高三圆锥曲线经典总结.pdf

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1、课题高考数学复习专题圆锥曲线教学目标1. 掌握三种圆锥曲线的定义、图像和简单几何性质。2. 准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）。3. 熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）。4. 熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0 等等） 。5. 在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算。6. 了解线性规划的意义及简单应用。7. 熟悉圆锥曲线中基本量的计算。8 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数

2、法、交轨法、几何法、待定系数法等）。9 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。重点难点1. 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法。2. 掌握圆锥曲线中基本量的计算和直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法。圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义 ：（1）第一定义 中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 2a，且此 常数 2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等

3、于常数 2a，且此常数 2a一定要小于 |F1F2| ，定义中的 “绝对值”与 2a|F1F2| 不可忽视 。若 2a|F1F2| ，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0, 3(),0 ,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是A421PFPF B621PFPF C1021PFPFD122221PFPF（2）第二定义 中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母 ” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义， 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点

4、到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点 P （x,y ）, 则 y+|PQ|的最小值是 _ 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数） ，焦点在 y 轴上时2222bxay1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆2 的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A，B，C同号， AB） 。如（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则 k 的取值范围为 _ （2）若Ryx,，且6

5、2322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _ （2） 双曲线 ： 焦点在x轴上：2222byax =1， 焦点在 y轴上：2222bxay1 （0,0ab） 。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B异号） 。如（ 1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_ （2）设中心在坐标原点 O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P，则 C的方程为 _ （3）抛物线 ：开口向右时22(0)ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy

6、p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆：由x2, y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是 _ （2）双曲线 ：由x2, y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒 ： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问

7、题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4. 圆锥曲线的几何性质 ：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例） ：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab， 其中长轴长为 2a， 短轴长为 2b ； 准线：两条准线2axc； 离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _ （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小

8、值为 _ （2）双曲线 （以22221xyab（0,0ab）为例） ：范围： xa 或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为 2a，虚轴长为 2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，3 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc； 离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。如（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_ （2）双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （3）设双曲线122

9、22byax（a0,b0）中，离心率 e2,2, 则两条渐近线夹角的取值范围是 _ （3）抛物线 （以22(0)ypx p为例） ：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中 p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（ 0,0 ） ；准线：一条准线2px； 离心率：cea，抛物线1e。如设Raa, 0，则抛物线24axy的焦点坐标为 _ 5、点00(,)P xy和椭 圆12222byax（0ab）的 关系 ： （ 1） 点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab； （2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1； （3）点0

10、0(,)P xy在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_（答： （2）直线 ykx1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m

11、的取值范围是_ （3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有 _条（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒 ： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：4 相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交, 也只有一个交点； （2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近

12、线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点)4 ,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_ （2）过点 (0,2) 与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_；（3）过双曲线1222y

13、x的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B两点，若 AB4，则满足条件的直线 l 有_条（4）对于抛物线 C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线 l ：)(200 xxyy与抛物线 C的位置关系是 _ （5）过抛物线xy42的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与 FQ的长分别是p、 q，则qp11_ （6）设双曲线191622yx的右焦点为 F ，右准线为 l ，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为 _(填大于、小于或等于) （7）求椭圆284722yx上的点到直

14、线01623yx的最短距离（8）直线1axy与双曲线1322yx交于 A、 B 两点。当a为何值时， A、 B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以 AB为直径的圆过坐标原点？7、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red ，其中 d 表示 P到与 F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1162522yx上一点 P到椭圆左焦点的距离为3，则点 P到右准线的距离为_ （2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于 _；（3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，

15、则点 M 的坐标为 _ （4）点 P 在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为 _ （5）抛物线xy22上的两点 A、B到焦点的距离和是5，则线段 AB的中点到 y轴的距离5 为_（6）椭圆13422yx内有一点)1, 1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MFMP2之值最小，则点M的坐标为 _ 8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、 余弦定理求解。 设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,FF的距离分别为12,r r， 焦点12F PF的面积为 S， 则在椭圆12222byax中

