正余弦函数的奇偶性与单调性ppt课件.ppt

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1、X 复习复习:正弦、余弦函数的图象和性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域x Ry - 1, 1 一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)设设(x,y)是正弦曲线是正弦曲线y=sinx(xR)上任意一点，即上任意一点，即(x,sinx)是正弦是正弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是曲线上的一点，它关于原点的对称点是(-x,-y)即即(-x,-sinx)。由诱导公式由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个

2、对称点就是可知，这个对称点就是(-x,sin(-x)。它显然也在正弦曲线上，它显然也在正弦曲线上， 所以所以正弦曲线关于原点对称正弦曲线关于原点对称，正弦函数是奇函数。，正弦函数是奇函数。奇函数：一般地，如果对于函数奇函数：一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )，则称，则称f(xf(x) )为这一定义域内的为这一定义域内的奇函数奇函数。 奇函数的图象关于原点对称。奇函数的图象关于原点对称。 x6yo-12345-2-3-41y=cosx (x R)设设(x,y)是余弦曲线是余弦曲线y=cosx

3、(xR)上任意一点，即上任意一点，即(x,cosx)是是余弦曲线上的一点，它关于余弦曲线上的一点，它关于y轴的对称点是轴的对称点是(-x,y)即即(-x,cosx)。由诱导公式。由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就可知，这个对称点就是是(-x,cos(-x)。它显然也在余弦曲线上，。它显然也在余弦曲线上， 所以所以余弦曲线关于余弦曲线关于y轴对称轴对称，余弦函数是偶函数。，余弦函数是偶函数。偶函数：一般地，如果对于函数偶函数：一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )，则称，则称f(x

4、f(x) )为这一定义域内的为这一定义域内的偶函数偶函数。 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称。轴对称。 sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性例例1：判断函数奇偶性：判断函数奇偶性(1) y=-sin3x xR (2) y=|sinx|+|cosx| xR(3) y=1+sinx xR解解:(1)f(-x)=

5、-sin3(-x)=-(-sin3x)=-f(x),且且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)-f(x)且且f(-x)f(x)所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。 二、正弦函数的单调性二、正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ， 其值从

6、其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23

7、25 例例2.求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： y=3sin(2x- )4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8 kk所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kkk Zk Zk Zk Zk Zk Z例例3 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数2,2 sin( ) 018 10 解：解： 53

8、40cos cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数, 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 从而从而 cos( ) - cos( ) 0523 417 练习:增区间)26sin() 1xy2)sincos( 2 ,2 )22xxy在内的增区间sin(2)43)2xy单调区间。4)lgtan(2 )3yx减区间小小 结：结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z2 2 单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z 单调递增单调递增2k , 2k + , k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数求函数的单调区间：求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质直接利用相关性质2. 复合函数的单调性复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间