W1N,e)2sin()4Nsin(1N2)21N( j2 第一对零点为第一对零点为 ，即，即 ，所以主瓣宽度所以主瓣宽度 ，比矩形宽一倍。)e (Wj4NN4N/8X4、汉宁窗（升余弦窗）、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将其窗谱可利用如下方法求出，将 变形为变形为又由于又由于 其中其中又考虑到又考虑到 ， 这里这里)()12cos(1 21)(nRnNnwN )(nw)(41)(41)(21)()12()12(nRenRenRnwNnNjNnNjN )2

14、1()()()( NjRRjReWnwFeW)2sin(/ )2sin()( NWR )()(00)(nxeFeXnjj 120 N X所以有)( jeW )21()21()()12(41)12(41)(21)( NjNjRRReWeNWNWWnwF当当 时，时， ，窗谱，窗谱分析分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但互相抵消，但主瓣加宽一倍主瓣加宽一倍，即为，即为1 NNN 1)2(41)2(41)(21)(NWNWWWRRR )(W N8X)(W21R)2(41NWRN4N2N2N4)(W N4N4汉宁窗是汉宁窗是=2时，时，特例特例

15、)n(R)1Nn(sin)n(N)2(41NWRX5、海明窗，又称作改进升余弦窗、海明窗，又称作改进升余弦窗 仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为 其主瓣宽度仍为其主瓣宽度仍为 ，（旁瓣峰值，（旁瓣峰值/主瓣峰值）主瓣峰值）1%有有99.963%的能量集中在主瓣内。的能量集中在主瓣内。 海明窗是下一类窗的特例海明窗是下一类窗的特例)2()2(23. 0)(54. 0)12()12(23. 0)(54. 0NWNWWNWNWWRRRRRR )()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN )(W N8)54. 0()()12cos()1

16、()(nRNnnwN X6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗 加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为相应的幅度函数为 其主瓣宽度为其主瓣宽度为 ，是，是矩形窗的三倍。)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN )(W )14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0 NWNWNWNWWRRRRR N/12X7 7、五种窗函数的比较、五种窗函数的比较（1 1）时域窗）时域窗X（2 2）各个窗的幅度函数，图中是）各个窗的幅度函数，图中是dBdB表示的。表示

17、的。00.20.40.60.81-100-80-60-40-200/ Gain, dBRectangular window00.20.40.60.81-100-80-60-40-200/ Gain, dBHanning window00.20.40.60.81-100-80-60-40-200/ Gain, dBHamming window00.20.40.60.81-100-80-60-40-200/ Gain, dBBlackman windowX（3 3）理想）理想LFLF加窗后的幅度函数（响应）加窗后的幅度函数（响应） 把窗函数把窗函数的顶部缩窄，的顶部缩窄，同时使窗函数同时使窗函数的

18、两端平缓的的两端平缓的过渡到零，就过渡到零，就可以降低旁瓣可以降低旁瓣的高度，但这的高度，但这样做却增加了样做却增加了主瓣，从而主瓣，从而加加宽了过渡区宽了过渡区。由于所用的窗函数都是对称的，所以相位是线性的。由于所用的窗函数都是对称的，所以相位是线性的。上图中，很显然上图中，很显然矩形窗的主瓣最窄矩形窗的主瓣最窄。XN N增大，阻带衰减增大，阻带衰减不变，过渡区变小。不变，过渡区变小。因此，可以通过选因此，可以通过选择窗函数的形状和择窗函数的形状和窗函数列长窗函数列长N N对设对设计加以控制。计加以控制。增加窗的长度增加窗的长度N N对低通滤波器设计的影响对低通滤波器设计的影响X几种窗函数的

19、主要性能几种窗函数的主要性能X 凯泽（凯泽（Kaiser）窗）窗 上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。1、凯泽窗、凯泽窗 凯泽在凯泽在19661966（19741974）发现，利用第一类零阶修）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳

20、的窗函数。凯泽窗定义为：函数。凯泽窗定义为：函数。凯泽窗定义为：1. 定义X 其它其它, 010 ,)()121(1)(020NnINnInW )(0I其中，其中， 为第一类零阶修正贝塞尔函数，为第一类零阶修正贝塞尔函数， 是一个可自由选择的参数。是一个可自由选择的参数。第一类零阶修正贝塞尔函数为第一类零阶修正贝塞尔函数为.) ! 3()2/() ! 2()2/()2/(1!)2/(1)(26242120 xxxkxxIkkX0可同时调整主瓣宽度与旁瓣可同时调整主瓣宽度与旁瓣; ;越大，越大， 窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相应增加；相当于矩形窗相当于矩形窗