16、，) 12arccos(212rrb，且当12rr即 P为短轴端点时，最大为max222arccosacb；20tan|2Sbc y，当0|yb即 P为短轴端点时，maxS的最大值为 bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin21221brrS。如（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于 A、B两点，则2ABF的周长为 _ （2） 设 P是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、 F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6 ，则该双曲线的方程为（3）椭圆22194xy的焦点为 F1、F2，

17、点 P为椭圆上的动点，当 PF2PF1 0 时，点 P的横坐标的取值范围是（4）双曲线的虚轴长为4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 AB 是2AF与2BF 等差中项，则AB _ （5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点， 且6021PFF，31221FPFS求该双曲线的标准方程9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF ； （3）设AB为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若 P为

18、 A1B1的中点，则 PA PB ； （4）若 AO的延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过 B点平行于 x 轴的直线交准线于 C点，则 A，O ，C三点共线。10、弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为 A、B的 横 坐 标， 则 AB 2121kxx， 若12,y y分 别 为 A、B 的 纵 坐 标 ，则 AB 21211yyk，若弦 AB所在直线方程设为xkyb，则 AB 2121kyy 。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线 y

19、2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x1，y1） ，B （x2，y2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB| 等于_ （2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知 |AB|=10，O为坐标原点，则ABC 重心的横坐标为 _ 6 11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理” 或“点差法” 求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在双曲线22221xyab中 ， 以00(,)P xy为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率k=0202yaxb； 在 抛 物 线22(0)ypx p中，以00(,)P

20、xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py如（1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（2）已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、B 两点，且线段 AB的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为 _ （3）试确定 m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称特别提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！12你了解下列结论吗 ？（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222b

21、yax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。如与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)32 , 3(的双曲线方程为 _ （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2 p，焦准距为 p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为 AB ，1122(,),(,)A xyB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp（7）若 OA 、OB是过抛物线22(0)yp

22、x p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p13动点轨迹方程 ：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立, x y之间的关系( , )0F x y；如已知动点 P到定点 F(1,0) 和直线3x的距离之和等于 4，求 P的轨迹方程待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的7 方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB过 x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(m，端点 A、B到 x 轴距离之积为 2m ，以 x 轴为对称轴，过 A、O 、B三点作抛物线，则此抛物线方程为定义法

23、：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1) 由动点 P向圆221xy作两条切线 PA 、PB ，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P的轨迹方程为（2）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线05xl：的距离小于 1，则点 M的轨迹方程是_ (3)一动圆与两圆 M ：122yx和N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为代入转移法：动点( , )P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化，并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用, x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点

24、P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A, 点 M分PA所成的比为 2，则 M的轨迹方程为 _ 参数法：当动点( ,)P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将, x y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆 O的直径，且 |AB|=2 a，M为圆上一动点，作MN AB ，垂足为 N，在 OM上取点 P ，使| |OPMN，求点 P 的轨迹。（2）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是 _ （3）过抛物线yx42的焦点 F作直线 l 交抛物线于 A、B两点，则弦 AB的中点

25、M的轨迹方程是 _ 注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别是F1（c，0） 、F2（c，0） ，Q是椭圆外的动点， 满足.2|1aQF点 P是线段 F1Q与该椭圆的交点， 点 T在线段 F2Q上，并且满足.0| , 022TFTFPT（1）设x为点 P的横坐标，证明xacaPF|1；（2）求点 T 的轨迹 C的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C上，是否存在点 M ，使F1MF2的面积 S=.2b若存在，求 F1

26、MF2的正切值；若不存在，请说明理由. 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应8 注意轨迹上 特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想” 化整为零分化处理、“求值构造等式、 求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ” ，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量ku, 1或nmu,；

