2022年高考物理拉分题专项训练专题变力做功的求法 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2015 年高考物理拉分题专项训练专题 14 变力做功的求法（含解析）在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用动能定理、功率的表达式PtW、功能关系、平均值、sF图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程。基于功和能之间的紧密联系，能否正确求解各种力做功往往成为能否运用功和能关系解题的关键。因此，功尤其是变力做功一直是高考的热点，亦是考生应考的难点，很多学生对此感到无所适从，关键在于没有系统地研究功的求法。本文在简单阐述功的一

2、般求解方法的基础上，着重讨论变力做功的解法。一般来说，功的计算公式cosSFW只适用于求恒力做的功，这类问题通常比较简单，本文不做讨论。对于变力做功一般不能依定义式cosSFW直接求解，但可依据物理规律通过技巧的转化间接求解，主要有微元法、图像法、平均力法、能量法等，各种方法都有优点和缺陷，应该综合运用这些方法。本文以例题讨论各种具体的方法，并指出各种方法适用的条件。【方法汇总】一、运用功的公式求变力做功求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W cosFs求恒力的功， 从而可知该変力的功。等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与

3、哪个恒力的功是相同的。例 1： 人在 A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物体，如图1 所示，开始绳与水平方向夹角为60，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动ms2而到达 B点，此时绳与水平方向成30角，求人对绳的拉力做了多少功？【解析】 人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s 方向一直水平，所以无法利用W cosFs直接求拉力的功. 若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用W cosFs求了！设滑轮距地面的高度为h，则：sh60cot30cotG6030AB图 1 精选学习资料 -

4、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习好资料欢迎下载人由 A走到 B的过程中，重物上升的高度h等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：60sin30sinhhh，人对绳子做的功为：JJmgshmgW73213100013二微元法微元法的基本思路是将物体的运动过程无限分割成若干等份，这时可以认为在每一个极短的时间或过程内，物体所受的力是一个恒力，从而可以运用cosFSW求解每一个阶段上力所做的功，最后再求这些功的代数和，就是整个过程中该变力所做的功。例题 2、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1 所示，已知滑块与轨道间动

5、摩擦因数为 ，滑块质量为m ，求此过程中摩擦力做的功。【总结】从理论上说，微元法适用于求一切力做的功，但是在中学阶段，由于数学知识有限，这种方法只适合于求大小不变，方向变化的变力所做的功，这是因为只有当力的大小不变时，求功的代数和，才可以提取公共项，从而求出最终的结果。三 F-S 图像法如图， F-S 图像中，图线与坐标轴围成的面积代表力F 在相应的位移上对物体做的功。图 2 图 3 如果图像比较复杂，例如图2，可以用求积分的方法求面积（功）；如果 F-S 图像是比较简单的一次函数图像，例如图3，可以用求梯形或三角形面积的方法求功，非常简单。S F 0 S F 0 精选学习资料 - - - -

6、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例题 3、如图 4 所示，长度为L 的矩形板，以一定的初速度沿光滑的水平面平动时，垂直滑向宽度为l 的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过路程为s，而 lsL ，设板面与粗糙地带之间的动摩擦因数，求此过程中摩擦力对木板做的功。四平均力法木板v L 木板s 地地l 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习好资料欢迎下载如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W=Fsc

7、os求解。仍以上面的例题为例，采用平均力法求功如下：0l过程：mgLxf，摩擦力随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，平均力大小为：mgLlmgLlf220umgLllmgLllfWf2221ls 过程)(2lsgLlmWf由动能定理)2(21lsLlmgWWff五动能定理法能是物体做功的本领，功是能量转化的量度. 由此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，由其做功的结果动能的变化来求变力的功：kEW. 例题 4、一个质量为m的小球拴在细绳的一端，另一端用大小为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图所示。今将力的大小改为F2，使小球

8、仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R2。小球运动的半径由R1变成R2的过程中拉力对小球做的功多大？【解析】本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力。在轨道变化过程中该力做功属m F o 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习好资料欢迎下载于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功。设半径为R1、R2时小球做圆周运动的速度分别为v1、v2，由向心力公式得：22221211RvmFRvmF根据动能定理：21222121mvmvW解得：)(211

9、122RFRFW一般来说，如果力的变化情况比较复杂，没有什么变化规律，用动能定理往往能比较简便地求解变力做的功。六、运用PtW求变力做功涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过PtW求変力做功。例 5：质量为 5000Kg 的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间. 【解析】 牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过PtW来求

