北京大学量子力学课件-第10讲ppt.ppt

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1、 第第 十十 讲讲 . 束缚能级与反射振幅极点的关系束缚能级与反射振幅极点的关系 束缚态束缚态 S S矩阵的极点矩阵的极点 在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。 (1) (1) 半壁半壁位阱的散射位阱的散射 由波函数连续，及其由波函数连续，及其导数的关系（在导数的关系（在 处）处） 0 x)ax(V0 x)x(V0 ax ika220ika20ikaekasinkmV2ekasinkmV2eR 代入代入R R分母得分母得 其中其中 imE2imE2k22 0asinhmV2e20a 200mV2 yyyytanh0ay00 ay 这与直接求解双这与直接求

2、解双 对称势的奇宇称所得对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全一致。的确定本征值的方程完全一致。 (2) 有限深方位阱：（有限深方位阱：（ ） 其中其中, , a0 ax00ax, 0 xV)x(V0aksin)kk( iakcoskk2aksin)kk( iR122111121220)VE(m2k21mE2k 若位势有束缚态，则若位势有束缚态，则 ，而，而为为R或或S的极点的极点 。令令 ， ik 20)EV(m2 0aksin)k( iakcoski 2122111 2ak1 2a cottan或 . . 一维谐振子的代数解法：一维谐振子的代数解法： 若粒子在若粒子在中运动。中运动。 令

3、令 ，则，则 2x21)x(Vm Euu)xm21dxdm2(22222 （1）能量本征值）能量本征值 定义二个无量纲的算符定义二个无量纲的算符则有则有 x p )m( i ma x 12x p )m( ima x 12 211Ha a 211Ha a 于是，有二个重要结论：于是，有二个重要结论： A. B. 可得可得 若若 是是 的本征态，相应本征值为的本征态，相应本征值为 ，即即则则 1a , a )21a a ()21a a (H )H(a a H nuHnEnnnuEuH)ua )(E(u)H(a )ua (Hnnnn 也是也是的本征态，本征值为的本征态，本征值为 同样有同样有 也是也

4、是 的本征函数，相应本征值为的本征函数，相应本征值为 ， 即增加能量即增加能量 。nua H nE )ua )(E(u)H(a )ua (Hnnnn nua H nE 本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态 这与这与 为最低能量所对应的本征态的假设为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，因此相冲突，因此由由 0u0E0ua 0E 0u0ua 0 000uEuH0u)21a a ( 。所以，最低能量为所以，最低能量为 任一激发态任一激发态 ，在算符，在算符 的连续作用下，的连续作用下，最终必须到态最终必须到态 。 若若 经经 ，则，则 的本征值应为的本征值

5、应为 0u21 21 nua 0unu0nnuua nu )21n( ，也即也即 。所以，。所以， 称为声子数算符。称为声子数算符。 谐振子的能量本征值取谐振子的能量本征值取它的能级是等间距的。它的能级是等间距的。 0n0nnu)a ()21n(u)a ()21a a (uH 0n0nu)a (nu)a (a a a a N )21n( (2) 能量本征函数能量本征函数 谐振子的能量本征态，可由谐振子的能量本征态，可由 作用而获得作用而获得 现求归一化系数现求归一化系数 假设：假设： 是归一化的，相应本征值是归一化的，相应本征值 那那 a 0nnua uSu )21s ( sua )211s

6、(所以，所以， 至此，对谐振子势下的本征值，本征态都至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的任何信息都可由此得到。任何信息都可由此得到。 1sua us1s !nu)a (u0nn 为要得到在坐标空间中的解析表达式，由为要得到在坐标空间中的解析表达式，由其中，其中， 是无量纲量，是无量纲量， 。 所以所以 0ua 0)dd(21 00uudd x m x mp )m( i 21a 21x21 于是有于是有 由归一化由归一化 2/x212/410222eemu 2/02Aeu 2/2102eu ! nu)a (u0nn2

7、21nn2e)dd(!n21 而算符而算符 2222edde)dd( 22222edde ) 1)(dd()dd( 222222222eddeedde) 1( 2222222edde) 1( 2nn2nn22edde) 1(dd 所以，所以， 其中其中 它是一多项式，最高幂次为它是一多项式，最高幂次为n，系数为，系数为 ；宇称为宇称为 ，被称为厄密多项式（，被称为厄密多项式（ Hermit Polynomials ）。）。 22nn2n21nn222eedde) 1(!n2)x(u xHe!n2n221n2 22edde) 1()x(Hnnnn n2n1（3）讨论和结论）讨论和结论 A. A.

