高中数学圆锥曲线解题技巧总结.pdf

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1、高中数学圆锥曲线解题 技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 | F1F2| ，定义中的 “绝对值” 与2a|F1F2| 不可忽视 。若2a|F1F2| ，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 （1）已知定点)0, 3(),

2、0, 3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是A421PFPFB621PFPFC 1021PFPFD122221PFPF（答： C） ；（2） 方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为分母 ” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准

3、方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C 同号， AB） 。如 （ 1） 已 知 方 程12322kykx表 示 椭 圆 ， 则k的 取 值 范 围 为 _（ 答 ：11( 3,)(,2)22） ；（2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是_（答：5,2）（ 2） 双 曲 线 ： 焦 点 在x轴 上 ：2222byax

4、 =1 ， 焦 点 在y轴 上 ：2222bxay 1（0,0ab） 。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B 异号） 。如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_（答：2214xy） ；（2）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10, 4(P，则 C 的方程为 _（答：226xy）（3）抛物线 ：开口向右时22(0)ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

5、（1）椭圆 ：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆， 则 m 的取值范围是_ （ 答：)23, 1()1,(）（2）双曲线 ：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒 ： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1， F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭

6、圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为 2b；准线： 两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（ 1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）双

7、曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地， 当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc； 离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。如 （1） 双曲线的渐近线方程是023yx， 则该双曲线的离心率等于_ （答：132或133） ；（2）双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答： 4 或14） ；

8、（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：,32） ；（3）抛物线 （以22(0)ypx p为例） ：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线2px； 离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为_（答：)161, 0(a） ；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系 ： （1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab； （ 2）点00(,)P xy在

9、椭圆上220220byax1； （3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（ 1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_（答： (-315,-1

10、) ） ；（2）直线 ykx 1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则m 的取值范围是_（答： 1，5）（ 5，+） ） ；（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有_条（答： 3） ；（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒 ： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （

11、 2）过双曲线2222byax 1外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1） 过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点， 这样的直线有_

12、 （答：2） ； （2）过点 (0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：44 5,33） ；（3）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B 两点，若AB4，则满足条件的直线l有 _条（答： 3） ；（4）对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线C 的位置关系是_（答：相离）；（5）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF 与 FQ的长分别是p、q，则qp11_（答： 1） ；（6）设双曲线191622

13、yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、 小于或等于 ) （答：等于） ；（7） 求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：8 1313） ；（8） 直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：3,3；1a） ；7、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1

14、162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的距离为 _（答：353） ；（2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（ 3） 若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_（答：7,(2,4)） ；（4）点 P 在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为 _（答：2512） ；（5）抛物线xy22上的两点A、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y轴的距离为 _（答： 2） ；（ 6） 椭圆13422yx内有一点)1,1 (P，F 为右焦点，在椭圆上有一点M

15、，使MFMP2之值最小，则点M 的坐标为 _（答：)1,362(） ；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、 余弦定理求解。 设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分 别 为12,r r， 焦 点12F PF的 面 积 为S， 则 在 椭 圆12222byax中 ，) 12arccos(212rrb，且当12rr即P为短轴端点时，最大为max222arccosacb；20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有： 21221arccosrr

16、b；2cotsin21221brrS。如（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、 B 两点，则2ABF的周长为 _（答： 6） ；（ 2） 设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、 F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：224xy） ；（3）椭圆22194xy的焦点为F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2PF1 0 时，点 P 的横坐标的取值范围是（答：3 5 3 5(,)55） ；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，

17、且AB是2AF与2BF等差中项，则AB_（答：8 2） ；（ 5） 已知双曲线的离心率为2， F1、 F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS求该双曲线的标准方程（答：221412xy） ；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （ 1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMF BMF ； （3）设 AB为焦点弦， A、B 在准线上的射影分别为A1，B1，若 P 为 A1B1的中点，则PA PB； （4）若AO的延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之， 若过 B点平行于 x 轴的直线交准线于

18、C点，则 A，O，C三点共线。10、弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、 B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,yy分别为A、B 的纵坐标，则AB21211yyk，若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（ 1）过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1） ， B（x2， y2）两点，若x1+x2=6，那么 |AB|等于 _（答： 8） ；（2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、

19、B 两点，已知 |AB|=10 ，O 为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为_（答： 3） ；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在双曲线22221xyab中 ， 以00(,)P xy为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率k=0202yaxb； 在 抛 物 线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。如（ 1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280 xy） ；（2）已

20、知直线y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、B 两点，且线段AB 的中点在直线L： x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：22） ；（ 3） 试确定m 的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称（答：2 132 13,1313） ；特别提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！12你了解下列结论吗？（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。如与双曲线1169

21、22yx有共同的渐近线，且过点)32, 3(的双曲线方程为_（答：224194xy）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为AB ，1122(,), (,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp（7）若 OA 、OB是过抛物线22(0)ypx p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p

22、13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y之间的关系( , )0F x y；如已知动点P到定点 F(1,0) 和直线3x的距离之和等于4，求 P的轨迹方程 （答：212(4)(34)yxx或24 (03)yxx）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m，以 x 轴为对称轴，过A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx） ；定义法：先

23、根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1) 由动点 P向圆221xy作两条切线PA、PB ，切点分别为A、B， APB=600，则动点 P的轨迹方程为（答：224xy）；（2）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点 M的轨迹方程是_ （答：216yx）；(3)一动圆与两圆M ：122yx和 N：012822xyx都外切， 则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法： 动点( , )P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化， 并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用, x y的代数式表示00,

24、xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A, 点 M分 PA 所成的比为2，则 M的轨迹方程为_（答：3162xy）；参数法：当动点( ,)P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（ 1）AB是圆 O的直径，且 |AB|=2a，M为圆上一动点，作MN AB ，垂足为 N，在 OM上取点P，使| |OPMN，求点P的轨迹。（答：22|xya y）；（2）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程

25、是_（答：2121(|)2yxx）；（3）过抛物线yx42的焦点 F 作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点 M的轨迹方程是 _（答：222xy）；注意 ：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（ c， 0） 、F2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点P 是线段F1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F2Q 上，并且满足. 0| , 022TFTFPT（ 1 ） 设x为 点P 的 横 坐 标 ，

26、证 明xacaPF|1； （ 2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使 F1MF2的面积 S=.2b若存在，求 F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）222xya； （ 3）当2bac时不存在；当2bac时存在，此时F1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上 特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “平面几何性质”数形结合( 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 ) 、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨

27、论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ，那么 可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化 . 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量ku, 1或nmu,；（2）给出OBOA与AB相交 ,等于已知OBOA过AB的中点 ; （3）给出0PNPM,等于已知P是MN的中点 ; （4）给出BQBPAQAP,等于已知QP,与AB的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：ACAB/；存在实数,ABAC使；若存在实数,1,OCOAOB且使, 等于已知CBA,三点共线 . （ 6）给出1OBOAOP，等

28、于已知P是AB的定比分点，为定比，即PBAP（ 7 ）给 出0MBMA, 等 于 已 知MBMA, 即AMB是 直 角 , 给 出0mMBMA,等于已知AMB是钝角 , 给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角 , （8）给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线 / （9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形 ; （10） 在平行四边形ABCD中，给出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形 ; （11）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC中，给出OAOP()|ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心；（15） 在A B C中， 给出, 0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;