10、。汽车加速运动的时间为1t，由动能定理得：0F-Ptf1s汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则mfmvFFvP即mfvPF可求得汽车加速运动的时间为ssvsPsFtmf502412001关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：mmvt0F-2f可求得汽车匀减速运动的时间为ssPmvFmvtmfm48100060245000222则汽车运动的时间为：t t1 t2 50s48s98s 七、转换参考系求变力做功在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。精选学习资料 - - - -

11、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例 6：宇 宙中某一惯性参照系中，有两个质点A和 B，质量分别为m和 M ，相距 L，开始时 A静止， B具有 A、B连线延伸方向的初速度v，由于受外力F 的作用， B做匀速运动。（1） 试求 A、B间距离最大时的F 值；（2） 试求从开始到A 、B最远时力F 做的功；【解析】 此题中 A在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，会因数学知识的限制而不易找出F 作用的位移和A、 B间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通过变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，

12、避开求变力做功，从而简化了解题过程。将原来的惯性参照系记为S，相对 B静止的参照系记为S，在 S系中， B没有位移，所以力F 做功为零，计算得以简化。在S系中， A开始以 v 背离 B运动，最后在万有引力的作用下减速到零，此时A、B间的距离最大，记为Lm。在 S系中，据机械能守恒，有mLMmGLMmGmv221所以222LvGMLGMLm此时 A、B的万有引力为2224)2(GMLLvGMmF回到 S系中，当 A、 B的间距达到Lm时， A、B都以 v 速度，根据功能原理，F 力所做的功)11(21)21()(21222mmLLGMmmvLMmGMvLMmGvmMW由中知221)11(mvLL

13、GMmm因此2mvW八、运用功能关系求变力做功做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求変力做功，关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。例 7：一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页

14、学习好资料欢迎下载3 所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知圆管半径r=0.10m ，井的半径R=2r，水的密度 =1.00 103kg/m3，大气压P0=1.00 105Pa ，求活塞上升H=9.00m 的过程中拉力所做的功 （井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量， 不计摩擦， 重力加速度g=10m/s2） 。【解析】 大气压 P0能够支撑的水柱高度为mgph1000从开始提升到活塞至管内外水面高度差为10m 的过程中，活塞始终与水面接触，设活塞上升1h，管外液面下降2h，则有：210hhh因液体体积不变，有：3122212rRrhh得Hmh

15、h5 .74301此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：JhhghrEW4211211018.12活塞从1h上升到 H的过程中，液面不变，拉力F 是恒力，02PrF，则做功为：JhHPrhHFW3102121071.4)()(所求拉力所做的总功为：JWWW4211065.1七变力做功几种方法的综合运用以上探讨的几种变力做功的解法，每种方法都有优点和缺点，在实际解题时，应该综合运用这些方法，下面以一道例题为例，谈谈如何综合运用这几种方法求解变力做功。. . F 图 3 精选学习资料 - - -

16、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例题 8、面积很大的水池， 水深为 H，水面上浮着一正方体木块。木块边长为a，密度为水的1/2 ，质量为 m 。开始时，木块静止，有一半没入水中，如图5 所示。现用力F将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求: 从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F 所做的功。图 7 【解析】本题的研究过程是：从开始到木块刚好完全没入水中。显然，这个过程中，要保持木块缓慢运动，F 是一个变力，那么该怎样求这个变力所做的功呢？方法 1：F-s 图像法：我们可以研究F 随位移 S变化的函数图像，用求面积的方法求

17、功。为此，我们任意选取木块被压入过程中的一个状态，研究力F 随位移 S的变化关系，如图6 图 8 设物体的位移为x，压力的大小为F，方向竖直向下，则：)2(2xagamgF-(1) 又因为)2(2xagamg-(2) 所以：xgaF2可见，F随位移x成正比例关系，作出xF的图像如图所示x mgmgF23agF浮)2(2xagaF浮精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习好资料欢迎下载图 9 所以：221213agaW-(4) 考虑到初始位置时，有一半没入水中，所以：mgag23-(5) 综合 (4)(5)得：mgaW

18、41方法2：平均力法：因为xgaF2，压力大小随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，平均力大小为：3241220gaagaF考虑到初始位置时，有一半没入水中，所以：mgag23-(5) 所以：mgF21mgllmglFWf4122121方法 3：功能关系法：因为水池面积很大，所以木块完全没入水中的过程中相当于紧靠木块正下方有木块体积一半的水上升至水面水的重力势能增加amgEP43水增x 0 f a2123ag精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习好资料欢迎下载木块的重力势能减少2amgEP木减mgaEEWP

