偏导数课件ppt.ppt

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1、本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出7.3 7.3 偏偏 导导 数数 7.3.1 偏导数的概念偏导数的概念7.3.2 高阶偏导数高阶偏导数 本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出1掌握偏导数的定义；2学会求多元函数的偏导数和高阶偏导数。本节的学习目的与要求本节的学习目的与要求 本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出本节的重点与难点本节的重点与难点一、重点一、重点:二、难点二、难点:1判断二元函数偏导数的存在性；2计算多元函数的偏导数。1偏导数的定义；2二元函数偏导数的

2、存在性；3计算二元、多元函数的偏导数。本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出7.3.1 偏导数的概念偏导数的概念引例引例 定量理想气体的压强定量理想气体的压强p p、体积、体积V V和热力学温度和热力学温度T T之间之间的变化关系为的变化关系为当压强当压强p p和温度和温度T T两个变量同时变化时，体积两个变量同时变化时，体积V V变化情况变化情况较复杂，现分两种情况考虑：较复杂，现分两种情况考虑：（1 1）等温过程：如果温度）等温过程：如果温度T T不变，体积不变，体积V V就成为就成为p p的一元的一元函数，从而它关于压强函数，从而它关于压强p p

3、的变化率为的变化率为(2)等压过程：如果压强等压过程：如果压强p不变，而温度不变，而温度T发生变化，则发生变化，则体积体积V就成为就成为T的一元函数，从而它关于温度的一元函数，从而它关于温度T的变的变化率为化率为(,RTVRp为常数）2.dVRTdpp .dVRdTp本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出 一般地，在二元函数y=f(x,y)中，如果只有自变量x的变化，而自变量y固定（看成常量），这时z就是x的一元函数，它对x的导数就叫做二元函数对x的偏导数；如果自变量y变化，而自变量x固定（看成常量），这时z就是y的一元函数，它对y的导数就叫做二元函数

4、对y的偏导数.本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出1. 偏导数的定义偏导数的定义本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出记作：记作：本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfz

5、yxfzz 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出例 1求223yxyxz 在点)2 , 1(处的偏导数解解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.722132. 偏导数的计算偏导数的计算本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出例 2求)ln(22yxz的偏导数.解解xz,2)ln(2222yxxyxxyz.2)ln(2222yxyyxy本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出例

6、3求)sin(2xyxz 的偏导数。解解xz)()sin()sin(22xxxyxyxx).cos(3xyx).sin(2)cos(2xyxxyyxyz)sin(2xyyx本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出证证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV. 1pVRT本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求设例如求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|

7、0|lim)0 , 0(00).0 , 0(yf有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明12本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，3本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图如图

8、4本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出几何意义几何意义: :本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出),(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.7.3.2 高阶偏导数高阶偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2

9、、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退

10、出出例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？思考题思考题本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出定理定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等例例6 6 验验证证函函数数22l

11、n),(yxyxu 满满足足 拉拉普普拉拉斯斯方方程程. 02222 yuxu本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出内容小结内容小结1. 1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义;

12、 ; 记号记号; ; 几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法( (与求导顺序无关时与求导顺序无关时, , 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序) )本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,思考题解答