2022年圆中三角函数综合例题及练习 .pdf

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1、精品资料欢迎下载圆中的三角函数解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例 1(成都市 )如图 1， 已知 AB 是 O 的直径，弦 CDAB，2 2AC，BC=1，那么 sinABD 的值是解析： 在 O 中， ACD=ABD；又由于 AB 为 O 的直径， CD AB，则 ACD = ABC. Rt ABC 中， AB=22BCAC=221)22(=3, 从而 sinABD =ABAC=322.

2、评注： 借用 “ 同弧所对圆周角相等” ，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。二、用直径与所对圆周角构造直角三角形例 2(烟台市 )已知是半圆 O 的直径， 弦 AD、 BC 相交于点P， 若 DPB= ， 那么CDAB等于Asin BCOS Ctan D1tan解析：连结 BD,由于 AB 为直径 ,则 ADB =90 , 于是 ,在 RtPBD 中,有 COS =PBPD, 而点 C 和点 A 在圆周上，所以A=C，又 APB= CPD，则 APB CPD，从而CDAB=PBPD，所以CDAB=COS ，故选 B。评注： 直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三

3、角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例 3(武汉市 )如图 4，等腰三角形ABC 中，ACBC10，AB12。以 BC 为直径作 O交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DFAC，垂足为F，交 CB 的延长线于点E。(1)求证：直线EF 是 O 的切线；(2)求 sin E 的值。解析： （ 1）证明：如图5,连结 OD、 CD，因为 BC 是直径，所以CD AB，而 AC=BC，则 D 是 AB 的中点又因为 O 是 CB 的中点，所以OD/AC由于 DF AC，则 ODEF，于是 EF 是 O 的切线 . （2

4、）连结 BG，因为 BC 是直径，所以BGC=90图ABDCEFGO图 4A C B D O 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载EDOABCDEOABC在 RtBCD 中， CD=22ADAC=22610=8 而 AB CD=2ABCS= AC BG , 则有 BG=ACCDAB=10812=548. 在 RtBCG 中， CG=22BGBC=22)548(10=514; 又因为 BGAC， DF AC，所以 BG/EF, 则 E= CBG,从而 sinE=sinCBG=BCCG=10514=

5、257评注： 挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利. 例 4. 如图， Rt ABC 中, ACB=90 ， AC=4 ， BC=2, 以 AB上的一点0 为圆心作 O分别与 AC BC相切于点D，E。 (1)求 O的半径。(2) 求 sin BOC 的值。证： (1) ：连 OE,OD ，证四边形OECD 为正方形，设半径为R，2R=44R, R=34； (2)10103，作 CM AB于 M ，易求 AB=25AB CM=BC AC ，CM=554, 易求 OC=R2=324, sin BOC=OCCM=10103例 5.如图，等

6、腰 ABC 中， AB=A C ，以 AB为直径作 O，交 BC于点 D，DEAC于点 E。(1) 求证： DE为 O的切线：(2) 若 BC=45，AE=1 ，求 cos AEO的值。图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载OAECBDFEDBACO解： (1) 连 OD, C=ABC= ODB. OD/AC, ODE= DEC =90 (2) AEO= DOE, cos AEO= cosDOE=OEOD，连 DA.证 CD=BD =25，证CDE CDA,CD2=CE CA=CE (CE+1)

7、CE =4, DE=22CECD=2, OD=21AC=25，OE=22ODDE=241, cos AEO= cosDOE=OEOD=41415专练1如图，已知RtABC和 RtEBC ， B=90以边 AC上的点 D为圆心， OA 为半径的 O与 EC相切于点D，AD BC. (l)求证：E=ACB: (2)若 AD=1, tan DAC=22，求 BC的长2如图，已知点0 是 RtABC的直角边AC上一动点，以D为圆心， OA为半径的 O交 AB于 D点， DB 的垂直平分线交BC于 F, 交 BD于 E。(l) 连结 DF，请你判断直线DF与 O的位置关系 , 并证明你的结论(2) 当点

8、 D运动到 OA=2OC 时，恰好有点D是 AE的中点，求tan B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载FEDOBACFEMODABCDMPCOABF3如图，在 ABC 中 AB=BC, 以 AB为直径的 O交 AC于点 D过 D 作 DFBC,交 AB的延长线于点E,垂足为 F . (1)求证；直线DE是 O的切线；(2) 当 AB=5 ，AC=8时，求 cos E的值4如图， RtABC 中，C=90 ， BD平分ABC ，以 AB上一点 0 为圆心，过 B、 D两点作 O ， O交 AB于点 E

9、 EFAC于点 F。 (1)求证： O与 AC相切： (2)若 EF=2 ，BC =4，求 tan A的值。5如图，ABP中， ABP=90 ，以 AB为直径作 O交 AP于点 C，在弧 AC上取一点F，使弧 CF=弧 CB ，过 C作 AF的垂线，垂足为M ， MC 的延长线交BP于 D。 (1)求证： CD为 O的切线。(2) 连 BF交 AP于 B若 BE=6 ，EF=2 求 tan FAE 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载6如图，AB是O的直径，AC是弦，点D是BC的中点，DPAC, 垂足

10、为点P.（1）求证：PD是O的切线 . （2）若AC=6, cosA=35，求 PD的长 . 7如图， O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点 .过点B作BECD，交AC的延长线于点E. 连接BC（1）求证：BE为 O的切线；（2）如果CD=6，tan BCD=21，求O的直径的长8如图，DEC内接于O ，AC经过圆心 O 交O 于点 B，且 AC DE ，垂足为 F ，连结 AD 、BE ，若1sin2A，BED =30（1）求证：AD是O的切线；（2）DCE是否是等边三角形？请说明理由；（3）若O的半径2R，试求 CE的长DBOCAPEBMDCOAA B C D E O F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载9如图， AB 为 O 的直径，弦CDAB ，垂足为点E，CFAF，且 CF=CE（1）求证： CF 是 O 的切线；（2）若 sinBAC=，求的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页