27、（2）给出OBOA与 AB 相交, 等于已知OBOA过 AB 的中点 ; （3）给出0PNPM, 等于已知 P是 MN 的中点 ; （4）给出BQBPAQAP, 等于已知QP,与 AB 的中点三点共线 ; （5） 给出以下情形之一：ACAB /；存在实数,ABACrr使；若存在实数,1,OCOAOBuuu ruuu ruuu r且使, 等于已知CBA,三点共线 . （6） 给出1OBOAOP， 等于已知 P是AB的定比分点，为定比，即PBAP（ 7 ）给 出0MBMA, 等 于 已 知MBMA, 即AMB 是 直 角 , 给 出0mMBMA, 等于已知AMB 是钝角 , 给出0mMBMA, 等

28、于已知AMB 是锐角, （8）给出MPMBMBMAMA, 等于已知 MP 是AMB 的平分线 / （9）在平行四边形 ABCD 中，给出0)()(ADABADAB，等于已知 ABCD是菱形; （10） 在平行四边形 ABCD中，给出| |ABADABADu uu ru uu ruu u ruuu r，等于已知 ABCD是矩形; （11）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知 O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知 O 是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC中，给出

29、OAOCOCOBOBOA，等于已知 O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ；（14）在ABC 中，给出OAOP()|ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu r)(R等于已知AP通过ABC的内心；（15）在ABC中，给出, 0OCcOBbOAa等于已知 O是ABC 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；9 （16） 在ABC 中， 给出12ADABACuuu ru uu ru uu r, 等于已知 AD 是ABC中 BC 边的中线 ; 圆锥曲线的解题技巧一、高考考点 1 、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练

30、掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0 等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问

31、题， 常用设而不求法 （点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线xy2221。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点 P的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设 P(x,y) 为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(, )，Fc20( , )为焦点，PF F12，PF F21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|PFPF1323的最值。10 （3）直线与圆锥曲线

32、位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题抛物线方程，直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx210() ()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B， 且 OA OB ，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数 （通常利用二次函数，三角函数，均值不

33、等式）求最值。（1） ，可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式 ” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值, 即： “最值问题，函数思想 ” 。典型例题已知抛物线 y2=2px(p0) ，过 M （a,0 ）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A、B，|AB| 2p （1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 N ，求 NAB面积的最大值。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知 -这类问题一般可用待定系数法解

34、决。典型例题已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C上，求直线 L 和抛物线 C的方程。11 2曲线的形状未知 -求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆 C ：x2+y2=1, 动点 M到圆 C的切线长与 |MQ|的比等于常数（0）, 求动点 M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决： 求两点所在的直线， 求这两直线的交点， 使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知

35、椭圆C 的方程xy22431，试确定m 的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆 C上有不同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题， 常用 kkyyxx1212121来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线 l 的斜率为 k ，且过点 P(, )2 0 ，抛物线C yx:()241，直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点（如图） 。（1）求 k 的取值范围；（2）直线 l 的倾斜角为何值时， A、B与抛物线 C的焦点连线互相垂直。B:解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用

36、“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线 340 xym与圆xyxy2220相交于 P、Q两点， O为坐M N Q O 12 标原点，若OPOQ，求m的值。二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解， 这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O ，焦点在 y轴上的椭圆与直线yx1相交于 P、Q两点，且OPOQ，|PQ102，求

37、此椭圆方程。三. 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0 的交点，且圆心在直线 l ：2410 xy上的圆的方程。四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题P为椭圆22221xyab上一动点， A为长轴的右端点， B为短轴的上端点，求四边形 OAPB 面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线

38、方程ykxb代入圆锥曲线方程中， 得到型如 axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，13 则 |ABkxxAB12|12ak，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线 xy10被椭圆xy22416所截得的线段 AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点， AB是经过F1的弦，若|AB8，求值|22BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A（3，2）为定点，点 F是抛物线yx24的焦点，点 P在抛物线y24x上移动，若| |PAPF取得最小值，求点P的坐标。