19、P41木减水增【练习题】动能定理求解1：如图 2所示，原来质量为m的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成 角的位置的过程中，拉力F 做功为（）A. cosFLB. sinFLC. cos1FLD. cos1mgL【解析】 很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对FLcos 来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此 F 的大小不断变大， F做的功是变力功， 小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：0

20、KKGFEEWW所以cos1mgLWWGF，故 D正确。运用 F-S 图像中的面积求变力做功2：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？图 4 Fx1x2x2kx1kxO1S2S图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习好资料欢迎下载【解析】 铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以 F 为纵坐标， F 方向上的位移x 为横坐标，作出F

21、x 图象，如图4，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于 F 对铁钉做的功 . 由于两次做功相等，故有：S1=S2( 面积 ) 即：21kx12=21k(x2+x1)(x2x1) 得cmx22所以第二次击钉子进入木板的深度为：cmxxx)12(12运用平均值求变力做功3：如图 5 所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度 的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。【解析】 木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水

22、中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S 图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降1x，水面上升2x根据水的体积不变，则：2212xhxh得21xx所以当木块下降4h时，木块恰好完全浸没在水中，1122122)(xxghxxghFF浮所以42211814220424ghhhghhFFhFW木块恰好完全浸没在水中经hhhh45432到容器底部，压力为恒力22hghF所以42285452ghhhghhFW图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习好资

23、料欢迎下载故压力所做的功为：42143ghWWW运用微元法求变力做功4：如图 6 所示，质量为m的小车以恒定速率v 沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。【解析】 小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是変力，故而摩擦力为一変力，本题可以用微元法来求。如图 7，将小车运动的半个圆周均匀细分成n（n）等分，在每段长nR的圆弧上运动时，可认为轨道对小车的支持力iN不变、因而小车所受的摩擦力if不变，摩擦力的功可以用sFW计算。当 小车运动到如图所示的A处圆弧时，有RvmmgNiA2si

24、n则)sin(2mgRvmfiAnRmgRvmWiA)sin(2当小车运动到如图所示的与A关于 x 轴对称的B处圆弧时，有RvmmgNiB2sin则)sin(2mgRvmfiBnRmgRvmWiB)sin(2由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为：图 6 . x y O mg mg NiANiBB A 图 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习好资料欢迎下载nRRvmWi22于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为：222122mvnmvnWWnii在求功公式

25、WFl cos中， F 是恒力，即在做功过程中，F 的大小、方向都不变。当F 是变力时，该怎样求功呢？本文介绍以下方法：转化为恒力做功5. 如图 1 所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为 ，当拉力 F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为。已知图 1 中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。【解析】：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F 是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由图 1 可知，在绳与水平面的夹

26、角由 变到 的过程中，拉力F 的作用点的位移为：sssh1211sinsin所以绳对物体做功：WWFsFhTF11sinsin用动能定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习好资料欢迎下载6. 如图 2 所示，质量mkg1的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出 B点hm08 .。物体到达B点时的速度为2ms/，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。图 2 【解析】：物体由 A运动到 B的过程中共受到三个力作用：重力 G 、支持力FN和摩擦力Ff。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持

27、力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。由动能定理WEk外，其中WWWEmvmvGfkBA外121222所以mghWmvfB122代入数据解得WJf584.用 W=Pt7. 质量为 5t 的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。【解析】：汽车的功率不变，根据PFv知，随着速度v 的增大，牵引力将变小，不能用WFl求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功JJPtWF53105. 7101075再由动能定理得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名

28、师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习好资料欢迎下载WWmvfF1202所以WmvWJfF1251025用图象法8 放在地面上的木块与一劲度系数kNm200/的轻弹簧相连。 现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动xm10 2 .时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了xm20 4 .的位移，求上述过程中拉力所做的功。【解析】：由题意作出Fx图象如图3 所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即WJJ1206044020( .)图 3 用平均值9 要把长为l的铁钉钉入木板中，每打

29、击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：Fklkl022钉子克服阻力做的功为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习好资料欢迎下载WFlklF122设全过程共打击 n 次，则给予钉子的总能量：EnEkl总0212所以nklE202用功能原理10. 如图

30、4 所示，将一个质量为m ，长为a，宽为 b 的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？图 4 求変力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法的问题，必可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解変力做功问题，需要掌握求解変力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习好资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页