8、 当粒子运动于谐振子势当粒子运动于谐振子势 中中，其其能量取分立值能量取分立值 为一个声子所带的能量。为一个声子所带的能量。相应的归一化波函相应的归一化波函数数 （ 而而 ）。）。 22xm21 )21n( nnu)21n(uH )21a a (H1a , a 0nnu)a (! n1u0ua 0 在坐标空间中在坐标空间中 具体而言具体而言 xHe!n2)x(un221nn2 22edde) 1()x(Hnnnn x )m( 2x21022eu x2e2)x(u2x21122 1)x(4e8)x(u22x21222 B. 显然是偶函数，显然是偶函数，而而 是是改变奇偶性的算符，所以改变奇偶性的

9、算符，所以 的宇称为的宇称为 ，即每条能级的宇称是确定的。即每条能级的宇称是确定的。 C. 零点能与测不准关系零点能与测不准关系：当体系处于最低：当体系处于最低态，则态，则对于任何实数对于任何实数ABC，则有，则有 0u)dd(21a )x(unn1 0202xux p m2121H0 AB4C2于是有于是有 而而所以所以 但由测不准关系要求但由测不准关系要求 4m2m22141x p 2220202x 02020 xxxx02x02xx0 xpppp 2px0 x02px0 x0因而，只有因而，只有 才不违背测不准关系。才不违背测不准关系。 这表明，处于谐振子势中的粒子，最低能量这表明，处于

10、谐振子势中的粒子，最低能量不能小于不能小于 。这与经典不同，经典粒子可停在这与经典不同，经典粒子可停在原点，能量为原点，能量为0。 D可以证明：可以证明：un有有n个节点（它是第个节点（它是第n+1条条解级）解级） 2px0 x0 21 xHe! n2)x(un221nn2 这表明，在这表明，在 和和 能级能级之间不可能有另外能级，所以解是完全的。之间不可能有另外能级，所以解是完全的。 E. 递推关系：递推关系： 我们将导出基本的递推关系我们将导出基本的递推关系 1. 2. )21n( )21n( 0nnu)a (! n1a ua 1nu1n01nnu)a (! n1a a ua 3. 4.

11、1nunnnua a m2xu )u21nu2n(11n1n nnua a 2mudxd )u21nu2n(1n1n 3.9 相干态相干态（1）湮灭算符）湮灭算符 的本征态的本征态令令 于是有于是有a cccVVa nnncubV nnncua bVa nnnunb1 nnnubc可得可得 由由 归一化得归一化得!ncbbcbnbnnnn01 cV 1220220 cnnc*ceb!ncbrdVV2210ceb 所以所以 相应于本征值为相应于本征值为 的归一化本征态的归一化本征态 我们看到我们看到 ， ，没有共同的本征态，没有共同的本征态，但其线性组合但其线性组合 a c02102122ueu

12、!nceVa ccnnncc x p x p )m( i ma x 12有本征态。这类态称为相干态。它有性质：有本征态。这类态称为相干态。它有性质： A. 在该态中位置和动量满足最小测不准关系在该态中位置和动量满足最小测不准关系21 xpx dxu! scx u!ncedxVx Vxss ,ns*nncc*c* 2dx)usus(m! scu!ncess ,nss*nnc*112122 同理有同理有 nnnnc)!n(c!nc(m!nce*12112)cc (m* 2 dxu! scp u!ncedxVp Vpss ,nsx*nnccx*cx* 2)cc (mi* 2于是有于是有 )ccc (

