2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质ppt课件.ppt

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1、1.1 1.1 引言引言1.2 1.2 微分差分方程基本概念与分类微分差分方程基本概念与分类1.5 1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖解的存在唯一性、延展性和连续依赖性性1.3 1.3 时滞微分方程的初值问题及解法时滞微分方程的初值问题及解法1.4 1.4 泛函微分方程的概念和分类泛函微分方程的概念和分类第一章第一章 时滞微分方程解的基本理论时滞微分方程解的基本理论1.61.6 稳定性基本概念稳定性基本概念 在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的RFDERFDE的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续依赖性、延展性以及

2、对初值的可微性等。为此，依赖性、延展性以及对初值的可微性等。为此，我们主要介绍解的我们主要介绍解的存在性、唯一性、存在性、唯一性、延展性和延展性和连连续依赖性续依赖性. .1.2 1.2 微分差分方程的概念及分类微分差分方程的概念及分类DDE12nii一般的，如果一个方程具有如下的形式x(t)=f(t,x(t),x(t-r),x(t-r ), x(t-r ) (1) 其中r为常数，则此方程叫做微分差分方程（Differential Difference Equation,简写为）,r 叫做偏差.1.2.1. 1.2.1. 微分差分方程定义微分差分方程定义( )( )(2).tg tniii=1

3、形如x(t)=ax(t-r)称为线性微分差分方程1.2.2 1.2.2 线性微分差分方程线性微分差分方程( ) 0( ) 0g tg t特别地当 时,方程（2）称为线性齐次的;当时，方程（2）称为线性非齐次的.DDE关于的分类，现在还没有一套完整的方法，一般只作如下的 分类： 0(1,2, )RDDEinii1).当r时，则称方程（1）为（Retarded Differ-ential Difference Equation滞后型的微分差分方程时滞微,简写为）或，各个r均为滞后量分方程 或滞量。1.2.3 1.2.3 微分差分方程分类微分差分方程分类0(1,2, )ADDEinii2).当r时，

4、则称方程（1）为（Advanced Differ-ential Difference Equation,简写为）或时超微分方程，各个r超均前型的微分差为超前分方程量或超量。),1n1m3).如果方程具有如下形式：x(t)=f(t,x(t),x(t-r), x(t-rx(t-),x(t-). (3)0(1,2, ),0(1,2, ).inimii其中r则称此方程为（Neutral Differential DifferenceEquation,中简立型的微写为ND分差分方程DE）。1.3 1.3 时滞微分方程的初值问题及解法时滞微分方程的初值问题及解法下面介绍滞后型和中立型的微分差分方程的初值问

5、题。至于超前型的初值问题，至今尚未有一个公认的提法。 0, ),nDR+ 设R=(- ,+ ),R为中的一个开集。1.3.1 滞后型微分差分方程的初值问题 ,0( )(1,2,).niRr tr im1mm+1 设方程为 x(t)=f(t,x(t),x(t-r(t), ,x(t-r(t). (i) 有界滞量方程的初值问 (4:题)其中f RD 在这里我们假设方程的滞后量都是t的函数，下面分四种情形进行考察。如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4）满足初值问题的解？与常微分方程中的定义是否相不同？ ,m000i首先给定一初始时刻tR，若函数x(t)在t ,b)上是方程（4）的解，就必须要

6、求x(t)在t ,b)上有定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-r(t)(i=1,2, ),rr00000例如：给定x(t)(t),ttt 那么(t)（ttt）就是方程（4）的一个初值，我们称之为，t 与 (t)合起来构成方程（4）的一个初初始函数始条件。,( ),rrtr00i0000当ttt 时 t-r(t)有可能落在区间tt 之上，但是x在tt 上是没有定义的，它等于多少，有待我们预先给定。,rr brb 000000 所谓方程（4）满足初值 (t)（tt t）的解，是指这样的函数x(t):tD,它在tt 上恒等于 (t)，在t上满足方程（4）。1.3.2 求解法分步法求解00(