21、; ;)(nW通常选择通常选择，旁瓣与主瓣幅度为旁瓣与主瓣幅度为3.1%-0.047%；2. 2. 特点特点94 X由图可以看出由图可以看出, , 为对称中心，且是偶对称为对称中心，且是偶对称, ,2/ ) 1( Nn 即即)1()(nNwnw 1)()()2/ 1()(00 IINwnw3. 3. 凯泽经验公式凯泽经验公式根据滤波器的设计指标根据滤波器的设计指标, ,估算出估算出 值和值和 N N 值。值。且，且，)(1)1()0(0 INww X )285. 2/()95. 7(210 . 0502107886. 0)21(5842. 050)7 . 8(1102. 0lg2022. 4

22、. 022222 NAdBps阻阻带带衰衰减减过过渡渡带带宽宽X不同不同 下下凯泽窗的性能凯泽窗的性能X四、窗函数法的设计四、窗函数法的设计 1 1、设计步骤、设计步骤（1 1）给定频响函数）给定频响函数（2 2）求出单位抽样响应）求出单位抽样响应（3 3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数表确定窗的形式及基本参数表确定窗的形式及N N的大小的大小（4 4）最后求）最后求 及及（5 5）检验）检验)( jdeH)()(1 jddeHFnh )()()(nwnhnhd)e (HjX例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的例：分别利用矩

23、形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR FIR 低通滤波器，具体要求：低通滤波器，具体要求：)e (Hjd, 0,ecj其他其他;rad1, s12c并画出相应的频响特性并画出相应的频响特性 2 2、设计举例、设计举例X解：（解：（1）由于）由于 是一理想是一理想LF，所以，所以 可以得出可以得出 （2）确定）确定N 由于相位函数由于相位函数 ，所以，所以 呈呈 偶对称，其对称中心为偶对称，其对称中心为 ，因此，因此 )e (Hjd)n(hd)n()n(sin)n(hcccd)()n(hd2/ ) 1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗）加矩形窗)()()()()

24、(25nRnhnwnhnhdd24, 2 , 1 , 0n),12n(/ )12nsin( 则有X可以求出可以求出h h（n n）的数值，注意偶对称，对称中心）的数值，注意偶对称，对称中心122/ ) 1N(31831. 0)12(14472. 0)14()10(06022. 0)16()8(01482. 0)18()6(03936. 0)20()4(01931. 0)22()2(;01423. 012/12sin)24()0(hhhhhhhhhhhhh26785. 0)13(h)11(h01497. 0)15(h)9(h06104. 0)17(h)7(h02987. 0)19(h)5(h01

25、457. 0)21(h)3(h02893. 011/11sin)23(h) 1 (hX由于由于h h（n n）为偶对称，）为偶对称，N=25N=25为奇数，所以为奇数，所以)(H 121n2/ )1n(1n2/ )1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(aX例如例如 H H（0 0）=0.94789=0.94789，可以计算，可以计算H()H()的值，的值， 画如下图画如下图X（4 4）加汉宁窗）加汉宁窗 由于由于 可以求出序列的各点值可以求出序列的各点值240),242cos(1 21)(nnnw1)12(9330. 0)14(

26、)10(75. 0)16()8(5 . 0)18()6(25. 0)20()4(06698. 0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829. 0)13()11(85355. 0)15()9(62940. 0)17()7(37059. 0)19()5(1464. 0)21() 3(01903. 0)23() 1 (wwwwwwwwwwww通过通过 可求出加窗后的可求出加窗后的h(n)h(n)()()(nwnhnhdX31831. 0)12()12()12(whhd13502. 0)14(h)10(h04516. 0)16(h)8(h00741. 0)18(h)6(h00984. 0)20(h)4(h00116. 0)22(h)2(h0)24(h)0(h26326. 0)13(h)11(h1277. 0)15(h)9(h003841. 0)17(h)7(h01107. 0)19(h)5(h00213. 0)21(h)3(h00049. 0)23(h) 1 (h相应幅度函数可用下式求得：相应幅度函数可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(HX如如H（0）=0.98460，图如下，图如下例例X例题 设计低通滤波器XX