13、mdxVx Vx*c*c22222212 )ccc (mdxVp Vp*cx*cx22222212 mxxx2222 2222 mpppxxx21 xpx B. 相干态随时间的演化相干态随时间的演化 若处于谐振子势的粒子，在若处于谐振子势的粒子，在 时，处于相时，处于相干态干态 ，则则 时，体系的波函数为时，体系的波函数为0 tcVtc/tHicVe) t , x(V 0212nn/tHincue!nce 021212nnt)n( incue!ncetice/tiVe 2 于是于是 这表明这表明 的本征值在的本征值在 时为时为 ，而在，而在时刻为时刻为 我们有平均值我们有平均值)Ve (ceV

14、ea titice/titice/ti 22a 0 tcttice dx) t , x(Va ) t , x(Va c*c 我们也有平均值我们也有平均值 dx) t , x(Vx p mi)t , x(Vmcx*c 12x p )m( i mx 12tice dx) t , x(Va ) t , x(Va c*c x p )m( imx 12 所以，所以， ti*ec )a a (m) t (x 2 ) tcos()(x 0)ecce(mti*ti 2其中其中 cm)(x 20i)a a (m) t (p x 2) tsin()(xm 0i)ecce(mti*ti 2 它随它随 的演化很接近经

15、典谐振子的运动。的演化很接近经典谐振子的运动。t C. 本征值为实的相干态正是受迫振动的基态本征值为实的相干态正是受迫振动的基态 这时，体系的哈密顿量为这时，体系的哈密顿量为于是，我们有于是，我们有其中其中 Fxxmmp Hx 222212202202221212xm)xx(mmp Hx 20 mFx 如令如令 则则 令令 0 xxX 20222221212xmXmmp HXX Xp )m( i mAX 121 A,AXp )m( imAX 12 )AA()AA(xmH212121202XnnXnXnVA)E(V)H(AVAH 20221xmHH XnnXnXnVA)E(V)H(AVAH 它的

16、基态满足它的基态满足而而00 XVAXmp )m( i AX 2121)xx (mp )m( i X02121 所以所以即即 这表明这表明 这时这时 02xma 0200 XV)xma ( XXVxmVa 0002 cXVV 002xmc 所以，所以， 是哈密顿量是哈密顿量 的相干态。的相干态。 XV0222212xmmp Hx 第四章第四章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量4.1 表示力学量算符的性质表示力学量算符的性质 （1）一般运算规则）一般运算规则：一个力学量如以算符：一个力学量如以算符表示。它是一运算表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从代表一个变换，是将空间分布

17、的几率振幅从 O)z, y, x()z, y, x(O )z, y, x()z, y, x(O 例：例： ，于是，于是 /p iaxeO)x(e)x(Odxda 0nnnn)x(dxd! n)a( )ax( )x( 即将体系的几率密度振幅沿即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即符应是线性算符。所谓线性算符，即 例如例如 1. Oc)c (O22112211O

18、cOc)cc(O Hti 1 2 2211cc 例如例如 2. 对不显含时间的薛定谔方程对不显含时间的薛定谔方程若若 ， ，则，则 22112211tictic)cc (ti 2211HcHc 是线性算符是线性算符仅当仅当H)cc(H2211 EH11EH 22EH 2211cc 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，而且方程是线性齐次， )cc (E2211 2211EcEc 2211HcHc )cc (E)cc (H22112211 是线性算符是线性算符仅当仅当H 方程方程 就不行。因就不行。因 B. 算符之和算符之和： 表示，对任

19、意波表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 AO AO1 AO2 A)cc (AOcOc)cc (O2122112211 BAO O BABA)BA( C. 算符之积算符之积: 表示，对任意波函表示，对任意波函数，有数，有 ，则，则 D. 逆算符逆算符：算符：算符 将任一波函数将任一波函数若有另一算符若有另一算符 使使则称则称 为为 的逆算符，并表为的逆算符，并表为 ， BAO O BABAO O RRO1ORR显然，显然， E. E. 算符的函数算符的函数： 设：设： 在在x=0 x=0处，有各级导数处，有各级导数则定义算符的函数则定义算符的函数 1OOOO11 )x(Fnnx! n)0(F)x(F nnA! n)0(F)A(F 例如例如: 它有各级导数，它有各级导数， 。于。于是是 如果函数不能以幂级数表示，则还有算符如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。函数的自然展开。 xe1)e ()n(0 xnxx! n1enAA! n1e（2 2）算符的对易性）算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能