7、)( , ( ), (),(5), x tf t x t x trtttr tf对滞后型微分方程设给定初始条件为（）,，又设函数 和对于自己的变元为连续。0000()(), tttrx trtrtr t 当时，由于故求方程(5)在区间上满足初始条件的解，可转化为下面的常微分方程满足初值的解：111100( )( , ( ), (),(6)( )( ).x tf t x tt rx tt001001(6) ,( ),2()()t trxttrttrx t rt r 假设的解在区间上存在，记为那末当时，有。002212010(5),2 ( )( , ( ), (),()().tr trx tf t

8、 x tt rx trtr于是方程 的初值问题在区间化为下面的常微分方程的初值问题：00,(1) tnr tnr这样逐步地做下去，便可将方程(5)的初值问题在区间上的解转化为求下面常微分方程的初值问题的解：0000( )( ,( ),(),()().( )(5)1,(1) nnnnnnx tf t x ttrx tnrtnrttnr tnr其中是方程的初值问题在区间（）上的解。分步法求解举例( )(1)(7)( ), 1,0 x tx tx tt t 例1210111( )(1);22tttc 111解: (1)当时，方程(7)化为x(t)=-(t-1),解得x. 由 (0)=0知,c 212

9、11(2)22tt 2(2)当时，方程(7)化为x (t)=-,解得32111( )(2)3!2111;23!tttcx 22x. 由 (1)= 知,c123111( )(2)13!23!xxttt 2这就保证了 (1)= (1)?x.1tn n写出当n-时，方程(7)的解x 表达式.作业作业: :( )(1)1.( )( )1, 1,0 x tx tx tt 练习00( )a ()()( ), x tx trx tCttr t2.（常数）( )(1)2 (1)(8)( )1, ( )0,0,1x tx tx tx tx tt例2 考虑下列方程计算n-1,n上的解的表达式，为正作业: 整数.

10、区间段取法有何思考题: 要求? ( )(1)2 (2)(9)( ), 2,0 x tx tx tx tt t 例3 在0,4上求下面多时滞系统的解23( )5 ;2ttt1由 (0)=0知,x 01t 1解: 先考虑时方程(9)的解此时x(t)=(t-1)+2(t-2) 233123(2)22ttt 22221(2)当时，方程(9)化为x (t)=-5(t-2)+2(t-3),x(1)=x (1)解得x (t)=-18t +61t-724t (3)当2时，方程(9)化为1.4.1 滞后性泛函微分方程的概念1.4 1.4 泛函微分方程的概念和分类泛函微分方程的概念和分类(1)RFDE有界滞量的的

11、概念0( , ,)0,(,0,)sup( ) ,nnrnnC a b RRBanachrCrRCRC 设表示将区间a,b映射入 中的连续函数所组成的并具有一致收敛拓扑的空间。对给定的我们将空间简记为其中，对任一，其范数是 中定义为的范数。RFDE下面我们分别对三种的定义给予介绍。00000,0,(,),:( )(), ,0.nttttR Ax C tr tA Rttr tAxxxtrxC 如果 ，则对任一 我们定义 .因此，, :( )( , )(10)( )( )ntDR C f DRx tf t xx tx tt 设为给定的函数，则关系式称为具有有界滞量的。其中表示滞后性泛函微分方程对的右

12、导数。00000,0,(,),), ( ,)( ),)(10)nttR AxCtr tARt xDx tttAx如 果 存 在以 及，并 且在 区 间上 满 足方 程 (10)， 则 称 函 数 是 方 程的一 个 解 。0000000000( , )( , , )(10)( , )0( , , )(10) ,)( , )( , , )(10)( , )ttDx t ttAx t ttr tAx tx t tt对于给定的 ，我们说 是满足方程及其初始条件 的解，是指存在 ，使得 是方程在 上的解，且 。我们亦可说 是方程的过点 的解。(10)( )( , ( )0( ),( ,)( , ( )

13、nttx tf t x trCRxx tf t xf t x t方程是一种相当广泛的方程，它包含了常微分方程组。因为当时， 空间成为空间， 成为实际上是了。( )( ,)( )( , ( )tnx tf t xx tf t x tfR CfRR从形式来看，这种泛函微分方程与常微分方程是很类似的，只是前者的 定义在空间，而后者的 定义在空间。因此，常微分方程中的许多理论都可平移到泛函微分方其区别程中来。nnRCRC 另一方面，我们必须看到，它不具备空间那么多的良好性质，例如空间中的有界闭集与紧集是等价的，但 空间中却不是这样，因此，常微分方程中的许多性质在泛函微分方程中是没有的。迄今为止，泛函微

14、分方程的理论是空间是无穷维的不够完备的。(3)RFDE无穷延滞量的的概念(2)RFDE无界滞量的的概念（省略）Bn 设 是由(- ,0映入R 的函数所组成的某一种函数空间。 ( )(),ixx t n0000t若tR,x:(- ,t +AR ,A为某一正数，则对 每一个t t ,t +A,定义x 为 取遍(- ,0上的一切值。R nt设B,f:R 为给定的函数，则关系式x(t)=f(t,x )(11)称为无穷延滞的泛函微分方程。x(t)表示x(t)对t的 右导数。下面给出方程(11)的初值问题:0 ,( ,),tt x00n000t00 如果对给定的(t , ),存在A0及函数x:(- ,t

15、+A)R使得x(t)在t ,t +A)上满足方程(11)且x.则称x是满足初始条件(t , )的解，计为x(t,t , ).1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略）1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）1.5 1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖解的存在唯一性、延展性和连续依赖性性)( ),0,r 0t0tn考虑滞后型泛函方程x(t)=f(t,x ), tt （1）x (其中f为RCR 的连续泛函.)( ),.t tr00注初值亦可写成下面等价形式 x(ttt意：000, ()(0),.ttttt n00对(t , ) RC,定义C(t -r, ),R )如下：0000000(

16、, )()()( ),2( )(,),0,0ttssxtx tttty t tryy tf tsy ds ty 设 为方程（1）过的解。如果则由预备定理 知 满足积分方程()0,tn反之，若y为方程(2)的解，则x便是方程(1)过()的解，因此，求方程(1)的解等价于找到函数yC(-r,a,R ),使得y(t)满足方程(2)。 0( ,)nnC V RVRnn如果VRC,我们用C(V,R )表示所有函数f:VR 所组成的集合，又用表示所有将 映入的有界连续函数所组成的集合。0,( ,)Banachsup,(3)nvtvC V Rt()是一个空间，其范数定义为ff()。 0:( ,)(, ,):

17、0,0, ntCAyCr a RyyCta 对任意的正数 和 ，令C1n00t00引理设xC(t -r,t +A,R ),则x 在区间t ,t +A上是t的连续函数. 0.0000121212证 由于x在t -r,t +A上为一致连续，故对任意给定的0,总存在，使得t -r,t +A上的任意两点t 和t ，当tt时，均有x(t ) x(t )t00从而,对任一t ,t +A,当t时便有ttttxxxt0000t因此，由 的定义便知:（这里当t=t 时取 t0,当t=t +A时取 t0）,故t在t ,t +A时，x 是 的连续函数.证毕.,0.r x(t+ )-x(t+ + t)对一切0000R

18、( , )RFDE,( )(0)( ,),ntsttCf tR CRttx tf s x ds ttx00tt引理2 设t，为给定，为映入的连续泛函，则x为下列的初值问题 x(t)=f(t,x ),x的解的充要条件是x满足下列的积分方程00( ,)( ,)ttsttf t xtf s x dsttt证 由于f(t, )对(t, )连续，而x 对连续，故是 的连续函数，从而积分当时有意义，与常微分方程的情形类似便可得证.0000( ,),( ,)( ,)0nnntC V RWC V RUC V RMM 0000000tt设开集RC,紧集W,给定f；则存在的一个邻域V使得f；存在f 的一个邻域和，

19、使得当(t, ) V,fU时， f(t, )。此外，还存在正常数和 ，使得对任何(t ,) W,当t 0,a及yA( , )时，引理3 有(t +t,+y ) V。0, )00000( , )0,( ,)(,)tvWtBftCtWfttB000（证 由W的紧性及f 的连续性，知f 在上有界，设 sup f。再由 的连续性，知存在正数 、 、 ，使得当以及时，有。0000(,):( ,),0,:( , )( , ),( , )( , ),( , )( , )( , )( , )22 ,tstW sCUftttVtV fUttttBMB000令V=及ff。于是当时，有ffff。只要令便证明了引理中

20、的第一个论断。0000000000( ,)0, ,tttttttttWtyVty 0下面证明引理的第二个论断，设0 a, 使得x在区间t上有定义，且x对t而x是方程(1)一个解，对t则称x是的一个延拓；若在区间t上不可延拓，则称为，而区间t定义5.2.1解的称为解延拓性右行饱和解最大的存在区间.1.5.2 1.5.2 解的延拓性解的延拓性tC), ,b() ),lim( ,)( , )( , ) ,.nnnrbtxbb n0n设开集R,fC( ,R则方程（1）的解x(t)在区间t上是饱和解的充要条件是： 如果存在C和一串的t使得则必饱和解的端点定理5.2.有1性质 ), C n设开集R,若fC

21、( ,R则方程备注5.2.1解x(t)的最大存在区间必（1）是开的.() C), ,b), , ).rRtbW n0wwt设开集R,fC( ,R紧集W则对方程（1紧集上解的可延）在区间t的饱和解x(t),必存在T使得当T时，(t,x定理5.2.性2拓1.5.2 1.5.2 解的延拓性解的延拓性1.5.2 1.5.2 解的延拓性解的延拓性C), V,b), ) ) ( .rRtbV n0vvt设开集R,f ( ,R 是全连续的是 中有界闭集 则对方程（1）在区间t上的饱和解x(t),必存在T有界闭子集上解的可延拓性使得当T时，(定理5.2.3t,x00000000000000000000(,)(

22、,),( )( ,), (,)( ,):, 0ttkkkkkkVRCfCxx tft xr bWt xtbVWffkff 假设为开集，为方程在上过的唯一解，设为的一个邻域并使在它上面为有界，如果序列、当时有，定理5.3.3 （解的连续依赖性），则有1.5.3 1.5.3 解的连续依赖性解的连续依赖性1100111001(1)( )( ,)(4)(,),(2),0,( )( )( ),ktkkkkkkkbkkx tft xr bkr bkkktrb 存在正整数 及正数b，使得时，方程过的解x 在上存在。当时，xx 在上一致成立，确切地说，是指对任何存在，使得时x在上存在并且在此区间上一致地趋于x

23、 。证明省略证明省略0010010001000000(1),( ) , ():, :, (,):10tkktr bttr btbkW Wk kWMWVVkk kk 证 先 证 由 于 x在上 连 续 ， 故 必 一 致 连 续 且有 界 ， 从 而 函 数 族 x在 -r0上 为 等 度连 续 且 一 致 有 界 。 因 此 ， 集 合x是 紧 的 ， 从 而 W也是 紧 的 ， 现 取 定 一 正 整 数 ， 令， 显 然为 紧 集 。由 引 理， 知 存 在及 的 邻 域， 使 得 当 、 足 够 小及 足 够 大 并 且 当和00, ,( , )ty A 以 及时 有00000111(,

24、)(,).1(4),(,)(,)(4)(,), kkktktkktktkkkkkkkkktyVftyMkkrxkbbkkkkbkkr b 及由定理，知当时方程在上存在过的解 ，其中 是不依赖于 的。不妨假设，现在取，则存在正整数，使得当时，从而当时方程过的解在上存在。0*000*00000(2)2,(,)(2)(,)( ,)( )( ,),iiiiiiikkkkkkkkktykkyyiyryyTfyTiyTfyyTAxx tft xr 下证，由引理 知当时是属于紧集K的，故必存在收敛子列，当时在上一致地收敛于某一函数 ，又且 为连续算子引理，故时有，可见是 在上的一个不动点，另一方面，由于是方

25、程在上过(00*00000( ,)(),()()()()(5)kkkkkkTAyykrykxttxttrt )的唯一解，故y 是在上的唯一不动点，所以在上一致地成立，根据与x 的关系，即得当时在上一致的成立。00000000( )( )()()()()()(5)3()()()()3()(kkkkkkkkkkkkkkkkxtrtrtxttxttxttxtt 对任给0 ，必存在正整数，使得当时在上有定义，并且下列各式在上成立：，这是因为函数列y 在-r,上属于紧集K，从而具备等度连续性 。00)()3tt。000000000000001()()()()()()()()()()()().333, ,

26、kkkkkkkkkkkkkxtxtxttxttxttxttttxrbx 从而当kk( )时，对一切t -r+ , ，有这说明了 在上一致地收敛到证毕。考虑常微分方程组描述的一般非自治系统考虑常微分方程组描述的一般非自治系统00( , )( )dxf t xdtx tx(1.6.1)(1.6.1)0000,( , ),tItx 0t t对，定义定义1.6.1 若00 ( , )xt 当00( , ,)(1.6.1)x t tx有，则称方程的平凡解稳定的.00(1.6.1),t称的平凡解不稳定完全不稳定，即对于，000100,xxxtt 虽然，但，使1000( , ,).x t tx反之，反之，

27、1.61.6 稳定性基本概念（复习）稳定性基本概念（复习） 1.6.1 1.6.1 常微分方程常微分方程稳定性基本概念稳定性基本概念0000,( ),( )tIxx 定义1.6.若2当 时，000000000(1.6.1),0,( )0,( , ,)0,( )( , ,)ttTt xxtttTt x 称方程的平凡解是吸引的，若定义1.6. 当 ，3时，有000( , ,)ttx t tx对一切，有，则称方程(1.6.1)平凡解一致稳定.0000( , ,)( , ,)0.(1.6.1)tx t t xx t t x ，即称方程的平凡解是等度吸引的.若吸引000000, ,( ),( , ,)0

28、Ttxxtx t txt 00对固定t关于x 一致定义中的 仅依赖于不依赖于即(当). (1.6.1)称式的平凡解是一致吸引的.000,tTtx若它是等度吸引的，且等度吸引定义中的 不依赖于，且 仅依赖于 ，不依赖于即 0,00 ( , ,)0 xx t txt 0关于t均一致 (当).0 .3( ).3. 4 t定义1.6 中的可以任意大，则定义1.6 中的吸引、等度吸引、一致吸引，便分别为全局吸引、全局等度吸引、全局一定义1.6致吸引. (1.6.1)() 1) 2)1.6 .5分别称式的平凡解分别为渐进稳定、等度渐进稳定、拟一致渐进稳定、全局渐进稳定 简称为全局稳定 全局拟一致渐进稳定.

29、若它是稳定的；它分别为吸引、等度吸引、一致吸引、全局吸引、全定义局一致吸引. (1.61.6 ).16.称式的平凡解分别为一致渐进稳定的,全局一致定义渐进稳定的.00000,( ),( , ,)( ).rB rxr x t txB rtt 若 1) 它是一致稳定的； 2) 它分别是一致吸引、全局一致吸引的，且(1.6.1)的所有解是一致有界的(即当对一切成立). 1(1.6.1).6.7 称式的平凡解是指数型渐进稳定的(简称指定义数稳定). (1.1.6.8 6.1)称式的平凡解是全局指数型渐进稳定的(简称全局定义指数稳定).000()0000,0,( ),( , ,)t ttxx t txe

30、tt 若I,当时有()。00()000,0,( )0,( , ,)( )t tkxx t txke若当时有。讨论有界滞量的滞后型泛函微分方程( )( , )tx tf t x（1.6.21.6.2）的稳定性，其中:nfRCR为连续，并且对任一初值0( , ),t0( , )tx t在0,)tr上存在.我们总假设方程(1.6.2)的解 1.6.2 1.6.2 泛函微分方程稳定性基本概念泛函微分方程稳定性基本概念f(t,0)=0,f(t,0)=0,对任意对任意t.R0tt如果对定义定义1.6.9的零解是稳定的.0( ,)tx t对使得当时就有任何给定的0tR及任意的0,存在0( , )0,t 时成

31、立，则称方程(1.6.2)定义定义1.6.10 如果定义1.6.9中的0t与则称方程(1.6.2)(1.6.2)的零解为一致稳定的.无关，000000,1.6.lim ( , )( )0,11ttRbbbx tt如果方程（1.6.2）的零解为稳定，且对任意的t存在（t）,使得当时有则称方程（1.6.2）的零解是定义渐近稳定的. 定义定义1.6.12 如果定义1.6.11中0t和无关,则称方程（1.6.2）的零解为一致渐近稳定的.b与0000,0,( )1.6.1,( , )exp().,3tttx ttt 如果存在且对任给的使得当时对一切都有则称方程（1.6.2）的零解是指数定义渐近稳定的.0

32、1.6.14.,lim( , )0,txx t如果方程（1.6.2）的零解是稳定的，且对任意初始函数都有则称方程（1.6.2）定义全局渐近的零解是稳定的.1.7 1.7 泛函微分方程的稳定性与常微分方程泛函微分方程的稳定性与常微分方程 稳定性比较稳定性比较1.0在常微分方程稳定性定义中是在一个点t 上的初值，而在泛函微分方程定义中是一个初值与初始函数 时间段上初 始函数.2. 在常微分方程稳定性定义中初值范数与状态变量范数相同，而在泛函微分方程定义中初始函数范数是，而状态变范数不同 量范数为一 上确界范数欧般氏范数.0t3.稳定性与初始时刻 关联性 0000,tttt 即对泛函微分方程零初始时

33、刻 ，以 为初始时刻，解是稳定的，且存在零解是不稳定的. 常微分方程稳定性与否和初始时刻选取无关，泛函微分方程稳定性依赖于初始时刻 的选取.备注1. 对时滞量为常数的自治系统:11( )( ( ), (), ()x tf x tx tx t其零解的稳定性与初始时刻选取无关.2. 对时滞量为常数的非自治系统:11( )( , ( ), (), (),x tf t x tx tx t其中f关于t是周期的.则其零解的稳定性也与初始时刻选取无关.3. 对时滞量为变的非自治系统:11( )( , ( ), (), (),x tf t x tx tx t其中f关于t是周期的.若时滞量至少有一个是变的,则其

34、零解的稳定性依赖于初始时刻的选取.此时，称系统是变异的.4. 对时滞量为变的非自治系统:( )( , ( ), ( ), (1.7.1)x tf t x tx tt其中该系统满足解对初值连续依赖性条件.(1.7.1),12200002100201）对系统设ttt 则由t 时零解的稳定性可以推出t 时零解的稳定性；由t 时零解的不 稳定性可以推出t 时零解的不 稳定性.该系统的零解稳定性具有如下性质:*1*(1.7.1), , )tt tt00002）若系统零解的稳定性依赖于初始时刻 则必存在一点 ,使得当t时，系统以t 为初始时刻的零解稳定，而当t, )时，系统以t 为初始时刻的零解是不 稳定的.公开问题变异性的充要FDE系统具有条件是什么？